Методичка по математике.1 курс.1 семестр.ФЭИС

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

15. Для данного определителя

найти M11; M23; M32; A12; A22; A31 .

.pdf

Скачиваний:

253

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

566.31 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

по курсу «Высшая математика»

для студентов факультета электронно-информационных систем

I семестр

Брест 2013

УДК [512.64+514.12](076)

ББК 22.11

Настоящее методическое пособие содержит задачи и упражнения по разделам

«Элементы линейной алгебры», «Аналитическая геометрия». Представлены краткие теоретические сведения по темам и наборы заданий для аудиторных и индивидуальных работ. Пособие составлено в соответствии с действующей программой для

студентов первого курса факультета электронно-информационных систем.

Составители: Каримова Т.И., доцент, к.ф.-м.н.

Лебедь С.Ф., доцент, к.ф.-м.н.

Журавель М.Г., ассистент Гладкий И.И., доцент

Дворниченко А.В., старший преподаватель

Рецензент: Мирская Е.И., доцент кафедры математического моделирования

учреждения образования «Брестский государственный университет

им. А.С. Пушкина», к.ф.-м.н., доцент.

Учреждение образования«Брестский государственный технический университет», 2013

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1 Матрицы и операции над ними

Прямоугольная таблица, состоящая из m ×n элементов произвольной природы, называется матрицей. Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д. и записывают в виде

a11	a12	...	a1n		a11	a12	...	a1n
a	a	...	a	или	a	a	...	a	,
A = 21	22		2n	или	A = 21	22		2n	,
		...	...				...	...
... ...		...	...		... ...		...	...
am1	am2	...	amn		am1	am2	...	amn

или сокращенно

A = (aij ), i =1,m, j =1,n .

aij называют элементами матрицы, где i – номер строки, j – номер

столбца, в которых стоит элемент. Если элементы матрицы числа, то матрицу называют числовой.

Количество строк и столбцов матрицы определяют ее размерность, т.е. матрица, состоящая из m строк и n столбцов, имеет размерность m

на n: Am×n .

Две матрицы равны, если равны их размерности и равны соответствующие элементы этих матриц.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей. Квадратную матрицу, у которой n строк, называют матрицей порядка n. Элементы a11, a22, a33, ...,ann квадратной матри-

цы образуют главную диагональ, элементы a1n, a2 n−1, ...,an1 – побочную

диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.

Действия над матрицами:

Транспонирование.

Замена строк матрицы соответствующими столбцами называется

транспонированием. Транспонированную матрицу обозначают AT .

Сложение матриц.

Суммой матриц А и В называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е.

cij = aij + bij , i =1,m, j =1,n .

Сложение может быть выполнено только для матриц с одинаковой размерностью.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А и действительного числа λ называется матрица В, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число λ, т.е.

bij = aij λ, i =1,m, j =1,n.

Произведение матриц.

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Например, матрица Am×n согласована с матрицей Bn×k .

Умножение матрицы А на матрицу В может быть выполнено только тогда, когда матрица А согласована с матрицей В.

Произведением матрицы Am×n на матрицу Bn×k называется матрица Cm×k , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матри-

n
цы В, т.е. cij = ∑ais bsj , i =		, j =		.
цы В, т.е. cij = ∑ais bsj , i =	1,m	, j =	1,k	.
s=1
				1		−1	1		2
					0	−3	1		2
Пример 1. Найти произведение матриц A =					0	−3	и B =	3	4	.
					3	−2		3	4
					3	−2

Решение. Матрица A3×2

согласована с матрицей B2×2 .

1 −1

1 1+ (−1) 3

1 2 + (−1) 4

−2 −2

−3

0 1+ (−3) 3

0 2 + (−3) 4

−9 −12

A B =

−2

3 1+ (−2) 3

3 2 + (−2) 4

−3 −2

−2

−9 −12

Ответ.

−3

−2

В общем случае AB ≠ BA . Если AB = BA , то матрицы А и В называют

перестановочными.

Задания для аудиторной работы

1. Найти матрицу, транспонированную матрице А. Указать размерности обеих матриц.

