Диффур

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

ƏЛ-ФАРАБИ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖƏНЕ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА КАФЕДРАСЫ

Оқу-əдістемелік кешені

«Дифференциалдық треңдеулер» пəні бойынша «математика» мамандығына арналған

Алматы, 2009

I - ТАРАУ Типтік бағдарлама

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

АЛҒЫ СӨЗ

Дифференциалдық теңдеулер курсы математика саласы бойынша мамандар дайындауда негізгі пəндердің біреуі болып есептелінеді. Көптеген құбылыстардың математикалық сипаты осы дифференциалдық теңдеулер арқылы өрнектеледі. Сондықтан дифференциалдық теңдеулерді ана тілінде оқыту, оның əртүрлі əдістерімен таныстыру мамандар даярлауда, жалпы математикалық мəдениетті қалыптастыруда алатын орны ерекше.

Оқытудың негізгі мақсаттары мен мəселелері:

-теориялық жағынан терең əрі тиянақты білім беру;

-теңдеулерді шешудің негізгі əдістеріне үйрету;

-теориялық білімді жəне шешу əдістерін нақты теңдеулерді шешуге келтіру;

Əрбір лекциялық сабақта теориялық материалдар нақты жаттығулармен толықтырылып отырылады. Негізгі жаттығуларда əдетте сызықты біртекті жəне біртексіз теңдеулерге көбірек көңіл бөлінеді. Əсіресе тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулермен сызықты жүйелерді интегралдау əдістерін меңгеру негізгі міндет болып табылады.

Сыбайлас пəндерді пайдалану:

1.Математикалық талдау

2.Жоғарғы алгебра

3.Аналитикалық геометрия

Дифференциалдық теңдеулерді шешуде туынды жəне интегралды табу көп қолданылады. Сондықтан математикалық талдау пəніне көбірек сүйенеді. Сонымен қатар көп айнымалы функциялар мен қатарларды зерттеу əдістерін меңгеру негізгі шарттардың біреуі болып есептелінеді.

Жоғары көрсетілген мақсаттарға жету үшін нақты қадамдар атқарылуы тиіс:

-берілген көлемдегі жұмыс бағдарламасын өту, оны меңгеру;

-көрсетілген көлемдегі есептерді шығару;

-студенттердің өзіндік атқаратын тақырыптарды толық көлемде орындау;

-көрсетілген оқу құралдары мен əдістемелік əдебиеттерді меңгеру жəне олармен жұмыс істеуді үйрену.

Керекті оқу құралдары жұмыс бағдарламада келтірілген.

ПƏННІҢ МАЗМҰНЫ

Кіріспе

Жаратылыстану ғылымдары мен техника есептерінде дифференциалдық теңдеулерінің орны ерекше. Көптеген құбылыстардың математикалық моделі дифференциалдық теңдеулер арқылы сипатталады. Сондықтан дифференциалдық теңдеулерді оқыту жалпы математикалық мəдениетті қалыптастыруда жəне білімді тиянақты етуде қажетті шарт болып есептелінеді.

Дифференциалдық теңдеулер теориясы 17-ғасырдан бастап Ньютон, Эйлер, Лагранж, Коши, Пикар, Ляпунов еңбектеріне байланысты қалыптаса бастады. Жай

қарапайым теңдеулерді шешуден бастап шешімнің бар болуы жəне жалғыздығы сияқты теориялық мəселелер қамтыла бастады. Қазіргі кезде теорияның өскені соншалықты оның қолдану аясын белгілеудің өзі қиын. Топологиялық əдістермен қоса жуықтау əдістерін қолдану арқылы əртүрлі күрделі есептерді шешуге мүмкіншілік туды.

НЕГІЗГІ БӨЛІМ

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі түсініктер. Оның геометриялық мəнмағынасы. Коши есебі. Дербес жəне ерекше шешімдер. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер. Біртекті теңдеулер. Сызықты теңдеулер. Толық дифференциалды теңдеулер. Шешімнің бар болуы жəне жалғыздығы туралы теорема. Шешімнің параметрге жəне бастапқы мəнге тəуелділігі.

Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер

Негізгі түсініктер жəне анықтамалар. Реті төмендетілетін теңдеулер. Жоғарғы ретті сызықты теңдеулер. Біртекті сызықты теңдеулер. Фундаменталь шешімдер жүйесі. Вронскиан. Лиувилль формуласы. Коши функциясы. Біртексіз сызықты теңдеулер. Тұрақты санды вариациялау əдісі. Тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерді интегралдау. Жоғарғы ретті теңдеуді бірінші ретті теңдеулер жүйесіне келтіру жəне керісінше келтіру.

