Книга по математике для поступающих в ВУЗы. КУРС СРЕДНЕЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЫ. Автор- Зайцев Артём Сергеевич
.pdfФункция y = ax3 (y = ax2n+1, a ≠ 0, n N) |
2 |
1 |
||
Свойства |
|
|
|
|
1. |
Область определения: R. |
|
|
|
2. |
Функция непарная. |
|
|
|
3. |
Для |
функция возрастает, если a > 0 (№ 1); убывает, |
|
|
|
если a < 0 (№ 2). |
|
|
|
4. |
Область значений: R. |
1 |
2 |
|
5. |
График функции – кубическая парабола. |
|
|
|
|
|
|
|
Функция y = |x| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Область определений: R. |
||
|
|
|
|
|
2. |
Функция парная. |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
На промежутке |
|
функция убы- |
|
|
|
|
|
вает; на промежутке [ |
функция возрастает. |
||
|
|
|
|
|
4. |
Область значений: [ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
√ |
|
|
|
|
|||
Свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Область определения: [ |
. |
|
|
|
|||
2. |
Функция ни парная, ни непарная. |
|
|
|
||||
3. |
На промежутке [ |
функция возрастает. |
|
|
|
|||
4. |
Область значений: [ |
. |
|
|
|
ТЕМА 12. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Линейной функцией называют функцию вида y = kx + b, где k и b – некоторые числа, x - независимая переменная.
Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ax = b, где x - переменная, a и b – числа. Свойства:
– если a ≠ 0, то уравнение ax = b имеет единственный корень |
|
; |
|
–если a = 0, b ≠ 0, то уравнение ax = b не имеет корней;
–если a = 0, b = 0, то корнем уравнения ax = b является любое число.
Прямая пропорциональность
Функция y = kx при k ≠ 0 называется прямой пропорциональностью, k - угловой коэффициент. Эта функция является частным случаем линейной функции y = kx + b, при b = 0. Поэтому её
графиком является прямая, проходящая через начало координат.
Если k > 0, то график функции y = kx расположен в I и III координатных углах, если k < 0, то график функции расположен во II и IV координатных углах.
Задания на закрепление:
1. График линейной функции y = kx – 2 проходит через точку (–3; 2). Найдите k. Ответ для самоконтроля:
2.Не выполняя построения графиков функций y = 2x – 1 и y = 3x + 2, найти координаты точки их пересечения.
Ответ для самоконтроля: точка пересечения графиков (–3; –7).
Подсказка: приравнять правые части ур-ния, найти x. Подставить значение x в ур-ние с y.
Основные свойства линейных функций:
|
|
Область |
Область |
Парность/ |
Возрастание/ |
|
Функция |
График |
определе- |
значений |
непар- |
||
убывание |
||||||
|
|
ния D(y) |
E(y) |
ность |
||
|
|
|
Возрастает на
R
Ни парные, k > 0 ни непар-
ные
R |
Убывает на R |
Линейная |
k < 0 |
R |
y = kx + b |
|
|
|
|
Возрастает/
Непарная убывает в зависимости
от k.
b = 0
b |
Парная |
Постоянная |
k = 0
ТЕМА 13. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ.
Квадратичной называют функцию вида y = ax2 + bx + c; где a, b, c – действительные (вещественные) числа, причем a ≠ 0. Графиком квадратичной функции является парабола.
Свойства квадратичной функции:
– если a > 0, D > 0, то ветви параболы |
– если a < 0, D > 0, то ветви параболы |
направлены вверх, а сама парабола находится |
направлены вниз, сама парабола находится над |
ниже оси ОX и пересекает её в двух точках; |
осью ОX и пересекает её в двух точках; |
– если a > 0, D = 0, то ветви параболы |
– если a < 0, D = 0, то ветви параболы |
направлены вверх, а сама парабола соприкаса- |
направлены вниз, а сама парабола соприкаса- |
ется с осью ОX в точке xо; |
ется с осью ОX в точке xо; |
– если a > 0, D < 0, то ветви параболы |
– если a < 0, D < 0, то ветви параболы |
направлены вверх, а сама парабола находится |
направлены вниз, а сама парабола находится |
над осью ОX и не имеет с ней общих точек; |
ниже оси ОX и не имеет с ней общих точек. |
Квадратное уравнение
Квадратным называют уравнение вида ax2+ bx + c = 0, где x – переменная, a, b, c – действительные (вещественные) числа, причем a ≠ 0. Число a называют первым (старшим) коэффициентом, b – вторым коэффициентом, с – свободным членом. Квадратное уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов – b или с – равен нулю, называют неполным квадратным уравнением.
