Информатика / Лабораторные работы / Лабораторная работа 9

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

Методические указания

При решении технических задач часто приходиться иметь дело с вычислением интегралов. Если функция f(x) задана аналитически и её первообразная на отрезке [a, b] может быть найдена в элементарных функциях с помощью различных

b

приемов, то вычисление определенного интеграла f (x)dx сводится к применению

a

формулы Ньютона–Лейбница. Нужно отметить, что лишь довольно узкий класс интегралов может быть просчитан таким образом. В тех случаях, когда функция f(x) задана графически или таблично, а также в тех случаях, когда первообразная аналитически заданной функции f(x) не выражается в элементарных функциях, применяются приближенные методы, выражающие этот интеграл через значения функции f(x), вычисленные для ряда значений независимой переменной x.

В лабораторной работе описаны некоторые численные методы вычисления определенного интеграла и способы их реализации с помощью табличного процессора MS Excel.

Вычисление определенных интегралов. Наиболее употребительными приближенными методами вычисления определенных интегралов являются метод прямоугольников и метод трапеций, которые получают исходя из геометрического смысла интеграла как площади криволинейной трапеции. Основная идея этих методов заключается в замене подинтегральной функции f(x) многочленом, совпадающим с f(x) в некоторых точках. Функция f(x) предполагается непрерывной на [a, b]. Очевидно, что точность вычислений зависит от числа отрезков, на которые разбивают промежуток интегрирования.

Формула прямоугольников имеет вид:

	b	n
	f (x)dx h	f ( k ) Rn ,
	a	k 1

где xk =a+kh; k=0,1…,n; h=(b–a)/n; k [xk-1, xk].

Суть метода заключается в том, что на каждом из отрезков [xk-1, xk] площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком f(x), заменяется площадью прямоугольника со сторонами h и f ( k).

Различают формулы:

а) левых прямоугольников, когда =x0 (рис.1),

yk

y0

yn1

	x0 x1	xk	xn
	b		Рис. 1.
	f (x)dx h ( y0	y1	... yn 1 ) Rn , yk	f (xk ),
	a

b) правых прямоугольников, когда k= xk (рис.2).

yk

y1 yn

x1 xk xn

Рис. 2.

b

f (x)dx h ( y1 y2 ... yn ) Rn , yk f (xk ),

a

Формула трапеции имеет следующий вид:

	b	f (x) h	y0	yn	y1	y2 ... yn 1 Rn ,
	a			2

где

			yn f (xk ), xn a kn, k 0,1,..., n, h	b		a
							(рис.3).
					n

y1 yn

yn-1

y0

	x0	xk	xn-1 xn

Рис. 3.

Геометрически это означает, что криволинейная трапеция (при f(х) 0), площадь которой численно равна интегралу, приближенно заменяется фигурой, ограниченной сверху ломаной, соединяющей точки с координатами (xk, f(xk)) и (xk-1, f(xk-1)), k=1, 2, …, n.

Определенную сложность представляет оценка Rn. Поэтому при вычислении интегралов по формулам прямоугольников и трапеций погрешность определяют как абсолютную величину разности значений интегралов, вычисленных при n и 2n разбиениях промежутка интегрирования, т. е.

Rn=|I2n–In|.

Вычислив интеграл при n=10, возьмем n=20 и снова рассчитаем тот же интеграл.

Если первый раз получилось значение I1, а	второй раз I2 и если		I 2	I1		,		то
считается, что заданная степень точности	достигнута. Если же		I 2	I1			,	то

принимают n=40 и снова рассчитывают интеграл.

0,8tg(x2 0,5)

Пример. Вычислить интеграл 0,4 1 2x2 dx по формулам левых и правых

прямоугольников, формуле трапеции с точность до 0,001. Для оценки точности использовать просчет при n=10, n=20 и т.д. (Rn=|I2n-In|).

		Технология выполнения:	tg(x2	0,5)
		1. Выполним табулирование подинтегральной функции f (x)			на отрезке
			1	2x2

x [0,4; 0,8] , при n=10.

2. Введем поясняющие надписи в ячейки D6:D8.

3. В ячейку E6 введем формулу для вычисления определенного интеграла методом левых прямоугольников: =E5*СУММ(B3:B12). В ячейку E7 введем формулу правых прямоугольников: =E5*СУММ(B4:B13). Расчет интеграла по методу трапеции выполните по формуле =(Е6+Е7)/2, среднее значение интеграла рассчитанного по методу левых и правых прямоугольников.

4. Для сохранения результата и расчета погрешности вычислений выполним следующие действия.

В ячейки G2, H2, I2 введем поясняющий текст. В ячейку G3 введем число разбиений отрезка [0,4; 0,8], в нашем случае это 10. В ячейку H3 скопируем из ячейки Е8 рассчитанное по формуле трапеции значение определенного интеграла. В ячейке Н3 должно быть значение, а не формула. Для вставки значения в ячейку Н3 нужно использовать команду Специальная вставка и в окне диалога Специальная вставка установить переключатель значение.

Результат представлен в ячейках G3:H3.

5. Вычислим определенный интеграл по формулам левых и правых прямоугольников и формуле трапеции при n=20. Заменим n=10 на 20. Скопируем формулы из диапазона ячеек A13:B13 в диапазон A23:B23. Изменим формулы левых, правых прямоугольников и формулу трапеции, в соответствии с дополнением основной таблицы.

6. В ячейках G4 и H4 аналогично сохраним результат вычисления интеграла по формуле трапеции при n=20.

В ячейку I4 введем формулу для определения точности расчета =ABS(Н4-Н3).

Для вычисления интеграла с заданной точностью такой перерасчет и сохранение результата выполняют до тех пор, пока Rn не станет меньшим или равным .

В нашем случае Rn=0,000242 и Rn<0,001, вычисления прекращаем.

Строим диаграмму, отражающую геометрический смысл определенного интеграла. Для этого используем диаграмму С областями.

ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Задание 1.

1.Создать на рабочем диске папку Лаборат_работа 9. Сохранять все созданные книги MS Excel в этой папке.

2.Создать книгу MS Excel, проделать пример, рассмотренный в методических указаниях лабораторной работы.

Задание 2.

Вычислить интеграл, с точностью 0,001.

			Вариант									Вариант											Вариант
				2 sin x					dx ;				2,4			1		0,5x2						2,1			dx
			1									7										dx	13								;
							x
				1									0,6 1				0,6x2 1,2							1,4			3x2		1
				1,3					dx				1,2			dx								1			sin( x 1,5) dx
											;									;
			2									8											14
																								0,40,7				cos(3x2 0,5)
				0,7				2x2 0,3					0,2			x2		1

			3	90 ln( x					1)					dx ;			9	2,6			1		1,2x2					dx	;	15	0,8 sin(3x 0,5) dx
						x			3																						0,2 2			cos(x2 2)
				15														1,2 0,8						x2		1,3
				2		lg( x			2)					dx ;				1,4		cos x			dx ;								1 cos x2 dx ;
			4														10													16
								x										0,6 x			1
				1,2																											0
				1,4														0,9 cos(0,8x													1 х x 2
								x2				5 dx													1,2) dx									dx ;
			5														11								2					17
				0,62x						x	2		0,5					0,31,5				sin( x				0,6)					0
																		;
			6	1/ 3		1							dx ;				12	2 xx			dx ;									18	1	arctg x			dx ;
						3 1			x2																									x
				0														1													1/ 2