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ИНТЕГРАЛЫ
§4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕВОПРОСЫ
1.Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.
2.Неопределенный интеграл, его свойства.
3.Таблица неопределенных интегралов.
4.Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
5.Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
6.Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.
7Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
8.Интегрирование иррациональных выражений.
9.Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
10.Основные свойства определенного интеграла.
11.Теорема о среднем.
12.Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.
13.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
14.Интегрирование биномиальных дифференциалов.
15.Вычисление площадей плоских фигур.
16.Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.
§4.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
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sinx |
равна 1 при x 0, доказать, что она интегрируема на отрезке |
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1. |
Считая, что функция |
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0, |
1 . |
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x |
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2. |
Какой из. интегралов больше: |
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||||||||
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1 sinx 2 |
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1 sinx |
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|||||
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dx или |
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dx? |
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||||
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0 |
x |
|
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|
0 x |
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3. |
Пусть |
f t – непрерывная функция, а функции x и x |
дифференцируемые. Доказать, что |
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d |
x |
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||
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f t dt f x x f |
x x . |
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|||||||||
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|||||||||||
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|
dx x |
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||||
|
|
d |
x2 |
|
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4. |
Найти |
et2 |
dt. |
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||||||
dx |
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|
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|||||||||
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|
x |
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5. Найти точки экстремума функции
x
f x t 1 t 2 e t2 dt.
0
6. Пусть f x – непрерывная периодическая функция с периодом T . Доказать, что
a T |
T |
|
f x dx f x dx |
a. |
a0
7.Доказать, что если f x – четная функция, то
0 |
|
a |
|
|
|
1 |
a |
|
|
f x dx f x dx |
f x dx. |
|
|
||||||
2 |
|
|
|||||||
a |
0 |
|
|
a |
|
|
|||
8. Доказать, что для нечетной функции f x справедливы равенства |
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|||||||
0 |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
f x dx f x dx и |
f x dx 0. |
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|||||||
a |
0 |
|
|
a |
|
|
|
||
1 |
2 x |
|
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|
Чему равен интеграл sin2 xln |
dx? |
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|
||
1 |
2 x |
|
|
|
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|
|
9. При каком условии, связывающем коэффициенты a, |
b, c интеграл |
ax2 bx c |
dx является |
||||||
x3 x 1 2 |
|||||||||
рациональной функцией? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. При каких целых значениях n интеграл |
|
|
|||||||
1 x4 dx выражается элементарными функциями. |
|
|
|
|
§ 4.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ |
