Курсовая работа / Вариант 24 - Феоктистов - Белоусова - 2004 / курсовик

Министерство образования РФ

РХТУ им. Д.И.Менделеева

Факультет Высоких ресурсосберегающих и информационных технологий

Курсовая работа по курсу стандартизация и сертификация

Выполнил: Белоусова О.С. группа КС-50

Проверил: Феоктистов П.А.

Москва

2004 г

Задание

Вариант №24

Было замерено давление 100 баллонов с метаном. Результаты замеров сведены в таблицу:

917	832	1009	958	948	906	980	742	1047	1041
936	899	993	978	1009	929	1082	889	799	934
1025	1115	834	881	1048	962	862	1059	1093	997
1307	882	994	834	1012	1070	932	865	770	943
987	1078	890	906	1250	935	899	844	1152	930
1015	1060	933	944	1043	904	926	903	862	792
1032	991	963	1012	1052	856	666	910	1026	943
942	997	880	904	1058	1052	980	1096	975	841
920	1093	1034	984	904	1053	897	850	750	822
1031	868	970	1142	973	845	1000	1093	880	815

Содержание работы

1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X.

Математическое ожидание:

Исправленная дисперсия:

Выборочная дисперсия:

2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности 1-α=0,75.

Из таблицы находим значение функции Лапласа:

M1=945; М2=969

945<Mx<969

3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,8 ÷ 1,2).

В заданный интервал попали 94 значения:

4. Для этой вероятности (см. п.3) найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности 1-α=0,9.

Из таблицы находим значение функции Лапласа:

5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.

Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (650,1350)и разбиваем его на 14 равных разрядов каждый длиной в 50.

Разряд (Хi-1,Xi)	ni	Частота попадания случайной величины Х в разряд (Хi-1,Xi)	Значение гистограммы Г(х)
[650, 700)	1	0.01	0.0002
[700,750)	1	0.01	0.0002
[750,800)	4	0.04	0.0008
[800,850)	8	0.08	0.0016
[850,900)	15	0.15	0.003
[900,950)	22	0.22	0.004
[950,1000)	16	0.16	0.0032
[1000,1050)	15	0.15	0.003
[1050,1100)	13	0.13	0.0026
[1100,1150)	2	0.02	0.0004
[1150,1200)	1	0.01	0.0002
[1200,1250)	0	0	0
[1250,1300)	1	0.01	0.0002
[1300,1350)	1	0.01	0.0002

Таблица 1

значение гистограммы Г(x) (Таблица 1):

, где n_i- число экспериментальных точек, попавших в этот разряд , а - его длина.

частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

;

где n_x - число экспериментальных точек, лежащих левее х.

6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности 1-α=0,85.

На каждом разряде находим доверительную область для вероятности попадания исходной величины X в этот разряд. Вычисляем по формуле (пункт 4.) с заменой величины соответственно на . Общее число разрядов r = 14 плюс 2 полубесконечных разряда , r = 14.

используя таблицу значений функции Лапласа, находим = 2,6.

i = 1...r

плотность распределения на i-ом разряде;

доверительные границы для плотности распределения, которая находится по формуле:

, ; длина разряда

Найдём доверительную область для функции распределения F(x).По таблице находим величину (распределение Колмогорова), соответствующую доверительной вероятности (1-) = 0,85. Она равна =1,14. Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):

разряд	доверительные границы для плотности распределения f(x)
0	0,00000	0,00127
0	0,00000	0,00127
[650, 700)	0,00002	0,00162
[700,750)	0,00002	0,001618
[750,800)	0,00024	0,00253
[800,850)	0,00067	0,00360
[850,900)	0,00159	0,00529
[900,950)	0,00164	0,00687
[950,1000)	0,00174	0,00553
[1000,1050)	0,00159	0,00530
[1050,1100)	0,00131	0,00483
[1100,1150)	0,00007	0,00194
[1150,1200)	0,00002	0,00162
[1200,1250)	0,00000	0,00127
[1250,1300)	0,00002	0,00162
[1300,1350)	0,00002	0,00162
0	0	0,00127
0	0	0,00127

7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.

Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение функции:

-для плотности распределения:

-для функции распределения:

8. Используя критерий согласия χ2 и Колмогорова, проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при заданном уровне значимости α=0,05.

Для проверки гипотезы при уровне значимости α = 0,05 и используем критерий согласия . Экспериментальное значение вычисляется по формуле:

где n – общее число экспериментальных точек;

r – число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды);

- экспериментальная частота попадания величины x в i-ый разряд P_i – вероятность попадания величины x в i-ый разряд при гипотезе H₀.

Для нормального закона распределения P_i определяется по формуле:

Экспериментальное значение,согласно вышеуказанной формуле

=20,81

Значение зависит от двух величин (α,s). Уровень значимости α = 0,05; число степеней свободы:

S = r – 1 – k

k = 2 , так как нормальное распределение, тогда

s = 16-1-2 = 13

Значит, теоретическое значение (по табл.)

Таким образом,

<

гипотеза является правдоподобной

б) Проверим эту же гипотезу с помощью критерия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения равно в данном случае:

Экспериментальное значение критерия Колмогорова равно:

Гипотетическое значение этого критерия при уровне значимости α = 0,05 (по таблице Колмогорова) равно (1-α = 0,95):

1,36

Таким образом, , следовательно, гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.