1, 2, 3, 4

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни

Посібник охоплює всі основні питання навчальної програми курсу теорії ймовірностей та математичної статистики. Згідно з основними програмними темами матеріал розбито на п’ять розділів, усі підрозділи яких побудовано за єдиним принципом. Спочатку стисло подаються головні теоретичні відомості (визначення, формули, теореми та ін.), далі пропонуються докладні приклади розв’язування типових задач і нарешті — велика добірка вправдлясамостійногорозв’язування, докожноїзякихнаведеновідповідь.

Наприкінці вміщено варіанти завдань для блочно-модульного контролю знань, а також довідкові додатки та список рекомендованої літератури.

Призначений для студентів економічних спеціальностей.

Передмова

Майже 400 років тому Галілео Галілей говорив, що філософію написано у грандіозній книзі — природі, яка завжди відкрита для всіх і кожного. Проте зрозуміти її може лише той, хто навчився розуміти її мову та знаки, якими її написано. А написано її математичною мовою, а знаки її — математичні формули.

Справді, створення математичних моделей реальних процесів

іявищ — важливий етап пізнання світу.

Упроцесі свого розвитку математика збагачувалась видатними досягненнями. Прикладами таких досягнень є створення диференціального та інтегрального числення — математичного аналізу, побудова неевклідової геометрії, розвиток аксіоматичного методу… До цього переліку, безперечно, належить і теорія ймовірностей.

Теорія ймовірностей зародилася в XVI—XVII століттях зі спроб дати теорію азартних ігор.

Перші розрахунки ймовірностей виконали Н. Тарталья і Дж. Кардано, згодом ці питання досліджували Г. Галілей, П. Ферма,

Б. Паскаль, Х. Гюйгенс, Р. Декарт. Важливу теорему (закон ве-

ликих чисел), що сприяла розвитку теорії ймовірностей як науки, установив Я. Бернуллі. Його результати розвинули А. Муавр і П. Лаплас. Виключно важливу роль у розвитку теорії ймовірностей мали відкриття П. Л. Чебишова та його учнів А. А. Маркова і О. М. Ляпунова.

Велике значення для розвитку теорії ймовірностей мали і праці видатних математиків ХХ століття — С. Н. Бернштейна,

О. Я. Хінчина, А. М. Колмогорова, Б. В. Гнєденко, Р. А. Фішера, Р. Е. Мізеса, К. Пірсона та ін.

Нині теорію ймовірностей часто будують на аксіоматичній основі. На сучасному рівні аксіоматичну побудову подав А. М. Колмогоров у 30-тих роках минулого століття.

Із теорією ймовірностей тісно пов’язана математична статистика — розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизують, опрацьовують і застосовують статистичні дані для наукових і практичних висновків.

Теорія ймовірностей та математична статистика, які дедалі ширше застосовуються в багатьох галузях науки і техніки, є важливими складовими фундаментальної фахової підготовки сучасних економістів.

3

Розділ 1

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ. ПРОСТІР ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню.

Подія — результат випробування.

Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V.

Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, … .

Випадкові події, які не можна розкласти на простіші, називаються елементарними. Можлива елементарна подія — це кожний із можливих результатів окремого випробування.

Простір елементарних подій — множина можливих елемента-

рних подій, кожною з яких може закінчитись випробування. Якщо позначимо ωi (i =1,2, ..., n) можливі елементарні події, то цю мно-

жину можна записати у вигляді Ω = {ω1 , ω2 ,..., ωn }. Простір Ω мо-

жемістити скінченну, зліченну або незліченну множину значень. Випадковій події А, яка може відбутись у результаті випробу-

вання, можна поставити у відповідність деяку множину елементарних подій, що сприяють появі цієї події: A ={ω1 , ω2 ,..., ωm },

яка є підмножиною Ω .

Сума подій. Подія А називається сумою подій В і С, тобто А = = В + С або A = B UC, якщо при випробуванні відбувається при-

наймні одна із цих подій. Множину елементарних подій, що становлять подію А, дістають об’єднанням множин елементарних подій, що становлять події В і С. Аналогічно визначається сума n (n > 2) подій.

Добуток подій. Подія А називається добутком подій В і С, тобто А = ВС або A = B IC, якщо в результаті випробування ві-

4

дбуваються як подія В, так і подія С. Множина елементарних подій, що становлять подію А, визначається як переріз множин, що становлять події В і С. Аналогічно визначається добуток n (n > 2) подій.

Різниця подій. Подія А називається різницею подій В і С, тобто А = В – С або A = B : C, якщо відбувається подія В і не відбува-

ється подія С. Множина елементарних подій, що становлять подію А, містить елементарні події, що становлять В, виключаючи ті, при яких відбувається подія С.

Події В і С у даному випробуванні називаються несумісними, якщо відповідні їм множини елементарних подій не містять од-

накових елементів: B IC =V. Це означає, що коли одна з подій

відбулась, друга подія відбутись не може.

Події В і С називаються рівноможливими у даному випробуванні, якщо є підстава вважати, що жодна з них не є об’єктивно більш можливою, ніж інша.