||||
|
Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы. |
|
|
|
||||
|
4 3x e 3xdx. |
|
arctg |
|
|
dx. |
||
1.1. |
1.2. |
|
4x 1 |
|||||
1.3. |
3x 4 e3xdx. |
1.4. |
4x 2 cos2xdx. |
|||||
1.5. |
4 16x sin4xdx. |
1.6. |
5x 2 e3xdx. |
|||||
1.7. |
1 6x e2xdx. |
1.8. |
ln x2 |
4 dx. |
||||
1.9. |
ln 4x2 |
1 dx. |
1.10. 2 4x sin2xdx. |
|||||
|
arctg |
|
dx. |
1.12. e 2x |
4x 3 dx. |
|||
1.11. |
6x 1 |
1.13. e 3x |
2 9x dx. |
1.14. arctg |
2x 1dx. |
|||||||||||||||||
1.15. arctg |
|
|
|
|
|
dx. |
1.16. arctg |
|
dx. |
|||||||||||
|
|
|
3x 1 |
5x 1 |
||||||||||||||||
1.17. |
5x 6 cos2xdx. |
1.18. 3x 2 |
cos5xdx. |
|||||||||||||||||
1.19. x |
|
|
|
|
3 cos2xdx. |
1.20. 4x 7 cos3xdx. |
||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||
1.21. |
2x 5 cos4xdx. |
1.22. 8 3x cos5xdx. |
||||||||||||||||||
1.23. x 5 sin3xdx. |
1.24. 2 3x sin2xdx. |
|||||||||||||||||||
1.25. |
4x 3 sin5xdx. |
1.26. 7x 10 sin4xdx. |
||||||||||||||||||
1.27. |
|
|
8x sin3xdx. |
1.28. |
xdx |
. |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
cos2 x |
|
|
|||||||||||||||||
1.29. |
|
xdx |
. |
|
1.30. xsin2 xdx. |
|||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.31. |
xcosxdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Задача 2. Вычислить определенные интегралы. |
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|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2.1. (x2 |
5x 6)cos2xdx. |
2.2. x2 4 cos3xdx. |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
4x 3 cosxdx. |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
2.3. x2 |
2.4. x 2 2 cos3xdx. |
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
7x 12 cosxdx. |
|
|
|
4x 7 cos2xdx. |
|||||||||||
2.5. x2 |
2.6. 2x2 |
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x 11 cos3xdx. |
|
|
|
16x 17 cos4xdx. |
||||||||||
2.7. 9x2 |
2.8. 8x2 |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 cos2xdx. |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
2.9. |
3x2 |
2.10. |
2x2 15 cos3xdx. |
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
2.11. |
3 7x2 cos2xdx. |
2.12. |
1 8x2 cos4xdx. |
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2x 1 sin3xdx. |
|
|
3 |
|
|
3x sin2xdx. |
|||||||
2.13. x2 |
2.14. x2 |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3x 2 sinxdx. |
2 |
|
5x 6 sin3xdx. |
|||||
2.15. x2 |
|
|
2.16. x2 |
||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
6x 9 sin2xdx. |
|
|
|
4 |
|
17,5 sin2xdx. |
|||
2.17. x2 |
|
|
2.18. x2 |
||||||
3 |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
2.19. 1 5x2 sinxdx. |
2.20. 3x x2 sin2xdx. |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2
2.21. xln2 xdx.
1
8 ln2 xdx
2.23. 1 3x2 .
3
2.25. x 1 3 ln2 x 1 dx.
2
2
2.27. x 1 2 ln2 x 1 dx.
0
1x
2.29.x2 e 2 dx.
1
0x
2.31.x2 2 e2 dx.
2
Задача 3. Найти неопределенные интегралы.
e2 |
2 |
|
xdx |
|
||
2.22. |
ln |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||
1 |
|
|
|
x |
1
2.24. x 1 ln2 x 1 dx.
0
0
2.26. x 2 3 ln2 x 2 dx.
1
e
2.28. x ln2 xdx.
1
1
2.30. x2 e3x dx.
0
3.1. x dxx2 1.
3.3. x dxx2 1.
3.5. |
|
|
|
xdx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
4 |
x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
3.7. tgxlncosxdx.
3.2. |
|
1 lnx |
dx. |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
3.4. |
x2 lnx2 |
|
dx. |
||||||
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.6. |
|
arccosx |
3 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 x |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
tg x 1 3.8. cos2 x 1 dx.
3.9. |
x3 |
|
|
dx. |
|
x2 1 2 |
sinx cosx 3.11. (cosx sinx)5dx.
3.13. x3 x dx.
3.15. 3x 1.
x2 1 dx
3.17.(x3 3x 1)5 .
x3 dx.23.19.
|
x |
4 |
|
|
|
|||||||
3.21. |
2cosx 3sinx |
dx. |
||||||||||
(2sinx 3cosx)3 |
||||||||||||
|
1 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
3.23. |
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
3.25. |
x 1 x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3.27. arctgx x dx. 1 x2
x3
3.29. x2 1dx.
3.31. |
|
1 |
x |
dx. |
|
|
|
||
|
|
x x 1 |
3.10.
3.26.
1 cosx (x sinx)2 dx.
3.12. |
xcosx sinx |
dx. |
xsinx 2 |
xdx
3.14. x4 x2 1.