Сызықты теңдеулер жүйелер теориясы

Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттері. Біртекті сызықты жүйелер. Фундаменталь матрица. Вронскиан. Лиувилль формуласы. Шешімнің құрылымы. Коши матрицасы. Біртексіз сызықты жүйелер. Шешімнің құрылымы. Тұрақты санды вариациялау əдісі. Тұрақты коэффициентті сызықты жүйелерді интегралдау. Сызықты жүйелер үшін шеттік есеп.

Автономды жүйелер жəне орнықтылық

Автономды жүйелердің қасиеттері. Фазалық кеңістік. Фазалық траекториялар. Шешімнің орнықтылығы. Негізгі теоремалар. Тұрақты коэффициентті біртекті сызықты жүйенің орнықтылығы. Сызықты жуықтау арқылы сызықты емес жүйенің орнықтылығын зерттеу. Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті жүйенің траекторияларының фазалық кескіні.

Бірінші ретті дербес туындылы сызықты дифференциал теңдеулер

Дербес туындылы біртекті жəне біртексіз сызықты теңдеулер. Сипаттаушы теңдеулер жүйесі. Жалпы шешім. Шешімнің бар болуы жəне жалғыздығы туралы теорема. Коши есебі. Екі тəуелсіз айнымалы теңдеу үшін Коши есебінің геометриялық мəн-мағынасы.

ЛАБОРАТОРИЯЛЫҚ САБАҚТАР ТАҚЫРЫПТАРЫ

Теориялық материалдардың өтуіне сəйкес төмендегідей тақырыптарға есептер шығару сабақтың негізгі мақсаттары болып табылады.

1.Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер.

2.Біртекті теңдеулер жəне оған келетін теңдеулер.

3.Сызықты теңдеулер. Бернулли, Риккати теңдеулері.

4.Толық дифференциалды теңдеулер.

5.Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер.

6.Параметр енгізу əдістері.

7.Лагранж жəне Клеро теңдеулері.

8.Реті төмендетілетін жоғарғы ретті теңдеулер.

9.n – ретті тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерді интегралдау (Эйлер əдісі)

10.Оң жағы квазиполином болып келетін біртексіз сызықты теңдеулерді интегралдау.

11.Тұрақты санды вариациялау əдісі.

12.Сызықты жүйелердегі интегралдау.

13.Орнықтылықты зерттеу əдістері.

14.Дербес туындылы теңдеулерді интегралдау.

15.Дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебі.

ҚОЛАНЫЛАТЫН ОҚУ ҚҰРАЛДАРЫ

Негізгілері:

1.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, М. Физматгиз, 1959

2.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М, Наука, 1983

3.Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер курсы, 1-том, Алматы, Рауан, 1991

4.Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер курсы, 2-том, Алматы, Рауан, 1991

5.Мырзалыұлы Ж. Дифференциалдық теңдеулер, Алматы, Қазақ университеті, 2006

Қосымшалар:

1.Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений, М. 1981

2.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М. 1985

3.Филипов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М. 1983

4.Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулер есептері мен жаттығулары, Алматы, Қазақ университеті, 2002

			2 - ТАРАУ
			Силлабус(Syllabus)
	2-курс математика 510130 мамандығы бойынша
		3 кредит
Кредит саны
Сабақ кезеңі		2009 жылдың19-қаңтарынан 2-мамырға дейін
Сабақ сағаты		Сабақ кестесі бойынша
Оқытушы		Мырзалиев Жаханша, профессор
		Əлдибеков Тамаша Молдабекұлы, доцент
Телефон		292-60-22(21-78)
Консультация		Кафедрада, 292-60-22 (21-78)
Пəн сипаты		Дифференциалдық теңдеулер пəні математика мамандығы
		үшін негізгі пəндердің бірі болып саналады, өйткені
		жаратылыстану		ғылымындағы көптеген құбылыстардың
		моделі	осы	дифференциалдық	теңдеулер	арқылы
		сипатталады. Сондықтан дифференциалдық теңдеулерді
		оқытудың орны ерекше.
		Пəнді оқытудың мақсаты:

