Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
54
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
1.1 Mб
Скачать

ТЕМА: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И

РЕАЛИЗАЦИЯ ИХ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ.

Вопросы

1.Численные методы решения задач

2.Табулирование функций одной и двухпеременных.

3.Численные методы решения нелинейных уравнений.

4.Численные методы нахождения экстремумов функции однойпеременной

5.Вычисление определенных интегралов численнымиметодами

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯЗАДАЧ

При решении многочисленных инженерных задач обычно реальное явление заменяется математической моделью. Модель является упрощенным представлением реальности и обычно содержит некоторое количествоуравнений.

Главной задачей моделирования является максимальное приближение к реальности при достаточной простоте модели. В ряде случаев удается найти аналитическое решение задачи. Однако в большинстве своем приходится использовать численные методы. Эти методы предполагают, применение ЭВМ и сводятся к некоторым действиям над числами. При этом в большинстве случаев решение является приближенным.

Существуют различные подходы к реализации численных методов. Традиционный подход предполагает построение алгоритма метода с последующим программированием на языке высокого уровня. В последнее время широко используются специализированные программные продукты - математические пакеты типа MathCad, которые существенно упрощают процесс составления алгоритма и обладают встроенными библиотеками и графическими возможностями. Рассмотрим еще один подход, позволяющий в ряде случаев существенно ускорить процесс решения задачи. Он основан на использовании табличного процессораExcel.

Основные понятия: модель, тип модели,моделирование Модель - материальный объект, система уравнений, программа или иначе реали-

зованная система, которая, отображая или воспроизводя реальный объект, процесс, явление способна замещать его таким образом, что ее изучение дает новую информацию.

Процесс построения модели и последующих экспериментов с ее участием назы-

вают моделированием. Математическая модель - это уравнение (неравенство)

система уравнений или неравенств, описывающих наиболее существенные черты или свойства объекта. Эти уравнения включают коэффициенты (параметры) и переменные, которые позволяют описать различные явления. Коэффициенты математических уравнений - параметры модели - величины, которые можно считать постоянными в некотором промежутке времени. Математическое описание процесса возможно только на основе некоторых теоретических законов и принципов. Математическим моделированием называется разработка модели и последующее исследование реального объекта посредством решения различных задач на построенной модели. Последнее действие правильнее называть вычислительным

1

экспериментом. Исследовать объект на модели - значит изучать поведение объекта при изменении каких-либо его свойств или внешнихвоздействий.

Подготовка и решение инженерно-технических задач в среде Microsoft Excel

Процесс моделирования обычно проходит несколько взаимосвязанныхстадий:

1.Разработка математической модели.

2.Разработка вычислительного алгоритма. Обычно это самостоятельное ис-

следование, которое может быть реализовано различными способами для одной и той же математической модели. Разработка алгоритма связана с выбором метода решения задачи и составлением последовательности действий для реализации метода с учетом используемой программнойсреды.

3.Реализация алгоритма в программной среде.

4.Следующим этапом является проведение расчетов на ЭВМ или вычисли-

тельный эксперимент.

5.Анализ результатов, позволяющий уточнить разработанную модель и компьютерную моделирующую систему. Часто это означает возврат к одному из первых пунктов.

6.После того, как модель начинает вести себя, как реальный объект, ее можно использовать для изучения исследуемогопроцесса.

2. ТАБУЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Реальные процессы и явления описываются с помощью функции. Часто встает задача построения графика функции для того чтобы наглядно представить изменение того или иного процесса. Построение графика функции в MS Еxcel начинается с табулирования функции (построения таблицызначений).

Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [a,b]. Задаем n, вычисляемh = (b a) .

 

 

Макет ЭТ для табулирования функции представленниже.

