khor32

12.2. Математическое ожидание бесполезных расходов при эксплуатации

подставить N =1, m =1, i = 0 или i =1, то получим (2.36) .и (2.38). Более

того, здесь просматривается глубокая связь: в дифференциальном ypaвнeнии для Г(i, t) в случае систем (12.4) используется математическое ожида-

ние y/(i, t) (10.28) количества работоспособных машин BC, a в случае ЭВМ (2.34) - функция s(i, t) (2.Z4), (2.25) готовности машины. HO при N = I

функция fl(0, t) (10.28) совпадает c s(0, t) (2.24), a 1(1, t) (10.28) — c s(1, t) (2.25).

Таким образом, подход, предложенный в paзд. 2.9.3 для расчета математического ожидания бесполезных расходов при эксплуатации ЭВМ, легко

обобщается на случай мнoroмaшинныx BC.

Случай 2. Восстанавливающая система имеет низкую производительность, т. e. неравенство (10.33) не выполняется. После пoдcтaнoвки (10.39) и n'1(i, t) = m в (12.4) получим дифференциальное уравнение

		^ Yпµ	c,.	(12.9)
dt Г(1' t^ - ( N	.

Интегрирование уравнения (12.9) показывает, что выражение (12.6)

при i

(t)= exp(-?»t);

у= (N?» -

= (i?.

является математическим ожиданием бесполезных расходов при эксплуатации ВС в условиям низкой производительности восстанавливающей системы.

12.2.2. Расчет эксплуатационных расходов для стационарного режима функционирования вычислительных систем

Рассмотрим работу BC при длительной эксплуатации. B § 10.4 было

показано (см. (10.30), (10.31), (10.40)), что предельные значения 1(i, t) и i, t) при t -k oo не зависят от начального состояния системы i E Е.

Если это так, то и средние бесполезные эксплуатационные расходы BC не

будут зависеть от ее начального состояния:

Г(t) =1im Г(i, t).	(12.12)
r—эao

Тогда на основании (12.4), (10.30), (10.31) и (10.40) можно записать дифференциальные уравнения для математического ожидания бесполезных экc-

493

12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем

плyaтaциoнныx расходов в условиях стационарного режима работы BC

(12.12):

+µ c,	+µ	с2 при N?.
		(12.13)
в противномпротивномслyчае.
Из уравнения (12.13) следует, что
Г(t) = yt,		(12.14)
где y определяется по формулам (12.7)	и	(12.10). Таким образом, при

оценке бесполезных эксплуатационных расходов в условиях длительной

работы BC можно использовать простейшую формулу (12.14).

Формулу (12.14) можно вывести иначе, т. e. непосредственно из решения (12.6) для переходного режима работы BC. действительно, при в (12.6) функция 8(t) -> 0, a величина -н ; не может оказать зaмeтнo-t->oo

ro влияния на произведение yt и в случае N?. mµ, и в случае N?. > mµ.

Следовательно, формулы можно трансформировать в (12.14). При этом вeличинa y, как следует из (12.14), выражает средние бесполезные расходы в

единицу времени при длительной эксплуатации BC, ее называют кoэффццц- eнmoм эксплуатационных потерь BC.

Очевидно, что выполнить расчет y можно и классически, т. e. через вероятности состояний системы. При таком cпocoбë расчета вместо обозначения y будем употреблять y' Тогда

у =(N -'7)с1 +(т-9)с2,

(12.15)

где величины II =1im 1(i, t), М =1im ?19(i, t) вычисляются через вероятно-

сти состояний системы Р- =1im Р (i, t), i Е Е1 ", j = 0, N. Подставив предельные значения (10.20) и (10.21) при t - оо в (12.15), получим

y* = c' ^ (N - j)P; + cг	(m + j - N)P;.	(12.16)
J=O	j=N-rn

Здесь {P; } (j E EON) — стационарное распределение вероятностей cocтoя

ний BC, a сами вероятности рассчитываются по формулам (9.50), (9.51).

