Книга по математике для поступающих в ВУЗы. КУРС СРЕДНЕЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЫ. Автор- Зайцев Артём Сергеевич

Функция y = ax3 (y = ax2n+1, a ≠ 0, n N)			2	1
Свойства
1.	Область определения: R.
2.	Функция непарная.
3.	Для	функция возрастает, если a > 0 (№ 1); убывает,
	если a < 0 (№ 2).
4.	Область значений: R.		1	2
5.	График функции – кубическая парабола.

					Функция y = |x|
					Свойства
					1.	Область определений: R.
					2.	Функция парная.
					3.	На промежутке		функция убы-
					вает; на промежутке [		функция возрастает.
					4.	Область значений: [		.
Функция		√
Свойства
1.	Область определения: [				.
2.	Функция ни парная, ни непарная.
3.	На промежутке [				функция возрастает.
4.	Область значений: [				.

ТЕМА 12. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Линейной функцией называют функцию вида y = kx + b, где k и b – некоторые числа, x - независимая переменная.

Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ax = b, где x - переменная, a и b – числа. Свойства:

– если a ≠ 0, то уравнение ax = b имеет единственный корень		;

–если a = 0, b ≠ 0, то уравнение ax = b не имеет корней;

–если a = 0, b = 0, то корнем уравнения ax = b является любое число.

Прямая пропорциональность

Функция y = kx при k ≠ 0 называется прямой пропорциональностью, k - угловой коэффициент. Эта функция является частным случаем линейной функции y = kx + b, при b = 0. Поэтому её

графиком является прямая, проходящая через начало координат.

Если k > 0, то график функции y = kx расположен в I и III координатных углах, если k < 0, то график функции расположен во II и IV координатных углах.

Задания на закрепление:

1. График линейной функции y = kx – 2 проходит через точку (–3; 2). Найдите k. Ответ для самоконтроля:

2.Не выполняя построения графиков функций y = 2x – 1 и y = 3x + 2, найти координаты точки их пересечения.

Ответ для самоконтроля: точка пересечения графиков (–3; –7).

Подсказка: приравнять правые части ур-ния, найти x. Подставить значение x в ур-ние с y.

Основные свойства линейных функций:

			Область	Область	Парность/	Возрастание/
	Функция	График	определе-	значений	непар-
						убывание
			ния D(y)	E(y)	ность

Возрастает на

R

Ни парные, k > 0 ни непар-

ные

R	Убывает на R

Линейная	k < 0	R
y = kx + b

Возрастает/

Непарная убывает в зависимости

от k.

b = 0

b

Парная

Постоянная

k = 0

ТЕМА 13. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ.

Квадратичной называют функцию вида y = ax2 + bx + c; где a, b, c – действительные (вещественные) числа, причем a ≠ 0. Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства квадратичной функции:

– если a > 0, D > 0, то ветви параболы	– если a < 0, D > 0, то ветви параболы
направлены вверх, а сама парабола находится	направлены вниз, сама парабола находится над
ниже оси ОX и пересекает её в двух точках;	осью ОX и пересекает её в двух точках;
– если a > 0, D = 0, то ветви параболы	– если a < 0, D = 0, то ветви параболы
направлены вверх, а сама парабола соприкаса-	направлены вниз, а сама парабола соприкаса-
ется с осью ОX в точке xо;	ется с осью ОX в точке xо;
– если a > 0, D < 0, то ветви параболы	– если a < 0, D < 0, то ветви параболы
направлены вверх, а сама парабола находится	направлены вниз, а сама парабола находится
над осью ОX и не имеет с ней общих точек;	ниже оси ОX и не имеет с ней общих точек.

Квадратное уравнение

Квадратным называют уравнение вида ax2+ bx + c = 0, где x – переменная, a, b, c – действительные (вещественные) числа, причем a ≠ 0. Число a называют первым (старшим) коэффициентом, b – вторым коэффициентом, с – свободным членом. Квадратное уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов – b или с – равен нулю, называют неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение вида ax2 + bx = 0

Уравнение вида ax2 + bx = 0 всегда имеет два корня: 0 и		. Такие уравнения, как правило,
решают разложением его левой части на множители.

Неполное квадратное уравнение вида ax2 + с = 0

Если		то уравнение вида ax2	+с = 0 имеет два корня: √		и √		.
Если		то уравнение вида ax2	+ с = 0 коней не имеет.
Если		то уравнение вида ax2	+ с = 0 имеет один корень: x = 0.

Формула корней квадратного уравнения

Выражение D = b2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+ bx + c = 0. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня; если D = 0 – то один корень; если D <0,

то квадратное уравнение корней не имеет.