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

B

 

 

 

C

 

 

 

D

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

f(x)

 

a=

 

 

a

 

 

3

 

 

=D2

=f(А3)

 

b=

 

 

b

 

 

4

 

 

=A3+D$5

=f(А4)

 

n=

 

 

10

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h=

 

 

=(D3-D2)/D4

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

=A12+D$5

=f(А13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа с формулами и функциями Основным достоинством редактора электронных таблиц Ехсеl является наличие мощного аппарата формул и функций, с помощью которых можно выполнять математическиевычисления.

Существуют четыре видаоператоров:

арифметические;

операторы сравнения;

2

текстовый оператор «&», который используется для обозначения операции объединения нескольких последовательностей символов водну;

адресныеоператоры.

Операторы всех перечисленных разновидностей приведены ниже (табл.1-3).

Таблица 1 Арифметическиеоператоры

Арифметические операторы

Операторы сравнения

Оператор

Значение

Оператор

Значение

+

Сложение

=

Равно

-

Вычитание

>

Больше

*

Умножение

<

Меньше

/

Деление

>=

Больше или равно

%

Процент

<=

Меньше или равно

^

Возведение в степень

<>

Не равно

 

Таблица 2 Операторы сравнения

Оператор

Значение

:

Оператор диапазона, который ссылается на все ячейки между границами диапазо-

 

на включено

;

Оператор объединения, который ссылается на объединения ячеекдиапазонов

(пробел)

Оператор пересечения, который ссылается на общие ячейкидиапазонов

В Ехсеl формула вычисляется слева направо в соответствии с определенным порядком операторов в формуле, другими словами, существует приоритет операторов. Таким образом, если в одной формуле используется несколько операторов, то Ехсеl производит вычисления в порядке приоритета операторов, показанном в табл.3.

 

 

 

Таблица 3. Приоритет операторов

Оператор

Описание

Оператор

 

Описание

;

Получение диапазонаячеек

^

 

Возведение в степень

(пробел)

Пересечение диапазонов

* и /

 

Умножение и деление

,

Объединениедиапазонов

+ и -

 

Сложение и вычитание

-

Смена знакавыражения

&

 

Объединение текстовых

 

 

 

 

строк

%

Вычисление процента

= < > <= <=

<>

Сравнение данных

Использование ссылок

Ссылка в редакторе Excel однозначно определяет ячейку таблицы или группу ячеек рабочего листа. Ссылки указывают на то, в каких ячейках находятся значения, которые нужно применить в качестве операндов формулы. В формуле при помощи ссылок можно использовать данные, находящиеся в различных местах рабочего листа. Кроме того, можно использовать значение одной и той же ячейки в нескольких формулах.

После того как формула введена в ячейку, эту формулу можно перенести, скопировать или распространить на блок ячеек. Копирование и перемещение ячеек с формулами выполняется так же, как и копирование и перемещение ячеек с данными.

При перемещении формулы из одной ячейки в другую ссылки не изменяются, в то время как при копировании они автоматическиизменяются.

3

В случае, если ссылки автоматически корректируются при копировании формулы из одной ячейки в другую, они называются относительными. По умолчанию в формулах используются именно они.

Например, если в ячейке А3 была записана формула =А1*А2, то при копировании содержимого АЗ в ячейки ВЗ и СЗ новые формулы с обновленными ссылками примут следующий вид: = В1*В2, =С1*С2 (рис.12а).

Кроме относительных ссылок, в редакторе Excel часто используются абсолютные ссылки, где кроме названия столбца и номера строки используется специальный символ «$», который фиксирует часть ссылки (столбец, строку) и оставляет ее неизменной при копировании формулы с такой ссылкой в другую ячейку. Обычно абсолютные ссылки указывают на ячейки, в которых содержатся константы, используемые при вычислениях.

Последовательность изменения типов ссылок для ячейки А1 при использовании клавиши F4 такая:

$А$1 - абсолютная ссылка (фиксированная ячейка);

А$ 1 - изменяемый столбец и неизменяемаястрока;

$А1 - неизменяемый столбец и изменяемая строка;

А1 - относительная ссылка.