3.16.1 ln(x 1)dx.
x1
3.18. |
4arctgx |
x |
dx. |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.20. |
|
x cosx |
dx. |
|||||||||||||||
x |
2 |
2sinx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.22. |
8x arctg2 |
x |
dx. |
|||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.24. |
|
|
|
x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
1 x |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.28. |
|
x arctgx 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.30. |
arcsinx 2 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Вычислить определенные интегралы.
e2 1 |
1 ln x 1 |
|
1 |
x |
2 |
1 dx |
|
|
4.1. |
dx. |
4.2. |
|
|
. |
|||
|
x3 3x 1 |
2 |
||||||
e 1 |
x 1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
4arctgx x |
|
|
||||||||||
4.3. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
x cosx |
|
|
||||||||
4.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||
|
|
x2 2sinx |
|||||||||||||
1 2 8x arctg2x |
|||||||||||||||
4.7. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||
|
|
|
|
|
1 4x2 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||
4.9. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
x4 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
|
|
|||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||
4.11. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
arctgx |
4 |
|
|
||||||||||||||||||
4.13. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
sin1 arcsinx 2 1 |
|||||||||||||||||||||||||
4.15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
4 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4
4.23.tgxlncosxdx.
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 arccosx 3 |
1 |
|||||||
4.25. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 x |
2 |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
sinx cosx |
||||||||
4.27. |
0 |
|
dx. |
|||||||
cosx sinx 5 |
2 |
|
|
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.4. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
2cosx 3sinx |
|
|||||||||||||||||||
4.6. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||
|
2sinx 3cosx 3 |
|||||||||||||||||||||
4 1 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||
4.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
arctgx x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||
4.12. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.14. 0 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 1 |
|
|
|
|
31 x
4.16.1 x x 1 dx.
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.18. |
1 lnx |
dx. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
lnx |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
4.20. |
x |
|
|
|
dx. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.22. |
|
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
0 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
tg(x 1) |
|
|
|||||||||
4.24. 1 |
|
|
|
dx. |
||||||||||||
cos2(x 1) |
||||||||||||||||
2 |
1 cosx |
|
|
|||||||||||||
4.26. |
|
|
dx. |
|||||||||||||
(x sinx)2 |
||||||||||||||||
2 |
xcosx sin |
x |
|
|||||||||||||
4.28. |
|
dx. |
||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||
4 |
|
xsinx |
|
|
1 |
|
x3 x |
3 |
|
|
xdx |
||||||||
4.29. 0 |
|
|
|
|
dx. |
4.30. |
|
|
|
|
. |
|||
|
x4 1 |
|
|
|
||||||||||
x4 x2 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
9 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.31. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Найти неопределенные интегралы.
5.1. |
|
x3 1 |
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.3. |
|
|
|
x3 17 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.5. |
|
|
|
2x3 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.7. |
|
|
|
|
|
|
|
x3 2x2 3 |
|
|
|
|
dx. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x 1 x 2 x 3 |
||||||||||||||||||||
5.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
dx. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x 1 x 1 x 2 |
||||||||||||||||||||
5.11. |
|
|
x3 3x2 12 |
dx. |
||||||||||||||||||
|
x 4 x 3 x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.13. |
|
3x3 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
5.15. |
|
x5 x3 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
5.17. |
|
2x5 8x3 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||
5.19. |
|
x5 9x3 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|||||||||
5.21. |
|
|
x3 5x2 5x 23 |
dx. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x 1)(x 1)(x 5) |
||||||||||||||||||
5.23. |
2x4 |
5x2 8x 8 |
dx. |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(x 2)(x 2) |
5.25.3x4 3x3 5x2 2dx. x(x 1)(x 2)
5.27. x5 x4 6x3 13x 6dx. x(x 3)(x 2)
|
5.2. |
|
3x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5.4. |
|
|
