Методичка статистика ИДУиФ 2015 (Кузьмина).pdf2129883737Методичка статистика ИДУиФ 2015 (Кузьмина)

Задача 3.

По данным задачи 1 (п.1):

1.Воспользовавшись построенной группировкой, из статистической таблицы выписать интервальный ряд распределения. Изобразить графически полученный ряд распределения.

2.Определить моду, медиану полученного распределения.

3.Определить абсолютные и относительные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4.Сделать выводы.

Решение типовых задач контрольной работы №1.

Пример 1.

На 20 предприятиях были собраны данные по скорости оборачиваемости оборотных средств (признак X ) и по стоимости реализованной продукции (признак

Y ):

Таблица 1.1.

X	71	81	63	88	72	60	67	70	79	83	80	88	93	90	91	85	87	87	83	84
Y	1,3	2,8	1,7	4,1	2,1	3,5	2,4	2,8	3,6	3,8	3,7	4,2	6,0	5,2	4,2	3,8	3,9	4,0	4,2	4,2

Требуется:

1.провести аналитическую группировку;

2.рассчитать коэффициент детерминации, эмпирическое корреляционное отношение; проверить правило сложения дисперсий. Сделать выводы.

Решение.

1.Известно, что стоимость реализованной продукции зависит от скорости оборачиваемости оборотных средств. Поэтому в качестве признака-фактора выбрали

скорость оборачиваемости оборотных средств (X ), а в качестве признака-следствия

― стоимость реализованной продукции (Y ).

При осуществлении аналитической группировки рекомендуется не вводить большое количество интервалов, т.к. это приводит к существенному уменьшению количества единиц совокупности в каждой группе, что в свою очередь снижает

надёжность выводов, особенно при малых объёмах выборки (n < 30 ).

. =

=

3

= 11

X . Длину интервала найдём по

Определим три интервала по признаку-фактору

формуле

−

93−60

. Начало

первого интервала положим

равным

= 60

Обозначим границы групп:

60 – 71 – 1-я группа;

71 – 82 – 2-я группа;

82 – 93 – 3-я группа.

,

интервалами,

то

уславливаются

Прежде чем проводить аналитическую группировку, проранжируем данные по

признаку-фактору, т.е. располагаем пары

порядке возрастания

(таблица

1.2, графы 3,4). Если некоторые значения признакав

X попадают на границу

между

следующему интервалу.

относить

их либо к предыдущему, либо к

Из таблицы 1.2 видно, что при возрастании признака X имеется тенденция к

возрастанию признака Y , что говорит о возможности существования статистической связи между ними.

													Таблица 1.2.
					3					Стоимость реализованной
	1		2									4
	п/п		( ), интервалы	Скорость оборачиваемости								3,5
	1		Номера групп		60
	№			оборотных средств, дни							продукции,
										млн. ден. ед.
	2		№1		63							1,7
	3				67							2,4
			(60 - 71)
	4				70							2,8
										∑ 10,4
	5				71							1,3
	6		№2		72							2,1
	7				79							3,6
			(71 - 82)
	8				80							3,7
	9				81					∑ 13,5		2,8
	10				83							3,8
	11				83							4,2
	12				84							4,2
	13				85							3,8
	14		№3		87							3,9
	15				87							4,0
	16		(82 - 93)		88							4,1
	17				88							4,2
	18				90							5,2
	19				91							4,2
	20				93					∑ 47,6		6,0
	Всего				1602							71,5
	Подсчитаем количества объектов в каждой группе							. Получим:					Таблица 1.3.
			Группы предприятий по							Стоимость реализованной
	№					Число				продукции, млн. ден. ед.
			скорости оборачиваемости
	группы					предприятий						в среднем на одно
			оборотных средств, дни							всего
												предприятие
	1		60-71			4				10,4			2,600
	2		71-82			5				13,5			2,700
	3		82-93			11				47,6			4,327
			Итого			20				71,5			–

Скорость оборачиваемости оборотных средств и стоимость реализованной продукции взаимосвязаны, и чем ниже скорость оборачиваемости оборотных средств

(т.е. чем большее дней проходит), тем выше стоимость реализованной продукции.

