Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вышмат. Часть 1. Первый семестр. БрГТУ

.pdf
Скачиваний:
122
Добавлен:
01.03.2016
Размер:
1.77 Mб
Скачать

Учреждение образования «Брестский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

по курсу «Высшая математика»

для студентов факультета электронно-информационных систем

Iсеместр

I часть

Брест 2013

УДК [512.64+514.12](076)

ББК 22.11

Настоящее методическое пособие содержит задачи и упражнения по разделам «Элементы линейной алгебры», «Аналитическая геометрия». Представлены краткие теоретические сведения по темам и наборы заданий для аудиторных и индивидуальных работ. Пособие составлено в соответствии с действующей программой для студентов первого курса факультета электронно-информационных систем.

Составители: Каримова Т.И., доцент, к.ф.-м.н.

Лебедь С.Ф., доцент, к.ф.-м.н.

Журавель М.Г., ассистент Гладкий И.И., доцент

Дворниченко А.В., старший преподаватель

Рецензент: Мирская Е.И., доцент кафедры информатики и прикладной математики учреждения образования «Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина», к.ф.-м.н., доцент.

Учреждение образования «Брестский государственный технический университет», 2013

2

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1 Матрицы и операции над ними

Прямоугольная таблица, состоящая из m n элементов произвольной природы, называется матрицей. Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д. и записывают в виде

 

a

a

...

 

11

12

 

A

a21

a22 ...

 

 

 

 

 

 

 

... ... ...

 

am1

am2 ...

или сокращенно

A

a1n

 

a11

a

 

, или

a

2n

A 21

...

 

 

 

 

 

...

amn

 

am1

 

 

ij

, i 1,m, j 1,n

 

a

a

...

a

 

 

12

 

1n

 

 

a22

...

a2n

,

...

...

...

 

 

 

 

am2

...

amn

 

.

aij

называют элементами матрицы, где i – номер строки, j – номер

столбца, в которых стоит элемент. Если элементы матрицы числа, то матрицу называют числовой.

Количество строк и столбцов матрицы определяют ее размерность, т.е. матрица, состоящая из m строк и n столбцов, имеет размерность m на n: Am n .

Две матрицы равны, если равны их размерности и равны соответствующие элементы этих матриц.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей. Квадратную матрицу, у которой n строк называют матрицей порядка n. Элементы a11, a22, a33, ...,ann квадратной матрицы

образуют главную диагональ, элементы a1n, a2 n 1, ...,an1 – побочную диа-

гональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов стоящих на главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.

Действия над матрицами:

Транспонирование.

Замена строк матрицы соответствующими столбцами называется

транспонированием. Транспонированную матрицу обозначают AT .

Сложение матриц.

Суммой матриц А и В называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е.

cij aij bij , i 1,m, j 1,n .

Сложение может быть выполнено только для матриц с одинаковой размерностью.

3

Умножение матрицы на число.

 

Произведением матрицы А и действительного числа

 

матрица В, каждый элемент которой равен произведению ющего элемента матрицы А на число , т.е.

называется соответству-

b

a

, i 1,m, j

1,n.

ij

ij

 

 

Произведение матриц.

 

 

 

Матрица А называется

согласованной

с матрицей В, если число

столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Например, матрица Am n согласована с матрицей Bn k .

Умножение матрицы А на матрицу В может быть выполнено только то-

гда, когда матрица А согласована с матрицей В.

 

Произведением матрицы A

 

на матрицу B

называется матрица

 

m n

n k

 

C

, каждый элемент которой c

ij

равен сумме произведений элементов

m k

 

 

 

i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца мат-

рицы В, т.е.

 

 

 

n

 

 

 

c

ij

 

a

b

,

i 1,m, j 1,k.

 

 

is

sj

 

 

 

 

 

s 1

 

 

 

Пример 1. Найти произведение матриц

 

1

A

 

0

 

 

 

 

 

3

 

 

1

3

 

 

 

2

 

 

 

и

1

B

 

 

3

 

2

4

 

 

.

Решение. Матрица A

согласована с матрицей B

.

3 2

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

2

 

1 1

 

1 3

1 2

 

1 4

 

 

A B

 

0

3

 

 

 

 

0 1 3 3

0 2 3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

3

4

 

 

3 1 2 3

3 2 2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

 

9

12

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В общем случае

AB BA. Если

AB BA , то матрицы А

перестановочными.

2

2

 

 

9

12

 

.

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

и В называют

Задания для аудиторной работы

1. Найдите матрицу, транспонированную матрице А. Укажите размерности обеих матриц.

 

 

1 0

0

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

а)

A

 

0

3

1 4

 

;

б)

A

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2

0

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

3

 

4

 

 

 

1

2.

Вычислить

A B

, если

 

7

6

 

5

 

 

 

 

7

A

 

, B

 

 

 

 

 

1

8

 

9

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

1

3.

Вычислить

3A 4B 2C , если

 

3

4

 

 

 

 

2

A

 

, B

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти значения

m и

n,

если известно,

что:

б) A2 3 Bm n C2 6 .

3

 

5

 

8

 

1

3

 

 

 

5

 

 

 

а)

4

5

 

 

 

8

 

 

 

,

C

 

A

 

3 4

.

3

1

8

B4 5

4

 

3

 

.

 

 

 

 

6

 

 

 

 

C

 

 

m n

;

5. Найти произведения АВ и ВА, если это возможно:

 

 

 

1

0

2

 

 

1

3

1

 

 

 

 

2

1

а)

A

 

3

2

1

 

, B

 

0

1

1

 

;

б)

A

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

2

1

3

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

в)

A

1

, B

 

3

4

1

 

 

 

 

 

г)

 

A

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Вычислить:

а)

1

2 2

;

 

 

2

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

3

 

 

7. Найти f (A) , если f (x) x

2x ,

A

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

1

 

 

2

 

 

2

 

0

 

2

 

, B

 

1

 

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

4

 

 

 

 

0

 

 

 

 

, B

 

 

.

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для индивидуальной работы

8.Вычислить 2A 4B

9.Найти произведения

3E

АВ

 

 

1

1

8

 

 

 

2

2

, если

A

 

1

4

0

 

,

B

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

1

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и ВА, если это возможно:

0

4

 

 

 

0

 

 

.

 

 

 

5

3

7

 

 

4

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

0

2

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

A

1

6

3

, B

4

2

6

;

б)

A

, B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

0

2

 

3

 

 

 

2

4

1

 

 

 

 

2

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Вычислить:

2

 

0

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

2

 

 

 

1

.

5

11. Проверить справедливость равенства

A B

2

 

2

 

A

матриц A

 

3

1

, B

2

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

8

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Найти f (A) , если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

а) f (x) x

2x , A

 

 

 

 

 

;

б) f (x)

2x

x 5,

A

 

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2A B

 

1

2

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

3

5

 

 

 

 

 

B

2

 

для

.

 

 

 

 

1

12

5

5 7

 

Ответы.

2.

E

3.

 

15

6

 

 

1

6 2

 

,

3 3 .

 

 

 

.

5. а) AB

 

 

 

 

 

 

6

29

 

 

2

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

6

2

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

BA

 

3

 

2

2

 

;

 

б)

AB

 

2

8

 

;

в)

 

AB

 

3

4

 

 

 

 

,

 

BA 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

8

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

7

 

0

 

 

16 29

 

19

 

9

 

 

 

 

5

 

 

10

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

11

16

 

г) AB

 

. 6. а)

 

 

 

 

; б)

 

 

 

 

 

 

. 7.

 

 

. 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

7

 

 

 

 

29

74

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

11

24

 

 

 

 

 

 

27

6

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

AB

 

 

11

48

 

 

 

 

BA

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. а)

14

,

 

 

10

24

 

 

б)

AB

 

 

,

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

6

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

16

6

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

1

4

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BA

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

10.

 

 

 

1

1

 

2

.

 

 

 

 

 

12. а)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

6

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

8

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

16

16

 

8

23

 

 

 

 

5

13

 

 

 

11

 

7

 

.

 

 

 

19

 

 

 

 

2 Определители

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель (детерминант). Определитель квадратной матрицы Anxn

обозначают: , det A , A .

