sopr_lab_3sem_doc / sopr_lab_doc_4

Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева

Кафедра прикладной механики

Отчёт о лабораторной работе № 4 «Устойчивость стержня»

Отчёт выполнил: Голубенко Иван Сергеевич, гр. ВК-24

Отчёт проверил: Антонов Сергей Игоревич

1. Цель работы

Показать на примере продольного сжатия стержня явление нарушения нормальной работы деталей машин и конструкций – потерю устойчивости первоначальной формы равновесия.

2. Схема и условие

Это балка с 4-мя примерами опор. От вида и расположения опор зависит коэффициент μ, влияющий на критическую силу, после которой материал теряет устойчивость.

Дано:

L = 500 мм

b = 2 мм

h = 35 мм

Определить экспериментально:

-Силу, при которой изгиб резко возрастает

Определить по расчёту:

-Критическую силу

-Ошибку опытного определения критической силы в %

3. Расчётное определение F_кр

Прогиб стержня определяется по дифференциальному уравнению:

EI_minx’’ = M

M = -F_крx

EI_minx’’ = -F_крx

Обозначим α² = F_кр/EI_min

Тогда x’’ + α²x = 0 – дифф. уравнение 2-го порядка. Решение:

x = Ccos(αz) + Dsin(αz), константа С определяются по условиям x = 0 на концах стержня. В результате C = 0

Соответственно, x = Dsin(αz). От другого конца стержня получим

Dsin(αl) = 0, т.е. либо D = 0 либо sin(αl) = 0. Первое исключено из соображений существования прогиба.

sin(αl) = 0, это выполняется, когда F_кр = π²EI_minn²/L², где n = 0, 1, 2, 3, …

Отсюда следует, что существует бесконечное количество пределов падения устойчивости, и при каждом переходе через новый предел в степени прогиба происходит резкий скачок, т.е. вообще говоря, прогиб стержня от сжатия квантуется. Чаще всего нас интересуются случай n = 1 (При n=0 прогиб почти не образуется). Поэтому:

F_кр = π²EI_min/L². Для других видов закрепления вводится поправочный коэффициент:

F_кр = π²EI_min/(μL)² – формула Эйлера

Формулу Эйлера возможно использовать только тогда, когда материал подчиняется закону Гука. Вычислим критическое напряжение:

σ_кр = F_кр/A = π²EI_min/(A(μL)²)

i_min = (I_min/A)^0,5 – наименьший радиус инерции стержня

Величина λ называется гибкостью. λ = μL/i_min

И тогда σ_кр = π²E/λъ

Из условия σ_пр > σ_кр, где σ_пр – предел пропорциональности материала стержня вытекает, что для использования формулы Эйлера необходимо следующее условие:

λ > (π²E/σ_пр)^0,5

I_min = bh³/12

4. Таблица данных

№ примера	Fкр^эксп, Н	Fкр^теор, Н	ΔFкр, %	λ	Применение ф-лы Эйлера
1	215	193	10,23	866	+
2	430	394	8,34	606	+
3	845	772	11,77	433	+
4	1050	772	26,48	433	+

*Вид опор см. из условия по номеру примера