-теңдеулерді шешудің негізгі əдістерін үйрету;

-теориялық жағынан терең əрі тиянақты білім беру;

-теориялық білімді жəне шешу əдістерін нақты теңдеулерді шешуге қолдану;

-математиканың басқа салаларымен өзара байланысын білдіру;

Пререквизиттер

Постреквизиттер

Оқыту əдістері

Сабаққа қатысу

Қосымша міндеттер

СӨЖ

Бағалау

көрсеткіштері

-студенттердің логикалық ойлау жүйесін қалыптастыру, математикалық мəдениетін көтеру;

Пəнді оқытудың мəселелері. Жоғарыда көрсетілген мақсаттарды орындау үшін:

-бағдарламада көрсетілген теориялық мəселелерді оқу, меңгеру, зерттеу əдістерін үйрену;

-теориялық білімге сəйкес нақты теңдеулерді шешу əдістерін меңгеру;

-көрсетілген оқу құралдарымен өз бетінше жұмыс істей білу.

Осы көрсетілген мəселелер негізінде студент «Дифференциалдық теңдеулер» пəні бойынша төмендегідей шарттарды білуі тиіс:

-бағдарламаға кіретін негізгі математикалық түсініктерді білу, олардың өзара байланысын білу;

-математиканың басқа салаларымен байланысын білу;

-нақты практикалық теңдеулерді шешудің қысқа, тиімді жолдарын табу;

-өз бетінше істелетін тапсырмаларды орындау;

-оқу құралдарымен жұмыс істей білу.

«Дифференциалдық теңдеулерді» білу үшін қолданылатын пəндер: математикалық талдау, алгебра, аналитикалық геометрия. «Дифференциалдық теңдеулер» пəнін білу басқа математикалық салаларды меңгеруіне көмек береді, атап айтқанда, «Интегралдық теңдеулер», «Математикалық физика теңдеулер», «Функционалдық талдау», «Теориялық механика», «Тербелістер теориясы», «Орнықтылық теориясы» жəне т.б.

Силлабуста көрсетілген тақырыптар бойынша лекция оқу. Теориялық тақырыптарды тиянақты ету үшін практикалық есептер шығару.

СМӨЖ бойынша теориялық материалдарды өз бетінше оқып, реферат жазу, оны айтып беру, СӨЖ бойынша берілетін барлық тапсырмаларды орындау, əр аптада міндетті түрде берілген тапсырма келесі аптада тексеріліп қабылдануы тиіс. Бұл тапсырмалар тест түрінде жəне сынақ жұмысы түрінде қабылданады. Тапсырмаларды тек лектор береді.

Сабаққа қатысу негізгі міндет болып саналады. Сабақ кезінде:

-кешігу немесе кетіп қалу,

-ұялы телефонды пайдалану,

-көшіріп алу,

-уақытында тапсырмау сияқты негізсіз қылықтар болмауы тиіс.

СӨЖ бойынша тапсырма беру: 1-3 аптада жəне 8-9 аптада. Жұмыстарды қабылдау сəйкес 7 жəне 15 аптада болуы керек.

	Пайыздық	əріптік	Балл	Кəдімгі баға
	көрсеткіш	көрсеткіш	саны
	%
	95-100	A	4,0	өте жақсы
	90-94	A–	3,67

		85-89		B+		3,33		Жақсы
		80-84		B		3,0
		75-79		B–		2,67
		70-74		C+		2,33
		65-69		C		2,0		қанағаттанарлық
		60-64		C–		1,67
		55-59		D+		1,33
		50-54		D		1,0
		0-49		F		0		қанағаттанарлықсыз
Бағалау		Пəн	бойынша		студенттің		білімінің бағасы төмендегідей
		бөліктерден тұрады:

1.Үй тапсырмасы, үлгерімі, сабаққа қатысуы - 20%(1-7

аптада 10%, 8-15 аптада - 10%)

2.Межелік бақылау:

-бақылау жұмысы, коллоквиум - 20%(1-3 аптада - 10%, 8-15 аптада - 10%)

-СӨЖ бойынша - 20%(1-7 аптада - 10%, 8-15 аптада -

10%).СӨЖ саны 2 реттен кем емес

3.Тест немесе ауызша түріндегі сынақ - 40%. Алғашқы 7 аптада көрсеткіштің максимумы - 30%, кейінгіні қосқанда

15 аптада - 60%

Егер студент 29% пайыздан кем балл жинаса, ол сынаққа жіберілмейді.