10,4

1

2. Проведём предварительные вычисления и для этого рассчитаем:

=

1

=

4

= 2,6

(млн. ден. ед. ),

∑

1

групповые средние

2 =

=

13,5

= 2,7 (млн. ден. ед. ),

2

5

∑

2

47,6

3 =

∑

3

=

= 4,327(млн. ден. ед. );

∑

3

11

общую сред юю

=

=

10,4 + 13,5 + 47,6

= 3,575

(млн. ден. ед. );

20

∑

−

2

(3,5 − 2,6

)

2

+ (1,7 − 2,6)

2

+

(2,4 − 2,6)

2

+ (2,8 − 2,6)

2

1

=

1

=

групповые дисперсии

≈

1

4

2

1

≈ 0,425;

−

2

= (1,3 − 2,7)

2

+

(2,1 − 2,7)

2

+ … + (2,8 − 2,7)

2

≈ 0,828;

2

=

∑

2

2

2

∑

2

2

(3,8 − 4,327)

2

5

2

+ … + (6 − 4,327)

2

3

=

−

=

+ (4,2 − 4,327)

≈

3

3

11

2

3

≈ 0,411;

общую дисперсию

2

=

∑( − )2

=

(3,5 − 3,575)2

+ (1,7 − 3,575)2

+ … + (6 − 3,575)2

≈

20

≈ 1,211.

Рассчитаем следующие показатели:

4 + 0,828 ∙ 5 + 0,411 ∙11

2

1

∙

1

+ 2

∙ 2

0,425 ∙

2

среднюю из внутригрупповых дисперсий

=

1

+ 2

=

≈ 0,518;

дисперсию:

∑

межгрупповую4 + 5 + 11

2

=

− 2

=

∑

(2,7 − 3,575)2

∙5 + (4,375 − 3,575)2 ∙11

=

(2,6 − 3,575)2

∙4 +

≈ 0,693.

4 + 5 + 11

Проверимвыполнение2правила+ 2 =сложения0,693 +дисперсий0,518 = :1,211 = 2.

= δ2 = 0,693 = 0,5722.

Находим коэффициент детерминации:

2 2 1,211

Т.е. фактор скорости оборачиваемости оборотных средств, объясняет в данном

примере 57,22% вариации стоимости реализованной продукции, а неучтенные факторы – 42,78%. = 2 = 0,5722 ≈

Находим эмпирическое корреляционное отношение:

0,756,

т.е. связь между признаками умеренная.

Пример 2. Имеются следующие данные о работе малых предприятий за текущий период:

Таблица 2.1

		Средний объем	Прибыль к	Процент совместителей
Предприятие	Фактический объем	реализации на одного	объему	в общей численности
	реализации, тыс.руб	работника, тыс. руб.	реализации, %	работников
	X	y	z	d
1	19000	3800	19	66
2	16000	4000	20	70
3	20000	5000	26	60
4	19200	3200	20	75

Определить по малым предприятиям района средние значения:

1)реализованной продукции на одно предприятие;

2)производительности труда;

3)рентабельности продукции;

4)доли совместителей в общей численности работников. Указать вид рассчитанных средних величин и сделать выводы.

Решение.

При расчете средних величин нужно учитывать следующее:

а) для вычисления средних величин первичных или абсолютных (объемных) признаков используется простая средняя арифметическая (валовой сбор, площадь, количество произведённой продукции, общая выручка от продаж и т.д.).

б) средняя для вторичных или относительных признаков, т.е. заданных на единицу первичного признака или полученных делением двух первичных признаков (урожайность, затраты труда, энерговооруженность, трудоемкость и т.д.), вычисляется, как взвешенная средняя арифметическая или взвешенная средняя гармоническая в зависимости от вида известных первичных признаков, смысла усредняемого признака и связи между вторичным и заданным первичным признаком.

Введем обозначения:

X – фактический объем реализации;

Y – средний объем реализации на одного работника; Z – прибыль к объему реализации;

D – процент совместителей в общей численности работников.

Выбор вида средней величины необходимо начинать с построения логической формулы, исходя из качественного содержания усредняемого показателя.