Неполное квадратное уравнение вида ax2 + bx = 0
Уравнение вида ax2 + bx = 0 всегда имеет два корня: 0 и |
|
. Такие уравнения, как правило, |
|
||
решают разложением его левой части на множители. |
|
|
Неполное квадратное уравнение вида ax2 + с = 0
Если |
|
то уравнение вида ax2 |
+с = 0 имеет два корня: √ |
|
и √ |
|
. |
|
|
|
|||||
Если |
|
то уравнение вида ax2 |
+ с = 0 коней не имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
|
то уравнение вида ax2 |
+ с = 0 имеет один корень: x = 0. |
||||
|
Формула корней квадратного уравнения
Выражение D = b2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+ bx + c = 0. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня; если D = 0 – то один корень; если D <0,
то квадратное уравнение корней не имеет.
Корни квадратного уравнения ax2+ bx + c = 0 при D ≥ 0 находят по формуле:
√
ТЕОРЕМА Виета:
Если x1 и x2 – корни квадратного трехчлена ax2+ bx + c, то выполняются равенства:
Разложение квадратного трехчлена на множители. Если D = b2 – 4ac > 0, то выполняется равенство: ax2+ bx + c = a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена.
Уравнение оси симметрии параболы: .
Координаты вершины параболы, заданной уравнением ax2+ bx + c находятся по формуле:
ТЕМА 14. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
Уравнение |
|
является равносильным системе уравнений { |
|
Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
1)найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение;
2)заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3)решить полученное целое уравнение;
4)исключить из полученных корней те, которые превращают в нуль общий знаменатель.
Дробные неравенства
Неравенство |
|
равносильно системам: { |
и { |
|
|
||||
Неравенство |
|
равносильно системам: { |
и { |
|
|
||||
Неравенство |
|
равносильно системам: { |
и |
{ |
|
||||
Неравенство |
|
равносильно системам: { |
и |
{ |
|
Решение рациональных неравенств методом интервалов
Используется для решения неравенств f(x) > 0 (f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0). Метод основывается на том, что неразрывная на промежутке функция может изменять знак только в тех точках, где её значение равно нулю (но может и не изменять!).
!Чтобы решить неравенство методом интервалов, нужно:
1)найти область определения функции y = f(x);
2)найти значения х, при которых функция равна нулю (т.е. найти нули функции): f(x)=0;
3)разбить область определения на промежутки, в которых каждый из концов является корнем уравнения f(x) = 0 или конечной точкой промежутка определения ф-ции y=f(x);
4)определить знак f(x) на каждом из полученных промежутков;
5)объединить промежутки, на которых функция f(x) удовлетворяет неравенство во множество решений.
ТЕМА 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.
Арифметической прогрессией называют последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число d, которое называют разницей арифметической прогрессии.
Пример: 2, 4, 6, …, 2n – арифметическая прогрессия, в которой a1 = 2, d = 2. Определяется n-й член арифметической прогрессии по формуле:
где n – номер члена, an – n-й член, a1 – первый член, d – разница прогрессии.