Події A1 , A2 ,..., An у даному випробуванні утворюють повну

групу подій, якщо вони несумісні і в результаті випробування неодмінно відбудеться принаймні одна з них, а отже, їхня сума є

n

достовірною подією: U Ai =U.

i=1

Події A i A називаються протилежними, якщо вони несумісні й утворюють повну групу подій, тобто A I A =V i A U A =U.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Партія складається з деталей 1-го, 2-го і 3-го ґатунку, а також бракованих. Деталі ретельно перемішані. Із партії навмання беруть одну деталь. Застосувавши очевидні позначення,

розглянемо події: A1 = {1; 2}; A2 ={1; 3}; B1 ={2; 3}; B2 ={2; Бp}.

Яка з подій Bi утворює з подіями A1 i A2 повну групу?

Розв’язання. Згідно з означенням для повної групи подій має виконуватись співвідношення A1 U A2 UBi =U. Достовірній події

відповідає весь простір елементарних подій Ω.

У розглядуваному випробуванні простір Ω складається з чотирьох елементарних подій: деталь може бути 1-го, 2-го, 3-го со-

рту або бракованою, тобто Ω = {1; 2; 3; Бp}.Знайдемо множину елементарних подій для суми подій A1 i A2 . Утворюючи об’єднання множин елементарних подій, до нього включають елемен-

5

тарні події відповідних подій, причому однакові елементарні події беруть один раз. Отже, A1 U A2 = {1; 2; 3}. Для того щоб допов-

нити цю множину до Ω, потрібно додати до суми подій подію B2 , бо множина її елементарних подій містить ωi = {Бp}.

Приклад 2. Визначити подію D = (A1 U B2 )I (B1 U A2 ), де події A1 , A2 , B1 , B2 та випробування, у результаті якого вони відбуваються, задано умовами прикладу 1.

Розв’язання. Згідно з умовою маємо простір елементарних подій Ω = {1; 2; 3; Бp}. Знайдемо множини елементарних подій A1 i B1 . За

означенням протилежних подій A1 U A1 =U і B1 UB1 =U , а отже,

множини елементарних подій для				і
		A1			B1 доповнюють до Ω від-
повідно множини елементарних подій				A1 i B1 . Отже,			A1 ={3; Бp};
B1 ={1; Бp}. Тоді	A1 U B2 ={2; 3;Бp};			B1 U A2 ={1; 3; Бp}. Переріз

будь-яких множин містить лише спільні для них елементи, а тому D = (A1 U B2 )I (B1 U A2 )={3; Бp}. До множини елементарних по-

дій для D входять елементарні події: «деталь 3-го сорту» або «деталь бракована».

Вправи для самостійного розв’язування

1.1. Партія складається зі стандартних і нестандартних деталей, які ретельно перемішані. З неї навмання беруть дві деталі. Визначити :

1)простір елементарних подій;

2)множини елементарних подій для таких подій:

а) A1 — появаоднієї стандартної і однієї нестандартної деталей; б) A2 — поява не менш як однієї стандартної деталі;

в) A3 — поява не більш як однієї стандартної деталі.

1.2. Із ящика, в якому є бронзові, мідні, латунні та сталеві деталі, беруть одну деталь. Події A1 , A2 , A3 , A4 означають відпові-

дно, що взята деталь бронзова, латунна, мідна, сталева. Визначи-

ти подію B = (A1 U A3 )I(A4 U A2 ).

1.3. У ящику містяться 3 латунні (Л), 3 сталеві (С) і 1 бронзова (Б) деталь. Беруть 2 деталі. Визначити:

1) простір елементарних подій Ω;

6

2) множину елементарних подій A3 , яка утворює з подіями

A1 i A2 повну групу, якщо A1 ={CC, ЛС}, A2 ={БЛ, ЛС} — елементарні події, позначені згідно з матеріалом деталей.

1.4. Прилад складається з двох блоків 1-го типу і трьох блоків
2-го типу. Події	A (k =1,2) означають, що працює k -й блок 1-го
типу, а події B j	(j k=1,2,3) — працює j -й блок 2-го типу. Прилад

працює, якщо працює принаймні один блок першого типу і не менше як два блоки 2-го типу. Виразити подію С — «прилад

працює» через події Ak i Bj .

1.5. Робітник виготовив n деталей. Нехай подія Ai (i =1,2, ..., n)

полягає в тому, що i-та деталь має дефект. Записати такі події: 1) ні одна з деталей не має дефектів; 2) принаймні одна деталь має дефект; 3) лише одна деталь має дефект.

1.6. Підкидається гральний кубик. Розглянемо події: A1 ={1; 2; 4}, A2 ={3; 4; 6}, A3 {4; 5; 6}. Чибудуть несуміснимиподії: B1 = A1 I A3

іB2 = A1 I A2 ?

1.7.На прямокутному 5 × 4-клітинковому полі подається фі-

гура, що складається із	заштрихованих клітинок. Нехай
Aij (i =1, 2, 3, 4, 5; j =1, 2, 3, 4)	— події, які полягають у тому, що

клітинку з номерами i та j заштриховано. Записати події:

1)зображення має вигляд, наведений на рис. 1.1;

2)у правому верхньому куті заштриховано прямокутник роз-

міром 3 × 2 клітинки.

