Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лабораторные_работы_ Атомка / Атомка_PDF / 2_Изотопический сдвиг.pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
515.87 Кб
Скачать

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

Кафедра экспериментальной физики

Лабораторная работа 2

ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СДВИГ

Симферополь 2002

Лабораторная работа № 1.

ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СДВИГ.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.

Спектр атома водорода отличается наибольшей простотой и наглядностью, поэтому изотопы этого элемента представляют собой идеальный объект для выяснения особенностей спектроскопических переходов. В данной работе изучается формирование серии Бальмера для водорода и дейтерия.

Из теории Бора следует, что атом водорода испускает излучение при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. Длина волны излучения равна

λ =

(4πε0 )2

4πch3

 

 

me

4

 

1

1

,

(1)

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

k 2

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ħ - постоянная Планка; с – скорость света; m – масса электрона; εо – электрическая постоянная; e – заряд ядра; к – номер орбиты, на которую переходит электрон (для серии Бальмера к = 2; n= 3,4,5…). Из (1) следует, что длина волны излучаемого света не зависит от массы ядра, а зависит лишь от его заряда. Поэтому, казалось бы, спектры изотопов водорода должны быть одинаковы, поскольку ядра изотопов различаются по массе, но имеют одинаковый заряд. Опыт же показывает обратное : соответствующие линии спектров изотопов водорода несколько смещены друг относительно друга. На рис.1 представлен спектр смеси водорода и дейтерия в видимой области.

Dδ

 

Hδ

 

Dγ

 

Hγ

 

Dβ

 

Hβ

 

Dα

 

Hα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Δλγ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Δλδ

 

 

 

Δλα

 

 

 

Δλβ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

Рис. 1. Серия Бальмера для водорода (Hα, Hβ, …) и дейтерия (Dα, Dβ, …)

Нα – обозначает переход с n=3 на k = 2, Нβ - переход с n = 4 на k = 2 и т.д. Символы Dα, Dβ, … строятся по тому же принципу.

Сдвиг (в единицах длины волны или частоты) между соответствующими линиями изотопов получил название изотопического сдвига (на рис.1. изотопический сдвиг обозначен как Δλ). Эффект изотопического сдвига можно объяснить в рамках теории Бора. Необходимо лишь считать (что и имеет место в действительности), что ядро не является неподвижным, а движется вместе с электроном вокруг общего центра масс. На рис.2. схематически изображен процесс движения ядра и электрона вокруг центра масс С.

Начало системы координат поместим в точку С. Тогда r и R – радиусы-векторы электрона и ядра соответственно. По определению, радиус-вектор центра масс определяется как

r

N

r

N

rc

= miri

mi

 

i=1

 

i=1

где, mi– масса i -ой частицы, rri – ее радиус, суммирование проводится по всем частицам

системы.

 

 

 

 

 

2

 

Я

C

r

R

e

Рис.2. Модель атома водорода.

Поскольку начало системы отсчета в нашем случае совпадает с центром масс С, то

r

N

r

= 0

(2)

rc = 0 ,

или miri

i=1

Для атома водорода (или его изотопа) последнее равенство имеет вид

mrr + MR = 0

(3)

где m и M – соответственно массы электрона и ядра.

 

Спроектируем (3) на направление r (можно и на направление

R ,

результат будет тем же).

 

mr MR = 0

(4)

где r = rr, R = Rr . Продифференцируем соотношение (3) по времени и найдем

mvv + MV = 0, mv MV = 0

где vr и Vr - скорости электрона и ядра соответственно. Полная энергия системы равна:

E =Te +Tя +U

где Te ,Tя - кинетические энергии электрона и ядра соответственно, U- гия их взаимодействия. В явном виде:

E =

mv2

+

MV 2

e2

2

2

4πε0 d

 

 

 

где d– расстояние между электроном и ядром: d = r + R . Используя (4),

 

 

m

d = r 1

+

 

 

 

 

 

M

(5)

(6)

потенциальная энер-

(7)

находим:

(8)

3

Теперь необходимо исключить неизвестные величины v,V , d

 

из (7). Подставим d из (8) и

V из (5) в (7):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E =

mv2

(1

+

m

)

e2

 

 

 

(9)

2

M

4πε0 r(1

+

m

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем выражение для 2-го закона Ньютона, которому удовлетворяет движение электрона по круговой орбите:

mv2

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

,

отсюда:

 

r

 

4πε0 d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r =

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

(10)

 

 

4πε

 

mv

2

 

+

m 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

Постулируемое правило квантования орбит утверждает, что модуль суммарного момента импульса системы кратен постоянной Планка:

 

m[rr, vr]+ M [Rr,Vr]

 

= nh

или

 

 

 

 

mvr + MVR = nh

(11)

Подставим в (11) выражения для V и R из (4) и (5):

 

 

 

 

 

 

 

 

mvr(1+ M ) = n

 

 

 

 

 

 

m

 

h

(12)

Из (10) и (12) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

(13)

 

 

4πε0 (1+

 

m

)nh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь вместо (10) можно записать:

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r =

4πε

0

n2h2

 

 

 

 

 

 

(14)

 

 

me2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя (13) и (14), перепишем (9):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E = −

 

 

me4

 

 

 

 

 

(15)

 

n2 2h2 (4πε0 )2 (1 +

m

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

Найдем выражение для частоты излучаемого света при переходе электрона с орбиты n на орбиту k:

ϖ =

En Ek

=

me4

 

 

(

1

1

)

(16)

 

 

 

 

 

 

h

 

2h3 (4πε0 )2 (1 +

m

)

 

k 2

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

Аналогичная формула для длины волны λ = 2πc /ϖ :

4

Соседние файлы в папке Атомка_PDF