- •Задание.
- •Решение.
- •2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.
- •2) Построение доверительной области для плотности распределения f (X):
- •Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.
- •2) Для проверки гипотезы с уровнем значимости используем критерий Колмогорова λ.
Задание.
В ста случаях зарегистрировано время (в секундах) обнаружения цели оператором радиолокационной станции с момента ее появления в зоне РЛ:
27 |
5 |
107 |
21 |
20 |
46 |
35 |
27 |
6 |
25 |
16 |
118 |
3 |
3 |
0 |
54 |
85 |
30 |
39 |
43 |
15 |
59 |
3 |
143 |
70 |
10 |
82 |
71 |
64 |
67 |
17 |
29 |
43 |
285 |
3 |
17 |
185 |
42 |
26 |
3 |
88 |
22 |
31 |
6 |
25 |
0 |
29 |
170 |
242 |
22 |
31 |
79 |
117 |
0 |
101 |
55 |
32 |
38 |
13 |
16 |
42 |
316 |
0 |
32 |
52 |
102 |
7 |
63 |
24 |
68 |
67 |
29 |
17 |
4 |
21 |
96 |
112 |
91 |
26 |
9 |
167 |
7 |
58 |
132 |
21 |
20 |
28 |
0 |
5 |
26 |
20 |
58 |
65 |
96 |
19 |
42 |
99 |
30 |
79 |
65 |
-
Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
-
Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 - α) = 0,85).
-
Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,7 - 1) .
-
Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности ((1 - α) = 0,90).
-
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
-
Найти и построить доверительные области для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 - α) = 0,90).
-
Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
-
Используя критерий согласия χ2 и критерий Колмогорова, проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом распределения при заданном уровне значимости ( α = 0,05).
Решение.
Располагаем экспериментальные данные в порядке возрастания:
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
6 |
6 |
7 |
7 |
9 |
10 |
13 |
15 |
16 |
16 |
17 |
17 |
17 |
19 |
20 |
20 |
20 |
21 |
21 |
21 |
22 |
22 |
24 |
25 |
25 |
26 |
26 |
26 |
27 |
27 |
28 |
29 |
29 |
29 |
30 |
30 |
31 |
31 |
32 |
32 |
35 |
38 |
39 |
42 |
42 |
42 |
43 |
43 |
46 |
52 |
54 |
55 |
58 |
58 |
59 |
63 |
64 |
65 |
65 |
67 |
67 |
68 |
70 |
71 |
79 |
79 |
82 |
85 |
88 |
91 |
96 |
96 |
99 |
101 |
102 |
107 |
112 |
117 |
118 |
132 |
143 |
167 |
170 |
185 |
242 |
285 |
316 |
-
Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 100, по формулам:
- для математического ожидания MX - выборочное среднее:
-для дисперсии DX – исправленная дисперсия:
- выборочная дисперсия – DX
-
Находим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для доверительной вероятности (1 - α) = 0,85.
1) 2Φ(εα) = 1 – α, Φ(εα) – функция Лапласа
Φ(εα) = (1 - α)/2 = 0,85/2=0,425
По таблице для функции Лапласа находим εα = 1,44
2) а) доверительный интервал для математического ожидания:
Mx1 = 52,76 – 1,44ּ Mx2= 52,76 +1,44ּ
б) доверительный интервал для дисперсии:
Dx1 = = 2737,03 Dx2= = 4131,77
-
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,7 - 1) , то есть 36,93 ≤ ≤ 52,76:
, m = 9 – число значений, попавшее в данный интервал,
n = 100 – общее число значений
-
Доверительный интервал для вероятности попадания случайной величины с доверительной вероятностью (1 - α) = 0,90:
2Φ(εα) = 1 – α, Φ(εα) – функция Лапласа
Φ(εα) = (1 - α)/2 = 0,90/2=0,45
По таблице для функции Лапласа находим εα = 1,65
Р1 = =0,053
Р2 = =0,149
-
1) Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0;316) и разбиваем его на 10 равных разрядов.
Значение гистограммы Г(x) находим по формуле : ,
где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;
- его длина.
величина интервала:
количество разрядов: k = 10
величина разряда:
№разряда |
Разряд |
Частота попадания случайной величины X в разряд |
Значение гистограммы Г (х) |
||
нижняя граница |
верхняя граница |
||||
ni |
|||||
1 |
0 |
31,6 |
51 |
0,51 |
0,016139 |
2 |
31,6 |
63,2 |
18 |
0,18 |
0,005696 |
3 |
63,2 |
94,8 |
14 |
0,14 |
0,00443 |
4 |
94,8 |
126,4 |
9 |
0,09 |
0,002848 |
5 |
126,4 |
158 |
2 |
0,02 |
0,000633 |
6 |
158 |
189,6 |
3 |
0,03 |
0,000949 |
7 |
189,6 |
221,2 |
0 |
0 |
0 |
8 |
221,2 |
252,8 |
1 |
0,01 |
0,000316 |
9 |
252,8 |
284,4 |
0 |
0 |
0 |
10 |
284,4 |
316 |
2 |
0,02 |
0,000633 |
Гистограмма представлена на рисунке 1.
Рисунок 1.