Очевидно, что расчет по (12.16) существенно сложнее, чем по (12.7) или (12.10). Однако (12.16) позволяет:

494

12.2. Математическое ожидание бесполезных расходов при эксплуатации

1) установить степень адекватности систематически излагаемого здесь

подхода c классическим, принятым в теории массового обслуживания;

..	2)	определить оптимальное количество т восстанавливающих уст-
		.,
роиств, т. e. такое количество устройств, при котором достигается минимум
у* (12.16).
	B качестве показателя, оценивающего степень близости у (12.7) и у*
			/*	(12.16),возьмем
		Оу = h'		(12.17)

Численные эксперименты показывают, что значения y и у * достаточно близки; при N > 100 справедливо Оу < 0,1. Расчеты показывают, что ВС достаточно быстро входят в стационарный режим работы, a условию N?' < mµ легко удовлетворить. Следовательно, на практике для расчета ма-

тематического ожидания бесполезных расходов ВС можно широко применять простейшие формулы (12.7), (12.14).

Оптимальное количество m * восстанавливающих устройств при заданных N, с1 , с2 , , µ можно вычислить по (12.1 б). Такой процесс опреде-

*

ления т достаточно тpудоемок, и его применение в инженерной практике

весьма ограничено. C другой стороны, при оптимальном количестве т * вы-

полняется условие (10.33) и, следовательно, допустимо использование формулы (12.7). Однако из (12.7) видно, что чем меньше m, тем меньше потери

в единицу времени. Поэтому из (12.7) нельзя определить оптимальное количество восстанавливающих устройств. Численные расчеты показывают, что

при N -- оо имеет место

N/т*

поэтому для многомашинных ВС при расчете значений m', близких к т * , можно использовать следующую формулу:

	Ti = ]	+ t)[,	(12.18)
где ]х[	ближайшее к x целое число и такое, что ]х[ > х.

Формула (12.18) следует и из интуитивных соображений. Так, количество восстанавливающих устройств будет близко к оптимальному, если оно равно ожидаемому количеству отказавших ЭМ при длительной эксплуатации ВС. Следовательно, можно записать, что т' N —11 Подставив в по-

следнее выражение значение ii (10.30) , получим т' N?,(А, + µ) -1 , что под-

тверждаeт справедливость (12.18).

495

12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем

Таким образом, при определении для многомашинной ВС количества восстанавливающих устройств, близкого к оптимальному, достаточно воспользоваться простой формулой (12.18).

12.3. Математическое ожидание дохода вычислительных систем

Определим функцию D(i, t), i Е Ео , математическое ожидание дохода, который принесет ВС за время t > 0, если она начинает функционировать c i исправными машинами. При расчете D(i, t), i Е Е', потребуется как известные величины N, m, Х, µ, с, и с2 (см. § 12.2), так и новые: с2 себестоимость содержания одного восстанавливающегося устройства в единицу времени (2.28); с3 стоимость запасных технических средств, расходуемых при однократном восстановлении отказавшей ЭМ (2.29).

Очевидно, что расчет D(i, t) может быть выполнен c помощью аппарата

марковскиx процессов c доходами [5, 8]. Однако он тpудоемок и получение

числовых значений для D(i, t) немыслимо без использования средств вычис-

лительной тexники. B [5] показано, что континуальный подход (или метод ди-

намипси средних [25]) здесь тaкже работает, a числовые результаты, получаемые

этими методами, хорошо согласуются. Поэтому в данном параграфе ограничимся изложением метода, основанного на континуальной модели функционирования ВС (см. § 10.3, 10.4). Этот метод является обобщением способа, описaнного в разд. 2.9.4 для ЭВМ, на случай вычислительных систем.

12.3.1. Расчет дохода для переходного режима работы вычислительных систем

Рассмотрим прежде всего работу ВС на начальном участке времени. Для этого оценим математическое ожидание дохода ВС к моменту (t + At) c

учетом малых порядка не выше At. Очевидно, что D(i, t + At), i Е Е, определяется как сумма доходов, ожидаемых на промежутках времени [0, t) и

[t, t + At),	за вычетом расходов по содержанию восстанавливающих уст-
.,	..

