Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Тема_06_Векторна та фрактальна графіка_12

.pdf
Скачиваний:
39
Добавлен:
01.03.2016
Размер:
959.77 Кб
Скачать

1

Тема 6. Векторна та фрактальна графіка

6.1.Фрактальна графіка.

6.2.Основні поняття векторної графіки.

6.3.Структура векторного зображення. Математичні основи векторної графіки.

6.4.Обʼєкти векторної графіки

6.5.Переваги та недоліки векторної графіки. Графічні редактори для роботи з векторною

графікою.

6.1. Фрактальна графіка

Поняття фрактал, фрактальна геометрія і фрактальна графіка, що з’явилися в кінці 70-х, сьогодні міцно увійшли в побут математиків та комп’ютерних художників. Слово фрактал утворене від латинського fractus і в перекладі означає "складається з фрагментів". Воно було запропоновано математиком Бенуа Мандельброт у 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов’язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature". У його роботах використані наукові результати інших вчених, які працювали в 1875-1925 роках у тій же галузі (Пуанкаре, Фату, Жюліана, Кантор, Хаус-Дорф). Але тільки в наш час вдалося об’єднати їх роботи в єдину систему. Визначення фрактала, дане Мандельбротом: фракталом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілого. З усіх типів фракталов найбільш наочними є геометричні фрактали. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), яку називають генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, які складають ламану, замінюється на ламанугенератор у відповідному масштабі. У результаті нескінченного повторення цієї процедури виходить геометричний фрактал (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Приклад створення геометричного фракталу

Однією з основних властивостей фракталів є самоподібність. Об’єкт називають самоподібним, коли збільшені частини об’єкта схожі на сам об’єкт і один на одного. Перефразовуючи це визначення, можна сказати, що в простому випадку невелика частина фрактала містить інформацію про всі інші фрактали (див. рис. 6.1). Наприклад, сніжинка несе інформацію про сніговий замет, а гірський камінь має ті ж самі обриси, що і гірський хребет. Завдяки цій властивості ми можемо використовувати фрактали для генерування поверхні місцевості, яка походить на саму себе, незалежно від масштабу, в якому вона відображена. Ця ідея знайшла використання в комп’ютерній графіці завдяки компактності математичного апарату, необхідного для її реалізації. Так, за допомогою декількох математичних коефіцієнтів можна задати лінії і поверхні дуже складної форми. Сьогодні розроблені алгоритми синтезу коефіцієнтів фрактала, що дозволяє відтворити копію будь-якої картинки, як завгодно близько до вихідного оригіналу. З точки зору машинної графіки фрактальна геометрія незамінна при генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично завдяки фрактальной графіці знайдений

2

спосіб ефективної реалізації складних неевклідових об’єктів, образи яких дуже схожі на природні. Геометричні фрактали на екрані комп’ютера (рис. 6.2) – це візерунки, що побудовані самим комп’ютером по заданій програмі. Вони дуже красиві, незвичайні й цікаві. Багато художників на Заході (наприклад, Мелісса Бінда) розглядають фрактали як новий вид комп’ютерного мистецтва. Крім фрактальної живопису існують фрактальна анімація та фрактальна музика

Рис. 6.2. Приклади фрактальних зображень

Творець фракталів – це художник, скульптор, фотограф, винахідник та вчений в одній особі. Ви самі створюєте форму малюнка за допомогою математичної формули, досліджуєте перебіг процесу, варіюючи його параметри, вибираєте вид зображення і палітру кольорів, тобто створює малюнок "з нуля". У цьому одна з відмінностей фрактальних графічних редакторів (і зокрема – Painter) від інших графічних програм. Наприклад, в Adobe Photoshop зображення, як правило, "з нуля" не створюється, а лише обробляється. Іншою самобутньою особливістю фрактального графічного редактора Painter (як і інших фрактальних програм, наприклад Bryce) є те, що реальний художник, що працює без комп’ютера, ніколи не досягне за допомогою пензля, олівця і пера тих можливостей, які закладені в Painter програмістами. В даний час алгоритми, що використовуються для генерації зображень фрактальної графіки, знаходять застосування і в традиційних видах комп’ютерної графіки: растрової та векторної. Наприклад, в CorelDRAW ці алгоритми використовуються для створення текстурних заливок.