Корни квадратного уравнения ax2+ bx + c = 0 при D ≥ 0 находят по формуле:

√

ТЕОРЕМА Виета:

Если x1 и x2 – корни квадратного трехчлена ax2+ bx + c, то выполняются равенства:

Разложение квадратного трехчлена на множители. Если D = b2 – 4ac > 0, то выполняется равенство: ax2+ bx + c = a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена.

Уравнение оси симметрии параболы: .

Координаты вершины параболы, заданной уравнением ax2+ bx + c находятся по формуле:

ТЕМА 14. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

Уравнение		является равносильным системе уравнений {

Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1)найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение;

2)заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3)решить полученное целое уравнение;

4)исключить из полученных корней те, которые превращают в нуль общий знаменатель.

Дробные неравенства

Неравенство		равносильно системам: {	и {
Неравенство		равносильно системам: {	и {
Неравенство		равносильно системам: {	и	{
Неравенство		равносильно системам: {	и	{

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Используется для решения неравенств f(x) > 0 (f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0). Метод основывается на том, что неразрывная на промежутке функция может изменять знак только в тех точках, где её значение равно нулю (но может и не изменять!).

!Чтобы решить неравенство методом интервалов, нужно:

1)найти область определения функции y = f(x);

2)найти значения х, при которых функция равна нулю (т.е. найти нули функции): f(x)=0;

3)разбить область определения на промежутки, в которых каждый из концов является корнем уравнения f(x) = 0 или конечной точкой промежутка определения ф-ции y=f(x);

4)определить знак f(x) на каждом из полученных промежутков;

5)объединить промежутки, на которых функция f(x) удовлетворяет неравенство во множество решений.

ТЕМА 15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.

Арифметической прогрессией называют последовательность а1, а2, а3, …, аn, …, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число d,

которое называют разницей арифметической прогрессии:

Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, n, … – арифметическая прогрессия, в которой a1 = 1, d = 1; 2, 4, 6, …, 2n, … - арифметическая прогрессия, в которой a1 = 2, d = 2.

Определяется n-й член арифметической прогрессии по формуле: an = a1 + d(n – 1), где n - но-

мер члена, an – n-й член, a1 – первый член, d – разница прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому перво-

го и n-го членов этой прогрессии, умножив на их кол-во:

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Геометрической прогрессией называют последовательность b1, b2, b3, …, bn ,…, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему и умножен на одно и то же число q (q ≠ 0, |q| ≠ 1), которое называют знаменателем геометрической прогрессии:

	| |	(если q = 1, то все члены прогрессии равны первому члену).
	Например: 1, 3, 9, …, 3n+1, … - геометрическая прогрессия, в которой b1 = 1, q = 3.
	Определяется n-й член геометрической прогрессии по формуле:		где – номер
члена,	– n-член, – первый член,	– знаменатель прогрессии. Модуль каждого члена геометри-

ческой прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим двух соседних членов:

| | √ Сумму n первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле:

Если	| |, то сумма бесконечной геометрической прогрессии		.

ТЕМА 16. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛОВ.

Кроме градусной меры, существует радианная мера измерения углов. Единицей радианной меры является радиан. Угол величиной 1 радиан – это угол с вершиной в центре окружности, который опирается на дугу окружности и длина этой окружности равна радиусу этого круга.

Градусная мера развёрнутого угла равна 180о, π = 180о. 1 радиан =

= 57о17′45″.

рад.

Величина угла

0о

15о

30о

45о

60о

75о

90о

180о

360о

в градусах

Величина угла

0

в радианах

Переход от радианной меры угла к градусной и наоборот

Для того, чтобы перейти от градусной меры к радианной, нужно разделить 180о (т.е. π) по-

следовательно на нужное число. Например, для преобразования 45о в радианную меру, необходимо найти такое число, разделив на которое 180о, мы получим 45о. Это число 4. Заменяем 180о на π и по-

лучаем нужное значение: 45

о

=

. Ещё примеры:

; 60

о

=

.

Для того, чтобы перейти от радианной меры к градусной, нужно также разделить π (т.е. 180о) на знаменатель дроби. Например:

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Синус (sin α) – это тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике обозначает отношение катета, лежащего против острого угла, к гипотенузе.

Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике обозначает отношение катета, прилежащего к острому углу, к гипотенузе.

Тангенс острого угла (tg α) – это тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике означает отношение противолежащего катета к катету, прилежащему к острому углу.

Котангенс острого угла (ctg α) – это тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике означает отношение прилежащего катета к катету, противолежащему к острому углу.

Таблица значений тригонометрических функций:

! Если к некоторому острому углу	прибавить (2n – 1) ∙ 90o (т.е. 90о, 270о, 450о и т.д.), то пер-
воначальная функция меняется на кофункцию.
Если к некоторому острому углу	прибавить 2n ∙ 90o (т.е. 180о, 360о, 540о и т.д.), то первона-

чальная функция НЕ меняется на кофункцию.