Таблица 1. – Основные математическиефункции

Наименование

Обозначение в MS

Примечание

 

Excel

 

Знак

=ЗНАК(х)

х – число, ссылка на ячейку с числом или

 

 

формула, возвращающая числовое значение.

 

 

Возвращаемые значения: 1, если х>0; 0, если

 

 

х=0; -1, еслих<0

Абсолютное значение

=ABS(x)

х – число, ссылка на ячейку с числом или

 

 

формула, возвращающая числовое значение.

 

 

 

Сумма

=CУММ(х1;…xn)

n<=30 игнорируются пустые ячейки, тексто-

Произведение

=ПРОИЗВЕД(х1;…xn)

вые и логическиезначения

Корень квадратный

=КОРЕНЬ(х)

х>=0

Факториал

=ФАКТР(х)

х>=0. Если x нецелое, то дробная часть отбра-

 

 

сывается перед вычислениемфункции

Частное

=ЧАСТНОЕ(х;y)

Возвращает целую часть от деления[x/y]

Степень

=СТЕПЕНЬ(х;у)

х – число, ссылка на ячейку с числом или

 

 

формула; y – показатель степени. Возвращает

 

 

результат возведения встепень

Таблица 2. – Основные логарифмические

функции

Наименование

Обозначение в MS

Примечание

 

Excel

 

Натуральныйлогарифм

=LN(x)

х>0, при х<=0 возвращается ошибочное значе-

 

 

ние #ЧИСЛО!

Десятичный логарифм

=LOG10(x)

х>0, при х<=0 возвращается ошибочное значе-

 

 

ние #ЧИСЛО!

Логарифм по заданному осно-

=LOG(x;Основание)

х>0, при х<=0 возвращается ошибочное значе-

ванию

 

ние #ЧИСЛО! По умолчанию основание10

Экспонента от х

=EXP(x)

ex

Таблица 2. – Основные тригонометрическиефункции

Наименование

Обозначение в MS

Примечание

 

Excel

 

π

=ПИ()

Возвращает значение π с 14 значащими раз-

 

 

рядами после десятичной точки

Sin x

=SIN(x)

x – угол в радианах

4

Cos x

=COS(x)

x – угол в радианах

Tg x

=TAN(x)

x – угол в радианах

Arctg x

=ATAN(x)

Возвращаемое значение лежит на интервале от

 

 

-π/2 до π/2 радиан

Arcsin x

=ASIN(x)

Ограничения нааргумент:

 

 

-1<=x<=1. Возвращаемое значение лежит на

 

 

интервале от -π/2 до π/2 радиан

Arccos x

=ACOS(x)

Ограничения нааргумент:

 

 

-1<=x<=1. Возвращаемое значение лежит на

 

 

интервале от 0 до π радиан

 

 

ПРИМЕР

1. Построить таблицу значений функции и график функции

y

=

5 m

на отрезке x [5;10] с шагом 0,45 и k = 2,m = 0,5.

 

sin(x) 5 k

 

(ДЕМОНСТРАЦИЯ ПРИМЕРА)

Табулирование кусочно-заданнойфункции

Кусочно-заданная (кусочная) функция – это функция, заданная несколькими подфункциями, каждая из которых имеет свою областьопределения.

Для построения таблицы значений этой функции используют встроенную функ-

цию ЕСЛИ.

Функция ЕСЛИ относится к категории Логических функций. Функция ЕСЛИ используется при проверке условий для значений иформул.

Синтаксис функции:

=ЕСЛИ(Лог_выражение;значение_если_истина;значение_если_ложь);

где Лог_выражение – это любое значение или выражение, принимающее значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. В качестве логического условия выступают равенства и неравенства с использованием знаков больше(>), меньше (<), равно (=),

больше или равно (>=), меньше или равно (<=), не равно(<>). Значение_если_истина – это значение, которое возвращается, если условие

равно ИСТИНА.

Значение_если_ложь – это значение, которое возвращается, если условие равно ЛОЖЬ.