|
|
2x3 5 |
dx. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
x 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5.6. |
|
|
|
3x3 25 |
|
dx. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
5.8. |
|
|
|
|
|
|
|
3x3 2x2 1 |
|
dx. |
||||||||||||
|
|
x 2 x 2 x 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5.10. |
|
|
|
|
|
x3 3x2 12 |
|
dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x 4 x 3 x 2 |
|||||||||||||||||
|
5.12. |
|
|
|
4x3 x2 2 |
dx. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x x 1 x 2 |
|
|
|
||||||||||||||
5.14. |
x3 |
3x2 |
12 |
|
dx. |
|
|
|
|||||||||||||||
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
5.16. |
x5 3x3 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.18. |
3x5 |
12x3 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
||||||||
x |
2 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.20. |
x5 |
|
25x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|||||||
|
x |
2 |
5x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5.22. |
x5 |
2x4 |
2x3 5x2 |
7x 9 |
dx. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3)(x 1)x |
5.24.4x4 2x2 x 3dx. x(x 1)(x 1)
5.26. 2x4 2x3 41x2 20dx. x(x 4)(x 5)
5.28.3x3 x2 12x 2dx. x(x 1)(x 2)
5.29. |
2x4 2x3 3x2 2x 9 |
dx.5.30. |
|
2x3 x2 7x 12 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x(x 1)(x 3) |
|
x(x 3)(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.31. |
2x3 40x 8 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x(x 4)(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Задача 6. Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6.1. |
|
x3 6x2 13x 9 |
dx. |
|
|
6.2. |
|
x3 6x2 13x 8 |
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(x 1)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
x(x 2)3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
6.3. |
|
x3 6x2 13x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.4. |
x3 6x2 14x 10 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||
|
|
(x 2)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
(x 1)(x 2)3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.5. |
|
x3 6x2 11x 10 |
|
|
6.6. |
|
x3 6x2 11x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||
|
|
(x 2)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
(x 1)(x 2)3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
6.7. |
|
2x3 6x2 7x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.8. |
x3 6x2 10x 10 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||
|
|
(x 1)(x 1)3 |
|
|
|
|
(x 1)(x 2)3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6.9. |
2x3 6x2 7x 2 |
|
|
6.10. |
x3 6x2 13x 8 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||
|
x(x 1)3 |
|
|
|
x(x 2)3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6.11. |
x3 6x2 13x 7 |
|
|
6.12. |
x3 6x2 14x 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||
(x 1)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
(x 1)(x 2)3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6.13. |
x3 6x2 10x 10 |
|
|
6.14. |
x3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x 1)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6.15. |
3x3 9x2 10x 2 |
|
|
6.16. |
2x3 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x 1)(x 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6.17. |
2x3 6x2 7x 4 |
|
6.18. |
2x3 6x2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(x 2)(x 1)3 |
|
|
|
|
|
|
(x 2)(x 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.19. |
2x3 6x2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.20. |
2x3 6x2 5x 4 |
|||||||||||||||||||||
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||
(x 2)(x 1)3 |
|
|
(x 2)(x 1)3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6.21. |
x3 6x2 4x 24 |
|
6.22. |
x3 6x2 14x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(x 2)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
|
(x 2)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6.23. |
x3 6x2 18x 4 |
|
|
6.24. |
x3 6x2 10x 12 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||
(x 2)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
|
(x 2)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
|
6.25. |
x3 6x2 14x 4 |
dx. |
|
6.26. |
x3 6x2 15x 2 |
dx. |
|||||||
(x 2)(x 2)3 |
|
|
(x 2)(x 2)3 |
||||||||||
6.27. |
2x3 6x2 7x 4 |
|
|
6.28. |
2x3 6x2 7x |
|
|||||||
|
|
dx. |
|
|
dx. |
|
|||||||
(x 2)(x 1)3 |
(x 2)(x 1)3 |
|
|||||||||||
6.29. |
x3 6x2 10x 52 |
|
6.30. |
|
x3 6x2 13x 6 |
|
|||||||
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
dx. |
|||||
(x 2)(x 2)3 |
|
|
|
(x 2)(x 2)3 |
|
||||||||
6.31. |
|
x3 6x2 13x 6 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x 2)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.1. |
|
x3 4x2 4x 2 |
|
|