роиств и средней стоимости технических средств, устанавливаемых вместо отказавших при ремонте ЭМ в течение времени At.

Математическое ожидание дохода, приносимого при эксплуатации ВС за промежуток времени [0, t), по определению равно D(i, t), i Е Е'' Доход при эксплуатации ВС в промежутке времени [t, t + At) определяется

496

^I(i, t)c10t.

12.3. Математическое ожидание дохода вычислительных систем

работой исправных ЭМ. Если в момент t в системе в среднем исправно 1(i, t) ЭМ и стоимость единицы полезного времени работы одной ЭМ составляет с,, то средний доход ВС в промежутке [t, t + At) будет равен

(12.19)

C другой стороны, с2 себестоимость содержания одного из m ВУ в единицу времени и, следовательно, величина

mс2 At

(12.20)

оценивает расходы по содержанию восстанавливающих устройств в течение времени At. Наконец, если в момент времени t ремонтом занято в среднем i?9(i, t) ВУ, то математическое ожидание расходов на запасные технические

средства, используемые на восстановление отказавших машин в промежутке [t, t + At), будет равно

9(i, r)сзµer,

(12.21)

где с3 — средняя стоимость запасных технических средств, используемых

при однократном восстановлении одной ЭМ;	µ — среднее число вoccтa-
нoвлeний, производимых одним ВУ.
Учитывая приведенные оценки (12. 19)–(12.21), можно записать
D(i, t + At) = D(i, 0+11(i, t)c10t – mc2 At –	(i, t)сЭµOt + o(At).	(12.22)
Or формулы (12.22) очевиден переход к ,гиффepefп.иaтьнoмy уравнению
dt D(i, t) _ ^'/(i, t)c, – m2 – 9'9(i, t)c зµ.		(12.23)

При этом в качестве начальных условий естественно принять

D(i, 0)=0,	i E Eo
При вычислении D(i, t), i E Е", воспользуемся результатами, приве-
денными в § 10.4 и 12.2. Учитывая, что функции {'/(i,		t) и i, t) имеют
вид (10.28)	и (10.29) при выполнении неравенства (1033) и вид (10.39) и
Y/(i, t) = m	при невыполнении (10.33), можно найти решение уравнения
при заданных начальных условиях. Это решение имеет следующий(12.23)
вид:
	D(i, I) = D, + gt - D1 (t),	(12.24)

где i E Е_; S(t) = exp[–(?', + µ)t];

497

12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем

g= Nµ (С1			- ? ,с3 ) - тсг► .^	(12.25)
D^	i	- (N	- i)µ	(12.26)
	=		2 (C1 + µс3 )
		(?. + µ)
при выполнении неравенства NГА. < тµ или i Е Е""' 1				;
		b(t) = exp( -?»t);
	g = т (С1 - ?'сз) — тс2, .^			(12.27)
	D1 = Е, = (i^, - тµ)^-гс1

при выполнении N > тµ.

Таким образом, сложность расчета математического ожидания дохода, приносимого ВС, остается такой же, что и при расчете средних эксплуатационных расходов.

12.3.2. Расчет дохода для стационарного режима работы BC

Исследуем поведение BC в условиях ee длительной эксплуатации. Для

этого в дифференциальное уравнение (12.23) подставим предельные знaчeния 1(i, t) и rn(i, t) при t -^ oo и учтем, что доход при эксплуатации cиc-

тeмы в стационарном режиме не зависит от ee начального состояния, т. e.

	D(t) = urn D(i, t).
Тогда
	D(t) =		с1 - тс			- с3			(12.28)
	dt
После пoдcтaнoвки значений 11			и 'I,		вычисленных в § 10.4,			в уравнение
(12.28) получим
	Ni.	с	— тс	,	N^µ c		при N^, < т	µ	•
-- D(t)	µ	1		2 —		3	^		(12.29)
						µ
dt	тµ с1	—	тс2	— тсз µ			при N & > тµ.
Решая уравнения (12.29), находим, что
			D(t) = gt,						(12.30)

где g определяется по (12.25) и (12.27). Из (12.30) видно, что величина g является средним доходом, приносимым в единицу времени при длительной

эксплуатации BC; ee называют прибылью BC.