Пример 2. Построить графикфункции:

x2 +sin x, x < 0,2

y = 1 + x , x 0,2 при x [0;2]

x

На доске макет

 

 

 

 

 

 

А

 

 

B

 

 

C

 

 

D

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

a=

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

=D2

=ЕСЛИ(А3<0,2;A3^2+SIN(A3);(1+A3)/КОРЕНЬ(A3)

b=

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

=A3+D$5

=

 

 

n=

 

 

10

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

h=

 

 

=(D3-D2)/D4

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

=A12+D$5

=

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Пример 3. Рассмотрим пример построения графика функции с тремяусловиями:

 

 

 

 

 

 

 

3x

+

 

 

;

x < 0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x [0.2,0.6]

при x [0;1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = 2 cos xe2 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x > 0.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin 3x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На доске макет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

B

 

 

C

 

 

D

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Z

a=

 

0

 

 

 

3

 

 

 

=D2

 

 

=ЕСЛИ(A3<0,2;3*A3+КОРЕНЬ(1+А3);ЕСЛИ(A2>0,6;2*SIN(3*A3);2*C

b=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OS(A3)*EXP(-2*A3)))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=A3+D$5

 

 

 

 

 

 

n=

 

10

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h=

 

=(D3-D2)/D4

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

=A12+D$5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХУРАВНЕНИЙ

Винженерной практике довольно часто встречаются задачи, приводящие к необ-

ходимости решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Далеко не все из указанных типов уравнений можно решить аналитически, т.е. получить формулы для вычисления корней. В таких случаях применяются численные методы, позволяющие найти приближенные значения корней уравнения. Точность получаемых решений с практической точки зрения может быть сколь угодновысокой.

Все численные методы решения уравнений, так или иначе, требуют априорного знания довольно узкого интервала [a;b] на оси x, содержащего корень уравнения. К сожалению нет четких рекомендаций по выбору таких интервалов и в этом случае основную роль играет интуиция и опыт, а также знанияпользователя.

Постановказадачи

Найти корни уравнения f(x)=0, х [a; b] с точностью e .

Инструменты MS Excel

Формулы, встроенные функции (категория математические), Подборпараметра.

1. Уточнение корней средством “Подбор параметра”

Инструмент Подбор параметра называют средством для решения нелинейных

6

уравнений вида f(x)=0. Подбор параметра позволяет подобрать такое значение аргумента x, при котором функция f(x) принимает заданное значение, т.е. равна0. Значение определенной ячейки является результатом вычисления формулы (или функции). Эта формула ссылается на одну влияющую ячейку. Подбор параметра меняет значение влияющей ячейки x таким образом, чтобы получить в целевой ячейке, содержащей f(x) заданную величину, т.е. 0. Сама влияющая ячейка должна содержать начальное приближение аргумента, с.

Для применения Подбора параметранеобходимо:

1.в отдельную ячейку ввести начальное приближение параметра, с;

2.в отдельную ячейку ввести формулу для вычисления значения функции в точке с, т.е. f(c);

3.выполнить команду меню Данные-Анализ что если-Подборпараметра;

4.в диалоговом окне Подборпараметра:

-в поле Установить в ячейке: ввести ссылку на ячейку содержащуюf(c);

-в поле Значение: ввести значение0;

-в поле Изменяя значение ячейки: ввести ссылку на ячейку содержащуюс;

-нажать кнопку ОК.

Откроется диалоговое окно Результат подбора параметра. В окне будут отображены результат работы и предоставленавозможность:

1.завершить подбор параметра, сохранив результат в рабочем листе кнопкойОК;

2.или, нажав кнопку Отмена, сохранить в рабочем листе исходныеданные.

В окне диалога Параметры на вкладке Вычисления можно задать максимальное число итераций и точность, которые будут использоваться Подборомпараметра.

Технология выполнения решение задачи выполняется в дваэтапа:

1.отделение корня уравнения, т.е. определение начального приближенияс;

2.уточнение корня с использованием Подборапараметра

Количество итераций и точность устанавливаются в Параметрах Excel на странице Формулы. Здесь задается Предельное число итераций (по умолчанию 100)

и Относительная погрешность (по умолчанию 0,001) (рис.4).