Семестр бойынша сынақ тапсыру жəне кредит алу міндетті.

Пəн бағдарламасы

Апта, сабақ түрлері	Мазмұны	Сағат саны
1-апта
1-лекция	Негізгі түсініктер жəне анықтамалар.	2
	Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер
1- лаб. сабақ	Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер.	2
	Ажыратуға келетін теңдеулер
СОӨЖ	Дифференциалдық теңдеуге келетін физикалық,	4
	механикалық есептер.
СӨЖ	Сызықтар үйіріне байланысты	4
	дифференциалдық теңдеулерді құру
2-апта
2-лекция	Бірінші ретті сызықты теңдеулер. Толық	2
	дифференциалды теңдеулер.
2- лаб. сабақ	Сықызты теңдеулер жəне оларға келетін	2
	теңдеулер. Толық дифференциалды теңдеулер.
МСӨЖ	Коши есебі (жүйелер үшін)	4
СӨЖ	Траекториялар туралы есептер	4
3-апта
3- лекция	Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер.	2
	Лагранж жəне Клеро теңдеулері.
3- лаб. сабақ	Параметр енгізу əдісі. Лагранж жəне Клеро	2
	теңдеулері.
МСӨЖ	Біртекті жəне жалпылама - -біртекті теңдеулер.	4
	Толымсыз теңдеулер.

СӨЖ	Траекториялар бойынша теңдеу құру.	4
4-апта
4-лекция	Шешімнің бар болуы жəне	2
	жалғыздығы(локалды теорема)
4 - лаб. сабақ	Туынды бойынша шешілген бірінші ретті	2
	теңдеулер үшін Коши есебі
МСӨЖ	Шешімнің бар болуы жəне жалғыздығы туралы	4
	теорема (глобалды теорема)
СӨЖ	Интегралдық көбейткіштер теориясы	4
5-апта
5-лекция	Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер	2
5 - лаб. сабақ	Реті төмендетілетін теңдеулер.	2
МСӨЖ	Қалыпты жүйелердің шешімінің бар болуы	4
	жəн,е жалғыздығы
СӨЖ	Жоғарғы ретті бір теңдеуді бір ретті теңдеулер	4
	жүйесіне келтіру
6-апта
6-лекция	n- ретті біртекті сызықты теңдеулер. Жалпы	2
	қасиеттері.
6 - лаб. сабақ	Екінші ретті сызықты теңдеулер	2
МСӨЖ	Екінші ретті сызықты теңдеулердің келтірілген	4
	түрлері (жалпы теориясы)
СӨЖ	Екінші ретті сызықты теңдеулердің	4
	аналитикалық шешімдері.
7-апта
7-лекция	n- ретті біртексіз сызықты теңдеулер	2
7 - лаб. сабақ	Сызықты теңдеулердің қатар түріндегі	2
	шешімдері
МСӨЖ	Ерекше шешімдер	4
СӨЖ	Шешімді жалғастыру	4
8-апта
8-лекция	Тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерді	2
	интегралдау
8 - лаб. сабақ	Фундаменталь шешімдер жүйесін құру. Эйлер	2
	əдісі.
МСӨЖ	Тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерді	4
	интегралдаудың операторлық əдісі
СӨЖ	Эйлер теңдеулері.	4
1-межелік бақылау	Бақылау жұмысы
9-апта
9-лекция	Біртекті сызықты жүйелер	2
9 - лаб. сабақ	Тұрақты коэффициентті теңдеулерді	2
	интегралдау
МСӨЖ	Тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерге	4
	келетін теңдеулер
СӨЖ	Сызықты жүйелерді интегралдаудың	4
	матрицалық əдісі.
10-апта
10-лекция	Біртексіз сызықты жүйелер.	2
10 - лаб. сабақ	Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттері.	2
МСӨЖ	Сызықты жүйелер үшін шеттік есеп. Грин	4