498

12.4. Технико-экономическое исследование структур вычислительных систем

Формула (12.з0) следует и из общего решения (12.24). B самом деле, при длительной эксплуатации ВС, т. e. при t — о0 функция 8(t) —+ 0 и имеет

место неравенство D; « gt.

Рассчитать прибыль ВС можно и c помощью аппарата марковских

процессов c доходами [5, 8]. Преодолевая известные вычислительные трудности такого расчета, можно установить степень точности расчета прибыли

ВС, выполненного в данном параграфе. Пусть g и g * значения прибыли,

которые вычислены соответственно по (12.25) и c помощью аппарата марковских процессов c доходами

Ag = Ig' — gI / g *

Расчеты показали, что при числе машин в ВС не менее 100 обеспечивается выполнение неравенства Ag < 0, 01. Таким образом, точность расче-

та прибыли g на порядок выше точности вычисления y (см. § 12.2).

При определении для заданной ВС количества восстанавливающих

устройств, близкого к оптимальному (т. e. к числу, дающему максимум g),

достаточно воспользоваться известной формулой (12.18).

12.4. Технико-экономическое исследование структур

вычислительных систем в условиях потока задач

До сих пор мы рассматривали экономические вопросы работы ВС как

коллективов ЭМ, в которых структура взаимосвязей между ЭМ и процесс по-

стyпления задач на ВС не находили отражения в явном виде. Приведенные в § 12.1-12.3 результаты позволяют оценить лить потенциальные возможности ВС по обеспечению их технико-экономической эффективности. В данном парагpафе будет введен показатель эффективности ВС, который учитывает экономические характеристики каналов межмаплпшой связи, структуру ВС, распределения машин и терминaлов ВС по вычислительным центрам и характеристики потоков задач, поступающих в систему через каждый терл инал. Будет также указан путь организации стохастически оптимального фу кц ионирования ВС c использованием введенного показателя и аппарата стохастического программирования.

12.4.1. Оценка потерь при обслуживании вычислительных систем потока задач

Пусть имеется распределенная ВС c программируемой структурой

(см. рaзд. 7.1.2 и § 12.1), состоящая из N элементарных машин и обслужи-

499

12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем

вающая L терминалов. Машины и терминaлы размещены на H вычислительных центрах (ВЦ). Обозначим N1 количество ЭМ, a L1 количество

терминалов, принадлежащих i-му ВЦ, i Е Е Н = 11, 2, ... , H } . Очевидно, что

нн

1 Ni — N,	1 L^ — L.	(12.31)
i=	i=

На каждый из терминалов поступает поток задач различной сложно-

сти (см. разд.3.3.4). Считается, что задача, поступающая на терминaл j Е Е; = {1, 2, ... , L}, представлена адаптирующейся параллельной про-

граммои,V количество а^Н ветвейv в которойv допускает варьирование от а до a; ; или, иначе говоря, считается, что такая задача имеет переменный ранг

а^ и такой, что а < а, < а*. Минимальный и максимальный ранги а; и а

выбираются на этапе программирования c учетом сложности и структуры решаемой задачи, и других условий. По определению (см. § 10.1) адаптирующаяся программа допускает реализацию на системах (подсистемах) c переменным рангом (или количеством машин). Ранг подсистемы в данном

случае соответствует рангу задачи ё,н и заключен в границы от а до а; ,

j Е Е1 B пределах подсистемы обеспечивается возможность передачи информации по сети связей между любыми ЭМ. Считается, что все величины

а, , j Е Е, являются независимыми случайными величинами.

Из сказанного следует, что спрос на подсистемы различных рангов носит случайный характер. Допускается, что всегда можно определить средний спрос на подсистемы различных рангов в зависимости от диапазонов допустимых рангов для задач (т. e. от заложенных в их параллельные программы возможностей по варьированию количества ветвей).

Пусть р(а) и р; (а) вероятности того, что для терминaла

j Е Е; потребуются подсистемы рангов соответственно аj и а, т. е.