ТЕМА 17. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

Формулы сложения:

Формулы двойного угла:

Формулы понижения степени:

Формулы превращения суммы в произведение:

ТЕМА 18. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ.

	Графики функций:
1) y = sin x:	2) y = cos x:

3) y = tg x:

4) y = ctg x:

Обратные тригонометрические функции:
Арксинусом числа а называется угол (число) из промежутка [					] синус которого равен а.
Арккосинусом числа а называется угол (число) из промежутка [							косинус которого равен а.
Арктангенсом числа а называется угол (число) из промежутка (								) тангенс которого равен а.
Арккотангенсом числа а называется угол (число) из промежутка								котангенс которого = а.

ТЕМА 19. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

sin x = a

|a| > 1

Корней нет.

|a| ≤ 1

x = (–1)n arcsina + πn, n Z

sin x = 0;	x = πk, k Z.
sin x = 1;	x =
sin x = –1;	x =
tg x = a
x = arctg a + πk, k			Z.
tg x = 0; x = πk, k		Z.

cos x = a
|a| > 1
Корней нет.
|a| ≤ 1
x = ±arccosa + 2πn, n						Z
cos x = 0;			x =		+ πk, k	Z.
cos x = 1;			x =
cos x = –1;			x =
ctg x = a
x = arcctg a + πk, k Z.
ctg x = 0; x =			+ πk, k Z.

ТЕМА 20. КОРЕНЬ n-Й СТЕПЕНИ. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Корнем n-й степени числа а называется такое число, n-я степень которого равна числу а. √ – корень; n – показатель; a – подкоренное выражение. Например: √

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа называется такое неотри-

цательное число, n-я степень которого равна а. Например: √ √ Корень четной степени из отрицательного числа не определён. √ Корень нечетной степени определён из любого числа. √

√√

Действия с корнями n-й степени

1.

√

√

√

2.

√

√

√

3.

√√

√

4.

√

√

5.

√

√

.

6.√ √

Степенью				числа a > 0			с рациональным показателем			, где m Z, n N (n > 1) называ-
ют число √		Итак,				√

! Степень числа 0 определена только для положительных показателей по определению: 0r = 0 для любого r > 0.

+ Степенные равенства для любых рац. и целых чисел см. тему 5 (свойства степеней).

ТЕМА 21. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Функция вида y = xa, где х – независимая переменная (аргумент), а а – любое действительное число, называется степенной функцией.

	Графики функций, которые следует запомнить:
1) y = x2	2) y = x3

3)		4)

5)
		6)

Иррациональные уравнения

Уравнения, в которых под знаком корня имеется переменная (неизвестная), называют ирраци-

ональными.

Решение иррациональных уравнений основывается на приведении их с помощью некоторых превращений к рациональным уравнениям. Как правило, это достигается возведением обоих частей уравнения в одну и ту же степень (иногда несколько раз).

При возведении обоих частей уравнения в парную степень, полученное уравнение может иметь корни, которые не удовлетворяют данное равенство. Такие корни называют посторонними для данного уравнения. Следует обязательно делать проверку полученных корней!

Например:
Решите уравнение: √						.
Решение: √
Проверка: √					√	.
Ответ: 2.

	ТЕМА 22. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И УРАВНЕНИЯ.
	Функцию вида y = ax, где a > 1, a ≠ 0, называют показательной.
	! Показательная функция приобретает ТОЛЬКО положительные значения ax > 0 всегда
	Основные свойства:
1.	Область определений – множество всех действительных чисел R.
2.	Область значений – (0; + ).

3.Если х = 0, то у = 1.

4.Функция не является ни парной, ни непарной.

5.Если, а > 1, тогда функция у = ах возрастает; если 0 < а < 1, то функция у = ах убывает.

6.При а > 1 и х > 0, ах >1; при x < 0, ax < 1. При 0 < a < 1 ах < 1, если x > 0; ax > 1 при х < 0.

7.График функции y = ax изображён на рисунке ниже.

y = ax	y = ax
0 < а < 1	а > 1

Показательные уравнения

Показательными называют уравнения, в которых неизвестное содержится в показа-

теле степени при постоянных основаниях.

Например: 2х + 3 = 0; 3х+1 – 3х – 1 = 0.

Простейшим показательным уравнением является уравнение ах = b, где a > 1.

Поскольку множество значений функции у = ах – множество положительных чисел, то уравнение ах = b:

1.Имеет один корень, если b > 0.

2.Не имеет корней, если b ≤ 0.

ТЕМА 23. ЛОГАРИФМЫ. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.

Логарифм – это степень, в которую необходимо возвести основание a, чтобы получить число b.

Определение логарифма можно коротко записать так:

Это равенство справедливо при b > 0, a > 0, a ≠ 1 и называется основным логарифмическим тождеством.