	функциясы.
СӨЖ	Коши матрицасы. Шешімнің Коши Түріндегі	4
	жазылуы.
11-апта
11-лекция	Тұрақты коэффициентті сызықты жүйелерді	2
	интегралдау
11 - лаб. сабақ	Оң жағы квазиполином түрінде берілген	2
	жүйелерді интегралдау.
МСӨЖ	Екінші ретті сызықты теңдеу үшін шеттік есеп.	4
СӨЖ	Грин функциясын құру əдісі.	4
12-апта
12-лекция	Автономды жүйелердің қасиеттері.	2
12 - лаб. сабақ	Тыныштық нүктесінің аймағындағы	2
	траекториялар
МСӨЖ	Автономды жүйелердің ерекше нүктелері.	4
СӨЖ	Қалыпты жүйелерді интегралдау əдістері.	4
13-апта
13-лекция	Шешімнің орнықтылығы	2
13 - лаб. сабақ	Ляпунов теоремалары. Четась теоремасы.	2
МСӨЖ	Бірінші жуықьау арқылы орнықтылықты	4
	зерттеу.
СӨЖ	Гурвиц матрицасы. Сильвестр теоремасы.	4
14-апта
14-лекция	Екінші ретті сызықты жүйенің траекториялары	2
14 - лаб. сабақ	Екінші ретті теңдеулердің ерекше нүктелері.	2
МСӨЖ	Автономды жүйелердің ерекше нүктелері.	4
СӨЖ	Теңбе-теңдік қалыптың түрлері: түйін, фокус,	4
	центр.
15-апта
15-лекция	Бірінші ретті дербес туындылы сызықты	2
	дифференциалдық теңдеулер.
15 - лаб. сабақ	Сызықты жəне квазисызықты дербес туындылы	2
	теңдеулер. Коши есебі.
МСӨЖ	Дербес туындылы теңдеулер. Симметриялы	4
	теңдеулердің интегралдары.
СӨЖ	Пфафф теңдеуі	4
2-межелік бақылау	Коллоквиум
Барлығы (сағат)	Семестр бойы	180 сағат

	2 - ТАРАУ
	Глосарий
Ерекше шешімдер	Дербес туындылы теңдеулер
Интегралдық қисықтар	Жалпы шешім
Меншікті сандар	Сипаттауыштар
Квазикөпмүшелік	Якоби анықтауышы
Интегралдар	Жалпы интеграл
Қалыпты жүйелер	Бірінші интеграл

Симметриялы жүйелер	Интегралдық көбейткіш
Ерекше нүктелер	Теңбе-теңдік қалып
Сызықты тəуелділік	Траектория
Тəуелсіздік	Автономды жүйе
Вронский анықтауышы	Квазисызықты жүйе
Фундаменталь шешімдер жүйесі	Туылма жүйе, меншікті вектор
Фундаменталь матрица	Периодты шешімдер
Базис	Шеттік есеп
Изоклина	Фазалық кеңістік

4 - ТАРАУ

1-ЛЕКЦИЯ. Негізгі түсініктер жəне анықтамалар. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер.

Лекция мақсаты: Дифференциалдық теңдеулердің негізгі түсініктерімен студенттерді таныстыру.

Негізгі сөздер: теңдеу реті, интегралдық қисық, векторлар өрісі, изоклина, шешімдер.

Қысқаша мазмұны Негізгі түсініктер жəне анықтамалар

Дифференциалдық теңдеу деп тəуелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны жəне оның туындыларын байланыстыратын теңдікті атайды. Егер белгісіз функция тек бір ғана тəуелсіз айнымалыдан тəуелді болса, ондай теңдеуді жəй дифференциалдық теңдеу деп, ал бірнеше аргументтен тəуелді болса, ондай теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Теңдеуге кіретін туындылардың ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп саналады.

Жəй дифференциалдық теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі мынадай қатынаспен беріледі:

F( x, y, y′, y′′,..., y( n ) ) =0	(1)
Мұндағы, x -тəуелсіз айнымалы, y -белгісіз функция, ал	y′, y′′,..., y( n ) - оның

туындылары.

Əдетте, теңдеудің ең жоғарғы реттегі туындысы бойынша шешілген түрі қарастырылады. Ол былай жазылады:

y( n ) = f ( x, y, y′,..., y( n−1 ) )

(2)

Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді тəуелсіз айнымалылардың санына байланысты əртүрлі етіп жаза беруге болады. Солардың ішінен екі тəуелсіз айнымалыға байланысты түрін мына түрде жазуға болады:

	∂u		∂u		∂nu		∂nu
		,		,...,		n ,			= 0	(3)
F x, y,u,	∂x		∂y		∂x		∂y	n

	Мұндағы,	x, y – тəуелсіз айнымалылар,	u - белгісіз функция, ал	∂u	,	∂u	,...,	∂nu	,	∂nu	-
				∂x		∂y		∂xn		∂y n

дербес туындылар.