		1 0			0	2			1
		1 0			0	2			3
а)	A =		0	3	1 4		;	б) A =	3	.
									5
			2	0	−3	5			5
			2	0	−3	5			1
									1

	2 −3				4				−1 3				−4
2.		7	6		−5					−7		−5	5
2.	Вычислить A + B , если A =	7	6		−5	,	B =			−7		−5	5	.
		−1 8			9					1 −8			−8
		−1 8			9					1 −8			−8
			1			0				1		−1		3		4
3.				3	−4						2	3			1	−3
3.	Вычислить 3A + 4B − 2C , если A =			3	−4			, B =			2	3	, C =		1	−3	.
				2		1					1	−5			8	6
4.				2		1					1	−5			8	6
4.	Найти значения m и n,	если	известно,						что:			а)	A3×4 B4×5			=Cm×n ;
б) A2×3 Bm×n =C2×6 .

5. Найти произведения АВ и ВА, если это возможно:

	1 0		2		−1 3 1				2		1
	−3	2	1		0	1	1	;		3	−4
а) A =				, B =					б) A =
	0	0	1		−2	1	3			1 0

	1			1		2
	−1	, B = (3 4 1);	г)	1		2
в) A =	−1	, B = (3 4 1);	г)	A =	2	−1
	2				2	−1
	2

−2		2			0
2			1		1		;
2	, B =		1		1		;
0			0		−2
0			0		−2
				1
3	4	, B =			0
−3		, B =			1	.
−3	0				1
					2
					2

6. Вычислить:		а)	1	2	2	;	б) 2			1	3 .
			3	−1				1		4
7. Найти f (A), если f (x) = x2						−2x , A =			4	−3
7. Найти f (A), если f (x) = x2						−2x , A =					1	.
									9		1
	Задания для индивидуальной работы
								1		1		−8		2		−2 0
									1	−4		0			3		1 4
8. Вычислить 2A − 4B + 3E , если A =									1	−4		0	, B	=	3		1 4	.
									2	3 1					−1		0 0
									2	3 1					−1		0 0
9. Найти произведения АВ и ВА, если это возможно:																	2			1
5 3 7				4		−1 3											2			1
5 3 7				4		−1 3						1 0 2 −1							1	0
	−1 6 −3				4	−2	−6					1 0 2 −1							1	0
а) A =	−1 6 −3		, B	=	4	−2	−6	; б) A =									, B =		3	−2	.
	2 −4 1				2	0 3						3 1 0 2							3	−2
	2 −4 1				2	0 3													4
																			4	−1
	1		−1	1 2
10. Вычислить:		2	0	1 .
		−1	1	0
		−1	1	0

11. Проверить справедливость равенства (A + B)2 = A2 + 2A B + B2																																для
				3			−1			2			4
матриц A =					5			, B =				3		.
					5		−6			8		3
12. Найти f (A), если:
										4		−3														1			−2		3
										4		−3										2 − x + 5, A =
а) f (x) = x2 − 2x , A =												1		;		б) f (x) = 2x						2 − x + 5, A =					2 −4 1					.
										5		1															3		−5		2
																											3		−5		2
															1				−12								−5 5					7
Ответы.								2. E3×3 .						3.		15				6				5.	а) AB	=			1	−	6	2	,
Ответы.								2. E3×3 .						3.							.			5.	а) AB				1		6	2	,
																−6			−29									−2 1				3
																−6			−29									−2 1				3
	−10 6 2												5		5								3		4 1
BA =		−3 2 2						;	б) AB =					2 −8			;		в) AB =					−3	−4 −1			,		BA = (1);

		−5 2 0												2 0										6
		−5 2 0												2 0										6	8 2
		12						7 0					16 29							−19			−9		−5					10		−16
		12						7 0			; б)		16 29						7.	−19			−9
г) AB =			.		6. а)						; б)						.		7.		27				. 8. −10 −11							−16
			−1					0 7					29 74								27		−28			8				6		3
																										8				6		3
			18			−11 −24											27			−6		−22								4		−2
				14		−11			−48					BA =				10		24					б)	AB =				4		−2	,
9. а) AB =				14		−11			−48		,			BA =				10		24		−28 ;			б)	AB =							,
				−6				6		33								16 −6												15		1
				−6				6		33								16 −6				−11
		5		1		4		0								−2				0	0
																−2				0	0
BA =		1 0				2 −1				.				10.				1	−		2				12. а)				−7			−9	;
		−3 −2 6 −7								.				10.				1		1	2	.			12. а)								;
		−3 −2 6 −7																1		1	0								15 −16
		1	−1			8		−6										1		1	0
		1	−1			8		−6
16		−16			11
	−8		23			7
б)	−8		23			7	.
	−5		13		19
	−5		13		19

2 Определители

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель (детерминант). Определитель квадратной матрицы Anxn

обозначают: ∆, det A, A .

