Курсовая работа / Вариант 13 - 2004 / вар13
.docВариант 13
Измерено давление в 80 пневматиках. В таблице приведены отклонения давления от номинального (в 103 Па).
-9,6 |
5,1 |
-6,9 |
-6,6 |
-21,8 |
6,4 |
-17,8 |
-3,4 |
-5,6 |
5 |
-6,6 |
-17,5 |
-3,5 |
-8,6 |
-3,6 |
-8,8 |
-19,8 |
12,8 |
-27,7 |
-6,3 |
-10,9 |
-7 |
3,8 |
-4,4 |
-15,2 |
4 |
6,3 |
20,3 |
3,3 |
-7,7 |
-3 |
-18,6 |
-14 |
8,4 |
12,7 |
-1,5 |
-2,4 |
-11 |
-29,6 |
-5,2 |
-16,8 |
-7,8 |
-8,7 |
-0,3 |
-1,4 |
15,9 |
0,31 |
-5,1 |
10 |
13 |
0,1 |
0,1 |
-23,3 |
-5,9 |
1,3 |
-17,4 |
1,9 |
6,8 |
-7,9 |
5,6 |
15,6 |
11,8 |
-17,8 |
8,8 |
-0,2 |
-11,6 |
8,3 |
-0,2 |
15 |
1,6 |
0,25 |
4,6 |
8,7 |
0,7 |
-2,2 |
-7,3 |
-16,8 |
0,21 |
-5 |
-12,2 |
Цель работы
Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно оцениванию распределений и их параметров и проверке в распределениях.
Содержание работы
-
Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
-
Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии соответствующие заданной доверительной вероятности.
-
Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал.
-
Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности.
-
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
-
Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(X), соответствующие заданной области.
-
Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
-
Используя критерии согласия χ2 и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости.
Решение
-
Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.
-
Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-α)=0.75 . Тогда по формуле
и таблице Лапласа находим εα=1.152 и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:
-4.53<MX<-1.81 93.95<DX<135.86
3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал . Т.к. в этот интервал попало m=4 экспериментальных значения, то искомая оценка будет равна:
4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р(х), оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-α)=0,9. Тогда εα=1.65, а искомый интервал имеет вид
5. Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-30,21) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый из которых длинной 5. Затем рассчитываем следующую таблицу:
Разряд (Xi-1;Xi) |
Частота попадания случайной величины Х в разряд (Xi-1;Xi) |
Значение гистограммы Г(х) |
(-30;-25) |
0,025 |
0,005 |
(-25;-20) |
0,025 |
0,005 |
(-20;-15) |
0,1125 |
0,0225 |
(-15;-10) |
0,0625 |
0,0125 |
(-10;-5) |
0,225 |
0,045 |
(-5;0) |
0,15 |
0,03 |
(0;5) |
0,175 |
0,035 |
(5;10) |
0,125 |
0,025 |
(10;15) |
0,0625 |
0,0125 |
(15;20) |
0,0375 |
0,0075 |
График гистограммы представлен на рис.1 Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле
Ее график представлен на рис. 2
6. Находим доверительные области для распределения f(х) и функции распределения F(х).
В данном случае общее число разрядов r равно 10 плюс два полубесконечных разряда, т.е. r=12. Если теперь выбрать доверительную вероятность (1-α) равную 0,85 то получим εα=2,5.
Результирующие доверительные границы для плотности f(х) на каждом разряде гистограммы представлены в таблице, а их графическое изображение на рис.2
Разряд (Xi-1;Xi) |
Нижняя граница для плотности распределения f(x) |
Верхняя граница для плотности распределения f(x) |
(-30;-25) |
0,000285 |
0,081454 |
(-25;-20) |
0,000285 |
0,081454 |
(-20;-15) |
0,004271 |
0,109931 |
(-15;-10) |
0,00154 |
0,094112 |
(-10;-5) |
0,013154 |
0,142788 |
(-5;0) |
0,006886 |
0,12123 |
(0;5) |
0,008839 |
0,128553 |
(5;10) |
0,005097 |
0,113744 |
(10;15) |
0,00154 |
0,094112 |
(15;20) |
0,000608 |
0,085769 |
Далее по таблице распределения величины λα (распределение Колмогорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-α)=0,95. Она равна λα=1,4
Затем по формуле
рассчитываем доверительную область для функции распределения F(х).
График этой области представлен на рис.3
7. На формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функцией
и с плотностью
где– оценка неизвестного значения λα. Т.к. , то и, следовательно
Возможен случай, когда из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией
и с плотностью
где F(u)- функция Лапласа. – исправленная дисперсия.
-
Для проверки гипотезы H0:F(x)=FГ (х) выбираем например уровень значимости α=0,05 и используем вначале критерий согласия χ2. Его экспериментальное значение, согласно формуле
равно χ2э=137.
А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы s=12-1-1=10 согласно условию
равно χ2α=18,3. Таким образом и следовательно гипотеза Н0 по критерию согласия χ2 не является правдоподобной.
Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 4)
откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:
Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости α=0,05 (см. табл. Колмогорова) равно λα=1,4. Таким образом и, следовательно, гипотеза Н0 не является правдоподобной так же по критерию Колмогорова.