Все расчеты будем оформлять в таблице:

Таблица 2.2

Факти-

Средний

Процент

Количество

Прибыль

Совмес-

совмес-

ческий

объем

Прибыль, тыс.

№

работающих,

тители,

тителей в

обьем

реализации

к объему

руб.,

общей

пред-

реали-

на одного

чел.,

реали-

x

z

чел.,

при-

зации,

работника,

xi

зации, %

i

xi

di

числен-

i

ности ра-

ятия

тыс. руб.

тыс. руб.

(z )

100

ботников

yi

100

(xi )

(yi )

yi

i

(di )

1

19000

3800

5

19

19000 0,19

3,3

66

=3610

∙

2

16000

4000

4

20

16000 0,20

2,8

70

=3200

∙

3

20000

5000

4

26

20000 0,26=5200

2,4

60

4

19200

3200

6

20

19200∙

0,20

4,5

75

=3840∙

∑

74200

19

15850

13

Среднийобъем Совокупныйобъемреализованнойпродукции

1) реализованной =

всемипредприятиями(тыс.руб.)

количествопредприятий

продукции

Получаем таким образом среднюю арифметическую простую

=

∑xi

=

74200

=18550(тыс.руб.)

x

n

4

Средняя

Совокупный объем реализованной продукции

(тыс. руб.)

2) производительность=

Общее количество работающих, чел.

труда

Количество работающих найдем, зная что:

Количество	Объем реализованной продукции(тыс. руб.)
работающих=
	Средний объем реализованной продукции
	на одного работающего (тыс. руб.)

Получаем среднюю производительность труда по четырем предприятиям в виде

средней гармонической взвешенной:
		=	∑xi		=	74200	= 3905(тыс.руб.), т.е. по четырем предприятиям объем
	y
			∑	xi		19
				yi

реализации продукции на одного работника предприятия составляет в среднем 3905 тыс. руб.

	3)	Рентабельность	=		Суммарная прибыль(тыс.руб.)
		продукции		Совокупныйобъемреализованнойпродукции

(тыс.руб.)

Среднюю

рентабельность

продукции

в процентах найдем как среднюю

∑

xi zi

15850

арифметическую взвешенную:

100

, т.е. в

z =

∑xi

100% = 74200 100% = 21,4%

среднем прибыль составляет 21,4% к объему реализации.

4)

x

d

Совместители

Общая численность совместителей, чел.

в общей численности

Общая численность работников, чел.

=

∑

работников

i

i

yi

100

100% - средняя арифметическая взвешенная.

d =

∑

xi

yi

d = 1319 100% = 68,4% - средний процент совместителей в общей численности

работающих.

Таким образом, по четырем предприятиям совместители составляют в среднем 68,4

%от общей численности работающих.

Пример 3. По данным примера 1:

1.Воспользовавшись построенной группировкой, из статистической таблицы выписать интервальный ряд распределения. Изобразить графически полученный ряд распределения.

2.Определить моду, медиану полученного распределения.

3.Определить абсолютные и относительные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4.Сделать выводы.

Решение.

1. Имеем интервальный вариационный ряд. Таблица 3.1

Группы предприятий по скорости оборачиваемости
	−	Число предприятий,
−1
оборотных средств, дни
60-71		4
71-82		5
82-93		11
Итого		20

Графическим изображением интервального ряда распределения является гистограмма.

числопредприятий
12
10
8
6
4
2
0
60	71	82	93

скоростьоборачиваемости,дни

2. Определим моду и медиану данного распределения. Таблица 3.2

60-71	4		4
Группы предприятий по скорости
−1 −	Число		Накопленные
оборачиваемости оборотных средств, дни	предприятий,		частоты,	′
71-82	5		9
82-93	11		20
Всего	20		–

Мода для интервального ряда с равными интервалами рассчитывается по формуле:

M0 = xM0

+hM0

fM0 −fM0 −1

,

(f

−f

−1

) +(f

−f

+1

)

M0

M0

M0

M0

где xM0 - начало модального интервала,

hM0 - длина модального интервала,

fM0 - частота модального интервала,

fM0 −1 - частота домодального интервала,

fM0 +1 - частота послемодального интервала.

Модальный

интервал определяем по наибольшей частоте.