7.2. |
x3 4x2 3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||
x 1 2 x2 x 1 |
|
|
|
x 1 2 x2 1 |
|||||||||||||||||||
7.3. |
|
2x3 7x2 7x 1 |
|
|
7.4. |
|
2x3 4x2 2x 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||
x 2 2 x2 x 1 |
|
|
x 1 2 x2 2x 2 |
||||||||||||||||||||
7.5. |
|
x3 6x2 9x 6 |
|
|
7.6. |
2x3 11x2 16x 10 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||
x 1 2 x2 2x 2 |
|
|
x 2 2 x2 2x 3 |
||||||||||||||||||||
7.7. |
3x3 6x2 5x 1 |
|
|
7.8. |
x3 9x2 21x 21 |
||||||||||||||||||
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||
|
x 1 2 x2 2 |
|
|
|
x 3 2 x2 3 |
|
|||||||||||||||||
7.9. |
x3 6x2 8x 8 |
|
|
7.10. |
x3 5x2 12x 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||
x 2 2 x2 4 |
|
|
x 2 2 x2 4 |
||||||||||||||||||||
7.11. |
2x3 4x2 16x 12 |
|
|
7.12. |
3x3 13x2 13x 1 |
||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||
x 1 2 x2 4x 5 |
|
|
x 2 2 x2 x 1 |
||||||||||||||||||||
7.13. |
x3 2x2 10x |
|
|
3x3 x 46 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx. |
7.14. |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 1 2 x2 x 1 |
x 1 2 x2 9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7.15. |
4x3 24x2 20x 28 |
|
|
7.16. |
2x3 3x2 3x 2 |
||||||||||||||||||
|
dx. |
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||
x 3 2 x2 2x 2 |
|
|
x2 x 1 x2 1 |
7.17. |
|
|
|
|
|
x3 x 1 |
|
|
|
|
dx. |
7.18. |
|
|
|
|
|
x2 x 3 |
|
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
x |
1 x |
2 |
1 |
|
|
|
x |
2 |
x |
|
1 x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7.19. |
|
|
2x3 4x2 2x 2 |
dx. |
|
7.20. |
|
|
|
|
|
2x3 7x2 7x 9 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
x |
1 x |
2 |
x 2 |
|
|
x |
2 |
x 1 x |
2 |
x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.21. |
|
|
|
|
4x2 3x 4 |
|
|
dx. |
7.22. |
|
|
|
3x3 4x2 6x |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
1 x |
2 |
x 1 |
|
|
|
x |
2 |
2 |
x |
2 |
2x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7.23. |
|
|
|
|
2x2 x 1 |
|
|
|
dx. |
7.24. |
|
|
|
|
x3 x2 1 |
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
x |
1 x |
2 |
1 |
|
|
x |
2 |
x |
|
1 x |
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7.25. |
|
|
|
|
|
x3 x 1 |
|
|
|
dx. |
7.26. |
|
|
|
|
2x3 2x 1 |
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
x |
1 x |
2 |
1 |
|
|
x |
2 |
x |
|
1 x |
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7.28. |
|
x3 2x2 x 1 |
|
|
dx. |
7.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
x |
1 x |
2 |
1 |
|
|
|
x |
2 |
x |
|
2 x |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
7.30. |
|
2x3 2x2 2x 1 |
|
|
dx. |
7.30. |
|
|
|
3x3 7x2 12x 6 |
dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
x |
1 x |
2 |
1 |
|
|
|
x |
2 |
x |
|
3 x |
2 |
2x 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.31. |
|
2x3 3x2 3x 2 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
2 |
x |
1 x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||
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|
Задача 8. Вычислить определенные интегралы. |
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|||||||||||||||||||
|
2arctg2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cosxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
8.2. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
sin |
|
x 1 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2arctg2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
cosxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8.3. |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
8.4. 2arctg(1 |
2) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x 1 cosx |
|
|
|
1 cosx 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 cosx sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2arctg3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8.5. |
0 |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
8.6. 2arctg2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 sinx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx 1 cosx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2arctg(1 2) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.7. 2arctg(1 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
8.8. 2arctg(1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
sinx 1 sinx |
|
|
2) |
1 sinx cosx 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
cosxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
1 sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.9. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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5 4cosx |
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1 cosx sinx |
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