Егер белгісіз функциялар бірнешеу болса, онда сол функциялар санына байланысты дифференциалдық теңдеулер жүйесі қарастырылады.

Дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуды интегралдау деп атайды.

Жəй дифференциалдық теңдеудің шешімінің жазықтықтағы графигін интегралдық қисық деп атайды. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімінің кеңістіктегі геометриялық кескінін интегралдық бет деп атайды.

1.2. Біз бұл тарауда бірінші ретті жəй дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз жəне осы теңдеудегі тəуелсіз айнымалыны нақты деп есептейміз. Мұндай теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі төмендегі қатынаспен жазылады:

F( x, y, y′) =0	(4)
Мұнда х-тəуелсіз айнымалы, y = y(x)–белгісіз функция,	y′ =	dy	-туынды, ал F-берілген
		dx

функция. Осы теңдеудің туынды бойынша шешілген түрі былай жазылады:

	dy	= f (x, y)	(5)
	dx
Мұндағы, f (x, y)-жазықтықтағы кейбір		D облысында	үздіксіз бірмəнді анықталған

функция деп есептелінеді.

Нақты сандар осінде a,b -аралығын қарастырайық. Бұл аралық тұйық та, ашық та, ақырлы немесе ақырсыз да болуы мүмкін. Соңғы жағдайда a = −∞,b = +∞ болуы мүмкін.

Анықтама-1. a,b аралығында анықталған y =ϕ( x ) функциясы (5) теңдеудің шешімі

деп аталады, егер ол мынандай үш шартты қанағаттандырса: 1) ϕ(x) функциясы a,b аралығының барлық нүктесінде

дифференциалданатын болса;

2)( x,ϕ( x )) D, x a,b ;

3)ϕ′( x ) = f [x,ϕ( x )], x a,b .

Ескерту-1. Егер a,b аралығы тұйық немесе жартылай тұйық

болса, онда шешімнің сəйкес оңжақтық немесе солжақтық туындылары бар болуы шарт. Ескерту-2. f (x, y) функциясы D облысында үздіксіз болғандықтан, ϕ′( x ) функциясы

a,b аралығында үздіксіз болады.

Ескерту-3. Шешімнің анықталу облысының байланысты жиын
болуы қажетті шарт.
Мысалы, ϕ( x ) =( x − C )−1 функциясы		y1 = y 2 теңдеуінің шешімі бола алмайды, өйткені
x = C болғанда ϕ( x )	анықталмаған. Бұл жерде D облысы бүкіл ХОУ жазықтығы бола
тұрып, екінші шарт	орындалмайды.	Бірақ, ϕ( x ) функциясы	(− ∞,C) жəне (C,+∞)

аралықтарында шешім болады.

Кейбір жағдайларда (5) теңдеумен қатар оның аударылған түрі де қарастырылады:

			dx	= f −1( x, y )		(6)
			dy
Бұл	теңдеу	f (x, y) функциясы D облысының			кейбір нүктесінің жақын	аймағында
шексіздікке айналып жататын жағдайда қарастырылады.
Егер	f (x, y)	шексіздікке ешқандай		нүктеде	жақындамаса, онда (5)	жəне (6)

теңдеулердің шешімдері, яғни олардың интегралдық қисықтары бір болады. Бұдан шығатын қорытынды: (5) теңдеудегі айнымалы х жəне у-тің кез келгенін тəуелсіз айнымалы деп қарастыруға болады да, екіншісін соған тəуелді функция деп алуға болады.

Сондықтан көп жағдайда (5) теңдеуді оның симметриялық түрінде жазады:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0	(7)

Мұндағы M(x,y) жəне N(x,y) функцияларын кейбір D облысында анықталған жəне

үздіксіз деп есептейміз. Егер D облысындағы бір (х0,у0) нүктесінде
			M(х0,у0)=N(х0,у0)=0						(8)
болса, онда ол нүктені ерекше нүкте деп атайды.
(7) теңдеуді (5) жəне (6) түрге келтірсек:
	dy	= −	M (x, y)	немесе	dx	= −	N (x, y)		(9)
	dx				dy		M (x, y)
			N (x, y)

түрінде жазамыз. Ал соңғы (9) қатынасты мына түрде жазуға болады: