1)основные правила комбинаторики. Основные формулы комбинаторики.
Осн.правила:
1. правило умножения: если из некоторого конечного множества элемент А можно выбрать n1 способами и при любом выборе элемента А элемент В можно выбрать n2 способами, то пару объектов (А,В) в указанном порядке можно выбрать n1*n2 способами. Данное правило обобщается на случай любого числа элементов. ПР: найти сколько3-х чисел можно составить из цифр 0,1,3,7,8, если а)цифры не повторяются 4*4*3=48 б)цифры повторяются 4*5*5=100
2. правило сложения: если из нек-ого конечного множества элемент А можно выбрать n1 спсобами, а элемент В n2 способами, причем первые и вторые спообы не пересекаются, то любой из элементов (А или В) можно выбрать n1+n2 способами. ПР: в группе 19 юношей и 6 девушек для выполнения нек-ого задание требуется выбрать 2 студента одного пола. Определить сколькими способами это можно сделать 19*18+6*5=372
Осн.формулы:
1. пусть дано множество, сост. из n различных
элементов. Размещением из n элементов
по k(0<k<=n)
наз. любое упорядоченное подмножество
данного множества содержащее k элементов,
к-ые отличаются друг от друга либо
составом элементов либо порядком их
расположения.
= n!/(n-k)! ПР:
в комнате 6 стульев. Определить сколькими
способами можно рассадить 4 гостей
2. перестановкой из n элементов наз. размещение из n элементов по n. Pn=n! ПР: определить сколькими способами можно расставить на полке 5 разных книг. Р5=120
3. пусть дано множество сост. из n различных элементов. сочетанием m элементов из n называется всякое конечное подмножество, состоящее из m элементов данного множества из n элементов. Cmn=n!/m!(n-m)!
2)Случайные события и действия над ними.
Случайным событием наз. любой исход эксперимента, к-ый может произойти или не произойти. События обозначаются большими лат буквами А,В,С. ПР: Событие: однократное бросание игральной кости. Примеры случ событий: А-выпадение 4 очков, В-выпадение нечет числа очков, С-выпадение целого числа очков, D-выпадение не менее5 очков, Е- выпадение более 9 очков, F-выпадение чет числа очков. *Событие наз. достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного эксперимента. В примере событие С достоверно. *Событие наз. невозможным, если оно заведомо не наступит в результате данного эксперимента. Событие Е не возможно. *2 события наз. несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании, в противном случае наз. совместными. События А и В-несовместные, В и D-совместные. *говорят, что несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате эксперимента произойдет только одно из них. B и F-образуют полную группу. *Несколько исходов эксперимента наз. равновозможными, если ни один из них не является объективно более возможным, чем другие, т.е. исходы имеют равные шансы. *Неразложение и взаимоисключающие исходы эксперимента наз. элементарными событиями. * противоположные событию А наз событие Ā, к-ое наступит тогда и только тогда, когда не наступит А.
3)Классическое, статистическое и геометрическое опред-ие вер-сти.
Пусть проводится эксперимент с n исходами, к-ые образуют полную группу попарно несовместных равновозможных событий. Исход, к-ый приводит к наступлению события А наз. благоприятствующим этому событию. Классической вер-стью обытия А наз. отношение числа m исходов, благоприятствующих появлению события А к общему числу n исходов. Обозначается Р(А)=m/n. Св-ва вер-сти события: *0≤Р(А)≤1 *Р(Ω)=1(достоверно) *Р(Ø)=0(невозможно) *Р(А+В)=Р(А)+Р(В) ПР: в урне находится 11 белых и 9 черных шаров. Нейти вер-сть того, что на удачу вытянутый шар окажется черный Р(А)=9/20
Относительной частотой события А наз. отношение числа экспериментов, в к-ых это событие наступило к общему числу всех экспериментов W(A)=na/n. Св-ва относ.частоты: *0≤W(А)≤1 *W(Ω)=1 *W(Ø)=0 *W(А+В)=W(А)+W(В). Статистической вер-стью события А наз. число Р(А), около к-ого колеблется относ.частота при достаточно большом кол-ве испытаний. Статист. вер-сть обладает теми же св-вами, что и относ.частота.
Рассмотрим на плоскости площадь Ω с площадью S Ω, а внутри нее область D с SD. Пусть событие А состоит в том, что брошенная случайным образом в область Ω точка попадет в область D. Геометрической вер-стью события А наз. отношение области D к области Ω.
4)Теоремы сложения вер-стей несовместных событий.
Th1: пусть события А и В несовместны, тогда вер-сть появления хотя бы одного из них нах. по формуле: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Следствие: пусть события А1,А2…Аn попарно несовместны, тогда вер-сть появления хотя бы одного из них нах. по формуле: Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)
ПР: стрелок стреляет по мишени разделенной на 3 области. Вер-сть попадания в 1-ую область=0,45, во 2-ую – 0,35. Найти вер-сть того что стрелок при одном выстреле попадет либо в 1-ую либо во 2-ую область. А-1-ая или 2-ая область. В-1-ая. С-2-ая. А=В+С. Р(А)=Р(В)+Р(С)=0,45+0,35=0,8.
Th2: пусть события А1,А2…Аn образуют полную группу, тогда Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1
ПР: вер-сть того, что день будет дождливым=0,7. Найти вер-сть того что день будет ясным. Ответ: 0,3.
5)Условная вер-сть. Теорема умножения вер-сти.
Условной вер-стью события В наз. вер-сть события В вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Обозначается РА(В) или Р(В/А).
Th: пусть вер-сть события А отлична от 0, тогда условная вер-сть события В нах. по формуле: РА(В)=Р(А*В)/Р(А)
ПР: в урне имеется 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно извлекают 2 шара. Найти вер-сть того что 2-ой шар окажется белым при условии, что 1-ый-черный. А-1-ый черный. В-2-ой белый, т.к. событие А уже нступило, то в урне осталось 8 шаров, из к-ых 2 белые. РА(В)=2/8=1/4
Th: Пусть А и В события, тогда вер-сть их одновреаенного наступления нах. по формуле: Р(А*В)=Р(А)*РА(В)=Р(В)/РВ(А)
Следствие: данная теорема распространяется на любое кол-во событий.
ПР: в урне имеется 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Последовательно извлекают 3 шара. Найти вер-сть того что 1-белый,2-синий,3-черный. Р(А)=Р(В)*РВ(С)*РВС(D)=4/
9*3/8*2/7=1/21
6)Вер-сть появления хотя бы одного события. Теорема сложения вер-стей совместных событий.
Th: пусть события А1…Аn независимы в сов-сти, тогда вер-сть нах. по формуле: Р(А)=1-Р(Ā1)*Р(Ā2)*…*Р(Ān)
ПР: вер-сть попадания в цель при стрельбе 3 орудий равны 0,7;0,8;0,9. Найти вер-сть хотя бы одного попадания при одновременном залпе из всех орудий.Р(А)=1-Р(Ā)=1-0,006=0,994
Th: пусть события А и В совместны, тогда вер-сть появления одного из них нах. по формуле: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
ПР: 2 стрелка стреляют по мишени. Вер-сть попадания при 1 выстреле у 1 равна 0,8, у 2-0,9. Найти вер-сть того, что при одновременном выстреле попадет хотя бы один из них. Р(А+В)=0,8+0,9-0,8*0,9=0,98