Определитель первого порядка матрицы A1x1 равен ее элементу a11: det A = a11.

Определитель второго порядка матрицы A2x2 записывают в виде

det A =

a11

a12

и вычисляют по правилу:

det A =

a11

a12

= a a

−a

a .

a21

a22

Определитель третьего порядка матрицы A3x3 записывают в виде

det A =	a11	a12	a13		и вычисляют по правилу:
	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33
	det A =			a11 a12		a13	= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 −
				a11 a12		a13
				a21	a22	a23
				a31	a32	a33
							−a13a22a31 −a12a21a33 −a32a23a11.

Минором элемента aij определителя порядка n называется определи-

тель порядка (n–1), полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Минор элемента aij обозначают Mij .

Алгебраическим дополнением элемента aij называется число

Aij = (−1)i + j Mij .

Теорема Лапласа (теорема разложения). Значение определителя равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки имеет вид:

det A =	a11	a12	a13	= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 =
	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

= a

(−1)1+1

a22

a23

+ a

(−1)1+1

a21

a23

+ a

(−1)1+1

a21

a22

a32

a33

a31

a33

a31

a32

−2

−5

Пример 2. Вычислить определитель

−1

Решение. Вычислим определитель двумя способами.

I способ. Разложим определитель по элементам второй строки:

∆ = 2 (−1)2+1	3	−5 4		+ 3 (−1)2+3	−2 3	4	+(−1) (−1)2+4	−2 3	−5
	3	−5 4			−2 3	4		−2 3	−5
	2	4	0		−1 2	0		−1 2	4	=
	1	2	−1		3 1	−1		3 1	2

=−2(−12 −10) −3(4 −3 − 28) −(42 + 35) = 44 + 81−77 = 48.

II способ. Выполним следующие операции. Элементы четвертой строки умножим на (–3) и сложим с соответствующими элементами первой строки; затем элементы четвертой строки умножим на (–2) и сложим с элементами третьей строки. Получим определитель, равный данному, у которого во втором столбце все элементы, кроме четвертого, будут равны нулю.

	−2	3	−5 4			−11 0		−11 7
	−2	3	−5 4			−11 0		−11 7
∆ =	2	0	3	−1	=	2	0	3	−1	.
	−1	2	4	0		−7	0	0	2
	3	1	2	−1		3	1	2	−1

Полученный определитель раскладываем по элементам второго столбца.

	4	+2	−11	−11	7		3	10	7	2+3	3	10



∆ =1 (−1)			2	3	−1	=	0	0	−1	= (−1)(−1)	−3	6	=18 + 30 = 48.
			−7	0	2		−3	6	2
			−7	0	2		−3	6	2

Чтобы получить нули во второй строке, надо элементы третьего столбца умножить на 2 и сложить с элементами первого столбца, затем умножаем элементы третьего столбца на 3 и складываем с элементами второго столбца.

Ответ. 48.

				Задания для аудиторной работы
13. Вычислить определители:
а)	−1 3	;	б)	1	−3	;	в)	0	3	;	г)		1	3	;	д)		cos x −sin x			.
а)	−1 3	;	б)	1	−3	;	в)	0	3	;	г)		1	3	;	д)		cos x −sin x			.
	2 4			2	−4			0	5				0	0				sin x cos x
									1	2	3					−3	4		−5
									1	2	3					−3	4		−5
14. Вычислить определители:								а)	2	2	4	;		б)		0	2		2	.
									3	1	2					2	−1		0

16. Вычислить определители, используя теорему разложения:

	1	2	3			3	−2	7


а)	0	2	1	;	б)	1	0	2	.
	2	−1	0			2	0	0

17. Вычислить определители, используя их свойства:

	x2 + a2	ax	1			2	1	1		0


						1 3		0	−1
а)	y2 + a2	ay 1		;	б)	1 3		0	−1		.
	z2 + a2	az	1			0	2	2		−2
	z2 + a2	az	1			3	0	−2		1
						3	0	−2		1

18. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:

		1			2		3				4								1		−2		5		9
		1			2		3				4								1		−2		5		9
а)		0 2 5 9										;			б)				1 −1				7 4				.
		0			0		3				7								1		3		3		4
				−2 −4 −6 0															1 2 3 4
19. Вычислить определители:
			2		1	5	1											2			1		1		8
			2		1	5	1											2			1		1		8
а)			3 2 1 2								;				б)				1 −3 −6 9										.
			1		2	3		−4										0			2		2				−5
			1		1	5	1											1			4		6		0
										Задания для индивидуальной работы
20. Вычислить определители:																								0 −8															−3 6
а)				2 −1		; б)					2 9		;	в)		5 0						;	г)							; д)			4 6		; е)						.