Рис. 1.1.

1.8. Скільки подій можна утворити над простором елементарних подій Ω, що містить 8 елементарних подій, розглядаючи ті,

які складаються не менш як із двох елементарних подій?

1.9. Скільки елементарних подій містить простір Ω, якщо з

них складено 15 попарно несумісних подій, кожній з яких відповідають 4 елементарні події?

7

1.2. ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ ПОДІЇ. БЕЗПОСЕРЕДНЄ ОБЧИСЛЕННЯ ІМОВІРНОСТЕЙ

Означення ймовірності

Імовірністю події А називається числова міра об’єктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позначається така ймовірність Р(А).

Властивості ймовірності

1.Імовірність достовірної події P(U )=1.

2.Імовірність неможливої події P(V )= 0.

3.Ймовірність будь-якої випадкової події 0 < P(A)<1.

Класичне означення ймовірності

Імовірністю випадкової події А називається відношення кі-

лькості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій Ω:

P(A)= mn .

Щоб обчислити ймовірність події А за цією формулою, потрібно знайти кількість елементарних подій у просторі Ω, а також кількість їх у множині, яка відповідає події А. Для цього застосовують формули комбінаторної математики.

І. Нехай скінченна невпорядкована множина складається із n елементів. Виконаємо такі випробування:

1. Упорядкуємо дану множину, пронумерувавши всі її елементи. Тоді елементарною подією у випробуванні буде довільне переставлення з n елементів, а кількість можливих переставлень дорівнюватиме n!

2. Розіб’ємо множину на впорядковані підмножини, які містять по m (m < n) елементів і різняться між собою або порядком, або

елементами. Тоді елементарною подією у випробуванні буде довільне розміщення з n елементів по m. Кількість таких розміщень

Anm = n(n −1)(n − 2)...(n − m +1).

8

3. Розіб’ємо множину на невпорядковані підмножини, які містять по m (m < n) елементів і різняться між собою принаймні од-

ним елементом. Тоді елементарною подією у цьому випробуванні буде комбінація, а кількість таких комбінацій

	Cnm =	n!		.
		m!(n − m)!

4. Беремо з множини навмання m елементів з поверненням. Тоді у фіксованій підмножині кожний елемент може повторитися m разів. Елементарною подією у випробуванні буде розміщення з n елементів по m із повторенням, а кількість таких розміщень

Rnm = nm .

ІІ. Нехай скінченну множину з n різних елементів розбито на r підмножин, у кожній з яких міститься ni (i =1,2,..., r) елементів,

r

причому ∑ni = n. Із кожної підмножини навмання беремо по mi

i=1

елементів без повернення. Тоді елементарною подією буде довільна комбінація елементів. Кількість таких комбінацій

K = Cnm1 Cnm2 ...Cnmr ,
1		2			r
K = Am1	Am2		...Amr		,
n	n	2	n	r
1

якщо їхній порядок істотний.

ІІІ. Нехай скінченну множину з n елементів розбито на r підмножин, у кожній з яких міститься ni (i =1,2,..., r ) однакових еле-

	r	Упорядкуємо цю множину. Тоді еле-
	ментів, причому ∑ni = n.
	i=1
	ментарною подією буде довільне переставлення з n елементів із
	повторенням, а число елементарних подій
	Pn (n1 , n2	, ..., nr )=		n!		.
			n1!n2	! ... nr !

Геометричне означення ймовірності

Якщо простір елементарних подій Ω можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А — як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин:

9

P(A)= µµ((ΩA)). При цьому вважається, що ймовірність попадання в

деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини.

Статистичне означення ймовірності

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної

кількості виконаних випробувань n: W (A)= mn .

Знаходження статистичної ймовірності пов’язане з проведенням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або відносною частотою, події.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Партія складається з 10 стандартних (С) і 5 нестандартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стандартними.

Розв’язання. Подія А — «серед 5 деталей 3 стандартні, а 2 нестандартні». Деталі беруться навмання, тому можливою елементарною подією є будь-яка група з 5 деталей, вибраних із 15 деталей. Щоб визначити, до якого типу підмножин належать ці групи, розглянемо одну з них. Нехай у групі виявилося 2 стандартні і 3 не-

стандартні деталі, тобто маємо {С,С, Н, Н, Н}. Виконаємо у групі довільне переставлення, наприклад, {С, Н, С, Н, Н}. Група не змі-

нилась — у ній як було, так і залишилося 2 стандартні деталі. Отже, порядок у групі неістотний, тому вони належать до комбінацій. Усі елементарні події рівноможливі, для обчислення ймовірності застосуємо формулу класичного означення ймовірності.

Загальна кількість елементарних подій

n = C5	=	15!		=	360360	= 3003.
15		5! 10!		120

Щоб обчислити кількість елементарних подій, які становлять подію А, міркуємо так: 3 стандартні деталі з 10 можна вибрати

C103 способами, а 2 нестандартні з 5 — C53 способами. Отже,

10