р (а) и р (а) вероятности запроса c терминала j соответственно а; и а^ связных ЭМ. Очевидно, что

^сю

Pi (ai) = 1,	Pi (ai ) =1.	(12.32)
а^ =0	а^ =0

Тогда средние спросы на терминале j при минимально и максимально требуемых рангах подсистем для решения задач потока соответственно равны:

500

j Е Е, k; Е Е('

12.4. Технико-экономическое исследование структур вычислительных систем

ф	.	*	* * *
			ф

Р, = ^ а;р, (а, ), P; =	а;р;(а; ).	(12.33)
а^ =0	а^ =0

Обозначим через x; ранг подсистемы, которая назначается на терминал j Е Е1 . Говоря иначе, a; и а — соответственно минимальный и максимальный ранги подсистем, которые требуются, a x; ранг подсистемы,

которая может быть использована на терминале j Е Е

Найдем оценки для компонентов, составляющих суммарные потери из-за <пеправильного» распределения машин ВС по терминалам. Пусть c; средняя стоимость пользования одной ЭМ распределенной ВС c тер-

минала j Е Е; Считается, что при выделении для каждого терминала машин сверх требуемого спроса имеют место простои избыточных ЭМ. Тогда потери для терминала j Е Е1 при решении задачи, ранг которой не может быть больше а;, составят c; (x; – a; ). При необеспечении терминaла мини-

мaльно необходимым количеством ЭМ считается, что все выделенные этому терминалу ЭМ простаивают, и имеют место потери из-за нерешения задачи.

B последнем случае общие потери для терминала j Е Е; оцениваются величиной (с; х; + K; р; ), где K; р — штраф за неудовлeтворение спроса на терминале; К; коэффициент штрафа. Ясно, что, задавая K; соответствующим образом, можно достичь реализации политики приоритетов терминалов, если, например, K; = ю), или приоритетов ВЦ, если, например, К; = 1(10, где k; номер ВЦ, содержащего терминaл

Среднее количество избыточных ЭМ для терминала j Е Е; равно

х^	ао
	(а^ - x; )р; ( а; ),
a=O	aj *=xj

что вытекает из (12.32) и (12.33). Следовательно, ожидаемые потери от избытка ЭМ для терминала j Е Е; составят

с (х — р;)+с;	ф	(12.34)
	(а; — х;)р;(а;).

а=х^

Среднее количество ЭМ, не достающих до максимального требуемого для терминала j Е Е; , равно

501

12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем

^

п; (x; ) = ^ (а; -xj )p(a).

а =х

Введем функцию

1, еслип; (х; )>р—р.;

(12.35)

0, если п(х) р —р,

тогда ожидаемые потери от недостатка ЭМ для терминaла j Е Е, могут быть представлены в следующем виде:

	+ Кр; ).	(12.36)
Оценим издержки, связанные c использованием каналов связи между
ВЦ. Пусть с,,,	минимальная стоимость использования каналов, обеспечи-

вающих связь между i-м и k-м ВЦ, i, k Е Е Матрица ‚lclk характеризует

издержки при передаче информации по сети связей между ВЦ. допускается, что передача информации между ЭМ в пределах одного ВЦ требует пренебрежимо малых расходов по сравнению c пересылкой данных между маши-

нами различных ВЦ. Обозначим через к,;, i Е Е н j Е Е, , количество ЭМ i-го ВЦ, используемых j-м терминалом, и введем функцшо S,; (к,; ) такую, что

= 11,	если к,; > 0;	(12.37)
0,	если к, = 0.

Тогда издержки при передаче информации между j-м терминалом и всеми элементарными машинами BC и потери вследствие использования каналов

связи между ВЦ будут соответственно равны:

н	L	н
^Si;(кг; )cik ; ;		(12.38)
i=1	j=1	i=1

Выпишем суммарные ожидаемые потери Z при функционировании распределенной ВС коллективного пользования, обслуживающей поток задач:

LI		н
j=1 L	а=хг	1=1

(12.39)

что следует из (12.34), (12.36), (12.38).

502