Определитель первого порядка матрицы det A a11.

A1x1

равен ее элементу

a11

:

6

Определитель второго порядка матрицы

det A a11

a12

и вычисляют по правилу:

a21

a22

 

A2x2

записывают в виде

 

a

a

det A

11

12

a

a

 

 

21

22

a a

11

22

a a

12

21

.

Определитель

a

a

11

12

det A a

a

21

22

a

a

31

32

det A

третьего порядка матрицы

 

A

 

записывают в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x3

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

и вычисляют по правилу:

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

a a a

 

a a

a

a a

a

 

21

22

23

11

22

33

12

23

31

21

32

13

 

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

32

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

a a

a

a

a

a .

 

 

 

13

22

31

12

21

33

32

23

11

 

Минором элемента aij определителя порядка n называется определитель порядка (n–1), полученный из данного вычеркиванием i-ой строки и

j-го столбца.

 

 

 

 

 

 

 

 

Минор элемента a

обозначают M

ij

.

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраическим дополнением элемента a

ij

называется число

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

i j

M .

 

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

ij

 

 

Теорема Лапласа (теорема разложения). Значение определителя равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки имеет вид:

a11

a12

a13

 

 

det A a21

a22

a23

a11 A11 a12 A12 a13 A13

 

a31

a32

a33

 

 

a 1 1 1

a22

a23

a 1 1 1

 

11

a32

a33

12

 

 

 

 

Пример 2. Вычислить определитель

a21 a31

2 21 3

a23 a33

3 0 2 1

a13

5 3 4 2

1 1 1

a21

a22 .

 

 

a

a

 

 

31

32

4

 

 

 

1

.

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Решение. Вычислим определитель двумя способами.

I способ. Разложим определитель по элементам второй строки:

7

 

3

5

4

 

2

3

4

 

 

2

3

5

 

2 1

2

4

0

2 3

1

2

0

( 1) ( 1)

2 4

1

2

4

 

2 ( 1)

3 ( 1)

 

 

1

2

1

 

3

1

1

 

 

3

1

2

 

2( 12 10) 3(4 3 28) (42 35) 44 81 77 48.

II способ. Выполним следующие операции. Элементы четвертой строки умножим на (–3) и сложим с соответствующими элементами первой строки; затем элементы четвертой строки умножим на (–2) и сложим с элементами третьей строки. Получим определитель, равный данному, у которого во втором столбце все элементы, кроме четвертого, будут равны нулю.

 

2

3

5 4

 

11 0

11 7

 

2

0

3

1

 

2

0

3

1 .

 

1

2

4

0

 

7

0

0

2

 

3

1

2

1

 

3

1

2

1

Полученный определитель раскладываем по элементам второго столбца.

 

 

11

11

7

 

3

10

7

 

3

10

 

 

 

1 ( 1)

4 2

2

3

1

 

0

0

1

2 3

18

30

48.

 

( 1)( 1)

3

6

 

 

7

0

2

 

3

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы получить нули во второй строке, надо элементы третьего столбца умножить на 2 и сложить с элементами первого столбца, затем умножаем элементы третьего столбца на 3 и складываем с элементами второго столбца.

Ответ. 48.

Задания для аудиторной работы

13. Вычислить определители:

а)

1 3

;

б)

1

3

;

в)

2 4

2

4

14. Вычислить определители:

0 0

а)

3

;

5

 

12

22

3 1

г)

1

0

 

3

4 ;

2

3

;

0

 

б)

д)

cos x

 

sin x

3

4

5

0

2

2

2

1

0

sin x . cos x

.

15. Для данного определителя

1

2

1

3

1

5

4

2

5

найти

M ; M

; M

; A

; A

;

11

23

32

12

22

 

A31

.

8

16. Вычислить определители, используя теорему разложения:

а)

1

2

0

2

2

1

3 1 0

;

б)

3

2

7

10 2

20 0

.

17. Вычислить определители, используя их свойства:

 

x

2

a

2

ax

1

 

 

 

 

 

 

 

а)

y

2

a

2

ay

1

;

б)

 

 

 

z

2

a

2

az

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. Вычислить определители виду:

2

1

1

1

3

0

0

2

2

3

0

2

методом

0

 

1

.