	3 5										−6 2					2 −3								3 4									2 3						4 −8
21. Объяснить данные равенства
				2 −1 3										1 4 −1									1 4 −1									1 1 −3						1 1 −3
				2 −1 3										1 4 −1									1 4 −1									1 1 −3						1 1 −3
а)				0 0 0			= 0;					б)		2 4 12						= 2			1 2 6					;		в)		2 2 5				=		2 2 5				;
				3 4 1										3 1 4									3 1 4									1 −2 4						0 −3 7
г)	1 5 −2									1 5 −2											3 5 −2									9 −2 −3							1 1 1
	1 5 −2									1 5 −2											3 5 −2									9 −2 −3							1 1 1
	2 −1 4							=		0 −11 8					;		д)				2 1 0					= −				2 1 0				;	е)		2 2 2			= 0 .
	3 0 −2									3 0 −2											9 −2 −3									3 5 −2							3 3 3
22. Вычислить определители:																	a2 +1
				−1	2		0																ab					ac
				−1	2		0																ab					ac
а)				3 1 4					;						б)				ab b2 +1 bc												.
				2	−3		5												ac				bc				c2 +1

23.	Решить уравнения:									3	x	−4				2	−1	2
		sin8x		sin5x


а)						= 0	;	б)		2	−1 3			= 0 ;	в)	3	5	3	= 0 .
		cos8x		cos5x					x	+10	1	1				1	6	x + 5
24.	Решить неравенства:								x	+10	1	1				1	6	x + 5
24.	Решить неравенства:
		3	−2	1					2	x + 2		−1
		3	−2	1					2	x + 2		−1
а)		1 x −2			<1;			б)	1	1		−2	> 0 .
		−1	2	−1					5	−3		x

25. Вычислить определитель третьего порядка а) разложив его по элементам i-й строки; б) получив предварительно нули в i-ом столбце.


		1 −2 3													1 4 5											−1 2 4


а)		2 6 −5							, i = 2;				б)		2 3 1					, i = 3 ;				в)		1	5 7			, i =1.
		2			8		4								7	5	2									−8	3 6
26. Вычислить определители:
		7	3			2		6				−3 2 1 0										1 1 −2 0
		7	3			2		6				−3 2 1 0										1 1 −2 0
а)		8	−9			4 9				; б)		2		−2 1 4					;		в)	3 6			−2 5			.
		7	−2			7		3				4		0 −1 2								1 0			6 4
		5	−3			3		4				3		1 −1 4								2 3			5 −1
	2			1		5	1						1	2		3	4						2	1	1		8
	2			1		5	1						1	2		3	4						2	1	1		8
г)	3 2					1 2				;	д)		2	3		4	1	;			е)		1	−3 −6 9					.
	1			2		3	−4						3	4		1	2						0 2		2		−5
	1			1		5	1						4	1		2	3						1	4	6		0

Ответы. 14. а) 4; б) 30. 16. а) –7; б) –8. 17. а) a(x − y)(y − z)(x − z) ;

б) –18. 18. а) 48; б) 20. 19. а) 54; б) –27. 22. а) –31; б) a2 + b2 + c2 +1. 25. а) 112; б) –42; в) 39. 26. а) 150; б) 38; в) –205; г) 54; д) 16; е) 27.

3 Обратная матрица. Ранг матрицы

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Для нее существует обратная матрица A−1. Спра-

ведливо равенство A−1 A = A A−1 = E , где Е – единичная матрица. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда матрица А

невырожденная.

Обратную матрицу A−1 находят по формуле:

	−1		1
A		=		A,	(1)
A		=	det A	A,	(1)

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.03.2016706.61 Кб148Контрольная работа №1 по высшей математике.pdf
#
01.03.2016720.84 Кб81Контрольная работа №2 по высшей математике.pdf
#
01.03.2016944.4 Кб80Контрольная работа №3 по высшей математике.pdf
#
01.03.2016900.21 Кб88Кр № 4 по математике (ФЗО техн).pdf
#
01.03.201612.6 Mб81математика.doc
#
01.03.2016566.31 Кб253Методичка по математике.1 курс.1 семестр.ФЭИС.pdf