Получим:

= 11

Так как

, то модальным будет интервал 82-93.

0

11 −5

≈ 85,88

(дня)

Больше всего

= 82 + 11 ∙

(11 −5) + (11 −0)

около

86 дней

.

предприятий, скорость оборачиваемости оборотных средств которых

Медиана интервального распределения рассчитывается по формуле:

∑fi

′

Me

= xMe +hMe

2

−fMe−1

,

где

xMe - начало медианного интервала,

fМе

hMe - длина медианного интервала,

fMe−1 - накопленная частота домедианного интервала,

′

fMe - частота медианного интервала.

+12 = 20+12

= 10,5

медиальным будет интервал 82-93.

Медианный интервал определим с помощью накопленных частот и числа +1

Подсчитаем сумму накопленных частот

ряда.

Так как

2 .

, то

Получим:

= 82 + 11 ∙

20 −9

= 83

(дня).

3. Определим абсолютные

и

относительные показатели данной вариации: размах

2

дисперсию, среднее квадратическое

вариации, среднее

линейное

отклонение,

11

отклонение, коэффициент вариации.

Таблица 3.3

результатов

наблюдений

от

интервального

распределения

При

обработке

переходят к дискретному (точечному), беря в качестве вариант середины интервалов
′.Воспользуемся вспомогательной таблицей.
Группы предприятий																			Дополнительные расчеты
оборотных средств, дни													′				′ ∙		′ −	| ′ − |	( ′ − )2
по скорости				Число						Середина
оборачиваемости
			предприятий,						интервала,
−1 −					4						65,5						262,0		-14,85
60-71																				59,40	882,0900
71-82					5						76,5						382,5		-3,85	19,25	74,1125
82-93					11						87,5						962,5		7,15	78,65	562,3475
Всего					20								–				1607,0		–	157,30	1518,5500
Средняя скорость		=					−				= 93 −						60 = 33 (дня).
Размах вариации скорости оборачиваемости оборотных средств равен:
Среднее линейное						∑	′	=		1607					≈ 80,35			(дня).
			= ∑								20
	оборачиваемости оборотных средств:
Вычислим дисперсию: =					∑| ′ − |						=		157,3				≈ 7,9 (дня).
							∑							20
	отклонение скорости оборачиваемости оборотных средств:
		2		=		∑( ′ − )2							=		1518,55			≈ 75,93.
Среднее квадратическое							∑									20
				отклонение:

		=			2	=	∑( ′ − )2		= 75,93 ≈ 8,7 (дня).
							8,7
4) Выводы.								∙ 100% = 10,83 % < 33%
		=		∙ 100% = 80,35
Коэффициент вариации:							∑
	Больше всего пр дприятий, скорость оборачиваемости оборотных
средств которых		около					. Половина предприятий имеет			скорость
оборачиваемости		оборотных средств не менее 83 дней, а другая половина
						86 дней

предприятий имеет скорость оборачиваемости оборотных средств не более 83 дней.

Средняя скорость оборачиваемости оборотных средств составляет										. Размер
средних, и,	7,9 дня		<					среднего		значения в
скорости оборачиваемости оборотных средств отличается от									80,35 дней
среднем на	. Поскольку			, то это соответствует правилу мажорантности
	следовательно, скорость оборачиваемости оборотных средств каждого
предприятия отличается от средней скорости на							или на		.
Значение	коэффициента	вариации (				свидетельствует о том, что
					10,83 %			8,7 дня
совокупность достаточно однородна.				< 33%)

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Теория статистики / Под ред. проф. Г.Л. Громыко – М.: ИНФРА – М., 2005.

2.Гинзбург, А.И. Статистика. – СПб.:Питер, 2003.

3.Елисеева, И.И. Общая теория статистики: учебник / И.И. Елисеева,

М.М. Юзбашев; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005.

4.Ефимова, М.Р. Общая теория статистики: учебник / М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев – М.: ИНФРА – М, 2005.

5.Годунов, Б.А. Статистика: конспект лекций – Брест: Издательство БрГТУ, 2008.

–Ч. 1.

6.Практикум по общей теории статистики. Для студентов экономических специальностей. – Брест: Издательство БрГТУ, 2010. – Ч. 1.