Лекции Обчислювальна техн_МТ-3 / Тема 03 / Тема 03

18

Тема 3. Чисельне інтегрування

Тема 3

ЦІЛЬ ЛЕКЦІЇ

• ввести поняття чисельного інтегрування;

• навести формули чисельного інтегрування

• навести приклад

Ключові слова: чисельне інтегрування, формула трапецій, формула Симпсона

1.2. Чисельне інтегрування

У задачах будівельної механіки найчастіше вид підінтегральної функції невідомий але відомі значення функції в деяких фіксованих точках. У такому випадку для обчислення інтеграла застосовують методи чисельного інтегрування. Вони засновані на тім, що інтеграл надається у вигляді межі суми площ рівної (з визначеною точністю) значенню визначеного інтеграла.

Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл

(1.8)

Загальний підхід до розв’язку цієї задачі наступний.

Визначений інтеграл I являє собою площу, обмежену кривою , віссю x і прямими і (рис.1.8)

Рис.1.8. Графічна інтерпретація визначеного інтеграла	Рис. 1.9. До виводу формули трапецій

Формула трапеції

Розіб'ємо інтервал інтегрування на n рівних частин, кожна довжиною . Площа однієї частини є визначений інтеграл від х_і до х_і+1:

(1.9)

Але якщо досить мала, то площу ділянки можна визначити як площу трапеції АВС (рис. 1.9) так що

(1.10)

Значення інтеграла одержуємо як суму площ: або зважаючи, що внутрішні ординати в сумі площ повторюються двічі, запишемо:

(1.11)

Ця формула в компактній формі записується так:

(1.13)

Формула Симпсона

Формула Симпсона аналогічна формулі трапеції. Розходження полягає в тім, що для одержання площі однієї ділянки через три сусідні ординати розбивки проводиться квадратична парабола

, (1.14)

чи в більш компактній формі:

(1.15)

Число ділянок розбивки має бути парним.

Формула Симпсона є більш точною чим формула трапеції при рівній кількості ділянок розбивки.

Далі розглянемо приклад інтегрування, записані в термінах MathCAD.

Приклад чисельного інтегрування в системі MathCAD наводиться на рис. 1.10.

Рис.1.10. Приклад чисельного інтегрування в системі MathCAD
Тут Y - задані значення функції; L - інтервал інтегрування; n - кількість ділянок розбивки інтервалу; h - довжина ділянки; Isum - значення інтеграла

Увага!

1. Нумерація елементів матриць і векторів за замовчуванням починається з 0 (нуля).

2. Користувач установлює всі дужки напівкруглі, надалі форма дужок змінюється автоматично, у залежності від їхньої кількості у математичному виразі.

3. Вектор даних уводиться за допомогою діалогового вікна, яке викликається зі спадного меню, п. Matrix...,або натисканням клавіш Ctrl + M, чи за допомогою панелі матричних операцій

На рис.1.11. показані графіки підінтегральної функції F(x1) та її апроксимації за формулою трапецій Y

Рис.1.11. Аналітичне і чисельне представлення підінтегральної функції