2

 

1

 

приведения их к треугольному

 

1

2

3

4

 

 

а)

0

2

5

9

;

б)

0

0

3

7

 

 

 

 

2

4

6

0

 

 

19. Вычислить определители:

 

2

1

5

1

 

 

а)

3

2

1

2

;

б)

1

2

3

4

 

 

 

 

1

1

5

1

 

 

1

2

1

1

1

3

1

2

2

1

1

3

0

2

1

4

5

9

7

4

3

4

3

4

1

 

6

 

2

 

6

 

.

8 95 0

.

Задания для индивидуальной работы

20. Вычислить определители:

 

2

1

 

 

2

9

 

 

5

0

 

 

 

0

8

 

 

 

4 6

 

 

3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

3

5

; б)

 

6

2

;

в)

2

3

;

 

г)

3

4

;

д)

2 3

;

е)

4

8 .

21. Объяснить данные равенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 3

 

 

 

1 4

1

 

1

4

 

1

 

 

 

1

1

3

 

1

1

3

а)

0

0

0 0

;

 

б) 2

4 12 2 1

2

 

6 ;

 

в)

2

2

5

2

2

5

 

3

4

1

 

 

 

3

1

 

4

 

3 1

 

4

 

 

 

1

2

4

 

0

3

7

1

5

2

1

5

2

3

5 2

9

2 3

1

1

1

г) 2

1

4 0

11 8 ;

д) 2

1 0 2

1 0 ;

е) 2

2

2 0 .

3

0

2

3

0

2

9

2 3

3

5 2

3

3

3

22. Вычислить определители:

 

 

 

1

2

0

 

a2 1

ab

ac

а) 3

1 4 ;

б)

ab b2 1 bc .

2

3

5

 

ac

bc

c2 1

;

9

23. Решить уравнения:

а)

sin8x

sin5x

0

;

cos8x

cos5x

 

 

 

24. Решить неравенства:

3

2

1

 

а) 1

x

2

1;

1

2

1

 

 

3

x

4

 

 

б)

2

1

3

0

;

 

 

 

 

 

x 10

1

 

1

 

 

2

x 2

1

 

 

 

б) 1

1

 

2

0 .

 

5

3

 

x

 

 

 

в)

2

1

2

3

5

3

1

6

x 5

0

.

25. Вычислить определитель третьего порядка а) разложив его по элементам i-ой строки; б) получив предварительно нули в i-ом столбце.

а)

12

26

28

35 4

,

i

2

;

1

4

5

1

2

4

б) 2

3

1 , i 3 ;

в) 1

5

7 , i 1.

7

5

2

8

3

6

26. Вычислить определители:

 

7

3

2

6

 

3

2

1

а)

8

9

4

9

; б)

2

2

1

7

2

7

3

4

0

1

 

 

 

5

3

3

4

 

3

1

1

 

2

1

5

1

 

 

1

2

3

г)

3

2

1

2

;

д)

2

3

4

1

2

3

4

3

4

1

 

 

 

 

1

1

5

1

 

 

4

1

2

0 4 2 4 4 1 2 3

;

;

в)

е)

1 3 1 2

2 1 0 1

1

2

0

 

6

2

5

.

0

6

4

 

3

5

1

 

1

1

8

3

6

9

2

2

5

4

6

0

.

Ответы. 14. а) 4; б) 30. 16. а) –7; б) –8. 17.

а) a(x y )(y z)(x z) ;

б) –18. 18. а) 48; б) 20. 19. а) 54; б) –27. 22. а)

–31; б)

a

2

b

2

c

2

1.

 

 

 

25. а) 112; б) –42; в) 39. 26. а) 150; б) 38; в) –205; г) 54; д) 16; е) 27.

3 Обратная матрица. Ранг матрицы

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определи-

тель не равен нулю. Для нее существует обратная матрица

A

1

. Спра-

ведливо равенство A 1 A A A 1 E , где Е – единичная матрица. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда матрица А

невырожденная.

Обратную матрицу

A

1

 

находят по формуле:

A 1

1

A,

(1)

 

det A

 

 

 

10