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов:
Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов этой прогрессии, умножив на их кол-во:
Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по ф ормуле:
Геометрической прогрессией называют последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему и умножен на одно и то же число q (q ≠ 0, |q| ≠ 1), которое называют знаменателем геометрической прогрессии.
|
| | |
(если q = 1, то все члены прогрессии равны первому члену). |
|
|
Например: 1, 3, 9, …, 3n+1, … – геометрическая прогрессия, в которой b1 = 1, q = 3. |
||
|
Определяется n-й член геометрической прогрессии по формуле: |
где – номер |
|
члена, |
– n-член, – первый член, |
– знаменатель прогрессии. Модуль каждого члена геометри- |
ческой прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим двух соседних членов:
| | √ Сумму n первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле:
Если |
| |, то сумма бесконечной геометрической прогрессии равна |
|
. |
|
ТЕМА 16. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛОВ.
Кроме градусной меры, существует радианная мера измерения углов. Единицей радианной меры является радиан. Угол величиной 1 радиан – это угол с вершиной в центре окружности, который опирается на дугу окружности и длина этой окружности равна радиусу этого круга.
Градусная мера развёрнутого угла равна 180о, π = 180о. 1 радиан = |
|
|
= 57о17′45″. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
рад. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина угла |
|
0о |
15о |
30о |
45о |
60о |
75о |
|
|
90о |
180о |
360о |
|||||||||||||
в градусах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина угла |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в радианах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переход от радианной меры угла к градусной и наоборот
Для того, чтобы перейти от градусной меры к радианной, нужно разделить 180о (т.е. π) по-
следовательно на нужное число. Например, для преобразования 45о в радианную меру, необходимо найти такое число, разделив на которое 180о, мы получим 45о. Это число 4. Заменяем 180о на π и по-
лучаем нужное значение: 45 |
о |
= |
|
|
|
. Ещё примеры: |
|
|
|
; 60 |
о |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы перейти от радианной меры к градусной, нужно также разделить π (т.е. 180о) на знаменатель дроби. Например:
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Синус (sin α) – это тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике обозначает отношение катета, лежащего против острого угла, к гипотенузе.
Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике обозначает отношение катета, прилежащего к острому углу, к гипотенузе.
Тангенс острого угла (tg α) – это тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике означает отношение противолежащего катета к катету, прилежащему к острому углу.
Котангенс острого угла (ctg α) – это тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике означает отношение прилежащего катета к катету, противолежащему к острому углу.
Таблица значений тригонометрических функций:
! Если к некоторому острому углу |
прибавить (2n – 1) ∙ 90o (т.е. 90о, 270о, 450о и т.д.), то пер- |
воначальная функция меняется на кофункцию. |
|
Если к некоторому острому углу |
прибавить 2n ∙ 90o (т.е. 180о, 360о, 540о и т.д.), то первона- |
чальная функция НЕ меняется на кофункцию.
ТЕМА 17. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
Формулы сложения:
Формулы двойного угла:
Формулы понижения степени:
Формулы превращения суммы в произведение:
ТЕМА 18. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.
Графики функций:
1) y = sin x: |
2) y = cos x: |
3) y = tg x: |
4) y = ctg x: |
Обратные тригонометрические функции: |
|
|
|
|
||||
Арксинусом числа а называется угол (число) из промежутка [ |
|
|
|
|
] синус которого равен а. |
|||
|
|
|
||||||
Арккосинусом числа а называется угол (число) из промежутка [ |
|
|
косинус которого равен а. |
|||||
Арктангенсом числа а называется угол (число) из промежутка ( |
|
|
|
|
) тангенс которого равен а. |
|||
|
|
|
||||||
Арккотангенсом числа а называется угол (число) из промежутка |
|
|
|
котангенс которого = а. |
ТЕМА 19. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
sin x = a
|a| > 1
Корней нет.