7

Рис. 4 Диалоговое окно ПараметрыExcel.

Пример 2. Возьмем в качестве примерауравнение

1. Отделение корней уравнения. Для этого табулируем функцию (в качестве функции рассматривается левая часть уравнения) на отрезке из области определения данного уравнения.

Макет электронной таблице для табулированияфункции

1

А

B

 

C

D

 

 

 

 

 

2

x

f(x)

a

 

-5

3

=D2

=A3^5+2*A3^4+5*A3^3+8*A3^2-7*A3-3

b

 

5

4

=A3+D$5

 

n

 

10

5

 

 

h

 

=(D3-D2)/D4

6

 

 

 

 

 

7

Втаблице значений функции выявляем интервалы локализации корней уравнения (перемена знака в значении функции): первый интервал ячейки А5:А6, второй интервал ячейки А13:А14, третий интервал ячейки А19:А20(рис.5).

Вкаждом интервале выбираем середину и составляем пары ячеек «Приближение» – «Значение функции».

2. Уточняем значения корней средством Подбор параметра (рис. 6, 7,8).

Рис. 5.

8

Рис. 6. Уточнение первого корня уравнения

Рис. 7. Уточнение второго корня уравнения

Рис. 8. Уточнение третьего корняуравнения

Ответ: Х1 = -2,07299; Х2 = -0,32804; Х3 = 0,78934.

2. Метод половинного деления (метод дихотомии)

Классическая интерпретация метода половинного деления проста и заключается в следующем.

Пусть известен отрезок [a; b] такой, что f(a)f(b)<0. Это значит, что существует х* [a, b], чтоf(х*)=0.

Вычислим значение функции f(x) в середине интервала [a, b], т.е. в точке х1=(a+b)/2.

Тогда, х* [a, х1], если f(a)f(x1)<0 или х* 1, b] f(x1)f(b)<0.

Таким образом, на первом этапе вычислений выделен интервал, содержащий корень, вдвое меньше исходного. Если длина этого интервала соизмерима с требуемой точностью ε определе-

9

ния корня уравнения, вычисления можно прекратить; если же это не так, то процедура деления вновь полученного интервала повторяется. Очевидно, что после N итераций длина интервала,

содержащего корень, будет в 2N раз меньше длины отрезка [a; b].

Реализация метода половинного деления в электронной таблице MS Excel в принципе не вызывает особых затруднений.

Вычислительная процедура в Excel может быть реализованатак

Вячейки вносим следующиеформулы:

Вячейку А2 − а (левая граница интервала локализации корня);

Вячейку В2 − b (правая граница интервала локализациикорня);

Вячейку С2 − =(А2+В2)/2;

Вячейку D2 − =f(A2)*f(C2);

Вячейку F2 − 0,001 (абсолютнаяпогрешность);

Вячейку А3 − =ЕСЛИ(D2<=0;A2;C2);

Вячейку B3 −=ЕСЛИ(D2<=0;С2;B2);

Вячейку D3 − =f(A3)*f(C3);

Вячейку Е3 −=ЕСЛИ(ABS(B3-A3)>$F$2;”продолжаем”;”конец”);

После этого выделяются ячейки А3:Е3 и автозаполнением буксируются вниз до появления в столбце Е сообщения “конец”. Вычисленный корень с заданной точностью будет находиться в конце столбца C.

Пример 1. Методом дихотомии вычислить корень уравнения x3-2sinx=0 на отрезке [1; 2] с точностью 0,001

Заполняем рабочий лист формулами (рис. 1) и с заданной точностью 0,001 определяем значение корня (рис. 2). Ответ находится в ячейке С12 иравен

X= 1,124511719.

Рис.1. Формулы вычислениякорней

Рис. 2. Вычисление корня Х

10

Соседние файлы в папке Лекции