Высшая математика / 2 / vm 21-30

21)модой нсвх наз-ся т.максимума ее плотности распределения.Медианой нсвх наз-ся такое ее значение хᵨ для кот.Р{Х<x_p}=P{X>x_p}=1/2 Коэф-том ассиметрии(коэф-т скошенности)нсвх наз.число А=М(х-М(х))³/√(Д(х))³ сли А>0,то кривая распред-я более пологая справа от моды,если <0 то слева от моды. Коэф-том эксцесса(коэф-т островершинности)число E=M(x-M(x))⁴/(Д(х))² вел-на Е характ-т островершинность или плосковершинность распределения,=0 для норм.распред.остальные распред-я сравниваются с нормальным.если Е>0 то распр.более островершинное,чем нормальное,если <0 то более плосковершинное

22)Биномиальное распределение.Пусть производится n независимых испытаний,в каждом из которых некот.событие А может появиться с вероятностью р или не появиться с вероятностью q(1-p).пусть дискр.свх-число появления события А в этих испытаниях,т.е. 0,1,2,…,n,тогда з-н распределения им.вид

x	0	1	…	k	…	N
p	qⁿ	npqⁿ⁻¹	…	Cnᵏpᵏqᵖᵏ	…	Pⁿ

M(x)=np, Д(х)=npq

23) Распределение Пуассона.Дискретная случайная величина х имеет распрел.пуассона с параметром λ=np если она принимает множество значений 0,1,2,…,k,… ,а соотв.вероятности находятся по формуле пуассона,при этом n→∞ p→0

X	0	1	…	k	…
p	e⁻^λ	λe⁻^λ	…	λᵏe⁻^λ/k!	…

M(x)=λ Д(х)=-λ

24)Геометрическое распределение .Пусть производятся независимые испытания,в каждом из кот.вероятность появления события А=р,а вер-ть непоявл.q.Испытание заканчивается как только появл.событ.А

X	1	2	…	n	…
p	p	qp	…	qⁿ⁻¹p	…

M(x)=1/p Д(х)=q/p²

25)Равномерное распределение.нсвх им.равномерное распред-е на отрезке [а;b],если ее плотность вероятности n(x) постоянна на этом отрезке,а вне его=0 f(x)={1/b-a,если хϵ[a;b] 0,если хϵ[a,b] F(x)=0,если х≤а х-а/b-a, если а≤х≤b 1,если х>b

M(x)=a+b/2 Д(х)=(а-b)²/12 К случайным величинам имеющим равномерное распределение относятся:ошибка округления числа до целого;время ожидания транспорта курсирующего с определенным интервалом и т.д.

26)Показательное распределение.нсвх им.показательное (экспоненциальное)распределение с параметром λ>0,если ее плотность распределения им.вид

f(x)=λe⁻^λx ,если х≥0 0, если х<0 F(x)=1-e⁻^λx ,если х>0 0, x<0

M(x)=1/ʎ Д(х)=1/λ² P(a<x<b)=e⁻^λᵃ - e⁻^λᵇ

27)Нормальное распределение.нсвх им.нормальное распределение (распределена по закону Гаусса)с параметрами а и ϭ>0, если ее плотность распред. им. Вид

M(x)=a Д(х)=ϭ²

P(α<x<β)=Ф(β-а/ϭ)-Ф(α-а/ϭ)

28)Мат.статистика-это раздел математики,в кот.изучаются методы сбора систематизации и обработки результатов,наблюдена,массовых случайных явлений для выявления существенных закономерностей.Предметом мат.статистики явл.изучение случайных явлений по результатам наблюдений. Выборочной совокупностью(выборкой)наз-т совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совок.наз-ся совок-ть объектов,из кот.производится выборка.

29) Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х F*(x)=nх/n ,где nх – число вариант, меньшее х, n – объем выборки Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (x₁;n₁),(x₂;n₂),…(x_k;n_k), Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i,n_i,(x_i;n_i), а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых. Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты w_i . В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i– сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) n_i/h. В случае гистограммы относительных частот по оси ординат откладываются относительные частоты w_i, на оси абсцисс – частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте w_i/h.

30)Точечные оценки параметров распределения. Пусть изучается совок.вел-на с мат.ожиданием М(х)и дисперсией Д(х),причем оба эти параметра неизвестны.Выборочным средним x̅_s =∑x_i /n (для несгруп.данных) х̅_s = ∑x_im_i/n (для сгруп.данных) Теорема 1. Выборочн.средняя явл.несмещенной состоятельной и эффективной оценкой для мат.ожидания интервальной совок-ти.Выборочной дисперсией Д_в наз-ся среднее арифметич.квадратов отклонения наблюдаемых значений от их среднего выборочного значения.Д_в=∑(x_i-x̅_в)²/n (для несгруп.данных) Д_в=∑=∑(x_i-x̅_в)²m/n (для сгруп.данных) Выборочным средним квадратич.отклонением наз.√Д_в Исправленной выборочной дисперсией S² наз.число S²=n/n-1 ·Д_в Теорема2. S² явл.несмещенной состоятельной и эффект.оценкой для дисперсии генер.совокупности. S² исп-т для оценки дисперсии при малых объемах выборки(n≤30)т.к.при больших значениях n разница меду Д_в и S² очень мала. Исправленным выборочным средним квадратическим отклонением S наз-ся квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии(оценка S не явл.несмещенной)