|a| ≤ 1
x = (–1)n arcsina + πn, n Z
sin x = 0; |
x = πk, k Z. |
||||
sin x = 1; |
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin x = –1; |
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg x = a |
|
|
|
|
|
x = arctg a + πk, k |
|
Z. |
|||
tg x = 0; x = πk, k |
Z. |
cos x = a |
|
|
|
|
||
|a| > 1 |
|
|
|
|
||
Корней нет. |
|
|||||
|a| ≤ 1 |
|
|
|
|
||
x = ±arccosa + 2πn, n |
Z |
|||||
cos x = 0; |
x = |
|
+ πk, k |
Z. |
||
|
||||||
cos x = 1; |
x = |
|
||||
cos x = –1; |
x = |
|
||||
ctg x = a |
|
|
|
|
||
x = arcctg a + πk, k Z. |
|
|||||
ctg x = 0; x = |
|
|
+ πk, k Z. |
|
||
|
|
ТЕМА 20. КОРЕНЬ n-Й СТЕПЕНИ. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
Корнем n-й степени числа а называется такое число, n-я степень которого равна числу а. √ – корень; n – показатель; a – подкоренное выражение. Например: √
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, n-я степень которого равна а. Например: √ √
Корень четной степени из отрицательного числа не определён. √ Корень нечетной степени определен из любого числа. √
√√
Действия с корнями n-й степени
1. |
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
√√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
√ |
|
|
|
√ |
. |
6.√ √
Степенью |
|
|
числа a > 0 |
с рациональным показателем |
|
, где m Z, n N (n > 1) называ- |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ют число √ |
Итак, |
|
√ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
! Степень числа 0 определена только для положительных показателей по определению: 0r = 0 для любого r > 0.
+ Степенные равенства для любых рациональных и целых чисел см. тему 5 (св-ва степеней).
ТЕМА 21. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Функция вида , где х – независимая переменная (аргумент), а а – любое действительное число, называется степенной функцией.
|
Графики функций, которые следует запомнить: |
1) y = x2 |
2) y = x3 |
3) |
|
4) |
|
5) |
|
|
|
6) |
Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых под знаком корня имеется переменная (неизвестная), называют ирраци-
ональными.
Решение иррациональных уравнений основывается на приведении их с помощью некоторых превращений к рациональным уравнениям. Как правило, это достигается возведением обоих частей уравнения в одну и ту же степень (иногда несколько раз).
При возведении обоих частей уравнения в парную степень, полученное уравнение может иметь корни, которые не удовлетворяют данное равенство. Такие корни называют посторонними для данного уравнения. Следует обязательно делать проверку полученных корней!
Например: |
|
|
|
|
|||
Решите уравнение: √ |
|
|
. |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: √ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка: √ |
|
√ |
. |
||||
Ответ: 2. |
|
|
|
|
|
ТЕМА 22. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И УРАВНЕНИЯ. |
|
Функцию вида y = ax, где a > 1, a ≠ 0, называют показательной. |
|
! Показательная функция приобретает ТОЛЬКО положительные значения ax > 0 всегда |
|
Основные свойства: |
1. |
Область определений – множество всех действительных чисел R. |
2. |
Область значений – (0; + ). |
3.Если х = 0, то у = 1.
4.Функция не является ни парной, ни непарной.
5.Если, а > 1, тогда функция у = ах возрастает; если 0 < а < 1, то функция у = ах убывает.
6.При а > 1 и х > 0, ах >1; при x < 0, ax < 1. При 0 < a < 1 ах < 1, если x > 0; ax > 1 при х < 0.
7.График функции y = ax изображён на рисунке ниже.
y = ax |
y = ax |
0 < а < 1 |
а > 1 |
Показательные уравнения
Показательными называют уравнения, в которых неизвестное содержится в показа-
теле степени при постоянных основаниях.
Например: 2х + 3 = 0; 3х+1 – 3х – 1 = 0.
Простейшим показательным уравнением является уравнение ах = b, где a > 1.
Поскольку множество значений функции у = ах – множество положительных чисел, то уравнение ах = b:
1.Имеет один корень, если b > 0.
2.Не имеет корней, если b ≤ 0.
ТЕМА 23. ЛОГАРИФМЫ. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.
Логарифм – это степень, в которую необходимо возвести основание a, чтобы получить число b.
Определение логарифма можно коротко записать так:
Это равенство справедливо при b > 0, a > 0, a ≠ 1 и называется основным логарифмическим тождеством.