Алгоритми фрактального стиснення зображень У фрактальній математиці виникають все нові та нові галузі застосування. Торкнемося лише одного перспективного напрямку – створення алгоритму фрактального стиснення графічної інформації. У 1991 році такий алгоритм був знайдений. Він має ряд унікальних особливостей. Фрактальний архіватор дозволяє, наприклад, при розпакуванні довільно міняти роздільну здатність зображення без появи ефекту зернистості. Більше того, він розпаковує набагато швидше, ніж найближчий конкурент, JPEG, і не тільки статичну графіком, а й відео.

Розглянемо програми, що створюють фрактальні зображення.

1. Corel Painter (до 7 весії мав назву Fractal Design Painter). Програма, призначена для цифрового живопису і малюнка. За допомогою графічного планшета художник може працювати з віртуальними інструментами в цій програмі так само легко, як і зі звичайними олівцем або пензлем. Інтерфейс програми розроблений в контексті створення цифрового живопису з "чистого аркуша" (на відміну від програми Photoshop, яка створена для обробки вже наявних зображень, але також дозволяє малювати).

Функції:

імітація традиційних засобів живопису (олівець, пастель, масляні фарби, акварель, аерограф; в сумі близько 200 інструментів та їх варіацій);

цифрові засоби живопису (близько 200 різноманітних кистей і ефектів), система роботи

зшарами і їх накладенням, маски, канали кольору;

3

– допоміжні інструменти (ластик, мастихін, освітлювач, затемнювач тощо).

Також є можливість налаштовувати поточні інструменти / засоби або створювати свої власні. Для максимальної зручності роботи рекомендується використовувати графічний планшет, оскільки на відміну від миші він дозволяє більш точно передавати шлях руху кисті.

2.Bryce (брайс) – програма для 3D-моделювання, рендеринга і анімації, що спеціалізується на генеруванні фрактальних пейзажів. Назву отримала на честь Брайс-каньйону, геометрія якого була змодельована алгоритмом програми.

Програма призначена в основному для створення і візуалізації пейзажів. Можливості створення 3D – моделей внутрішніми засобами моделювання обмежуються деякими примітивами і джерелами світла. У Bryce є такі властивості: Instancing Lab лабораторія клонування, побудована за принципами екосистеми; нові типи джерел групового освітлення; моделювання дерев; моделювання гірських ландшафтів та їх експорт; моделювання води; редагування неба і хмар (управління шарами хмар, використання неба як джерела світла для HDRI, додаткове освітлення сцени від сонця); імпорт об’єктів з більшості 3d-форматів.

3.Набір програмних модулів (фільтрів) для розширення стандартних можливостей таких графічних програм, як Adobe Photoshop, Illustrator, Macromedia FreeHand. В основу роботи фільтрів використано математичний механізм фрактального створення зображень.

6.2. Основні поняття векторної графіки

Зображення, створене у векторних програмах, ґрунтується на математичних формулах, а не на координатах пікселів. Тому векторні файли містять набори інструкцій для побудови геометричних об’єктів – ліній, еліпсів, прямокутників, багатокутників та дуг (рис. 6.3). Відповідно до цього основу векторних зображень складають різноманітні лінії або криві, які називають векторами, або, по-іншому, контурами. Кожен контур являє собою незалежний об’єкт, який можна редагувати: переміщати, масштабувати, змінювати. Відповідно до цього векторну графіку часто називають також об’єктно-орієнтованої графікою.

42

64

Рис. 6.3. З векторною графікою ви фактично вже познайомилися на уроках шкільної математики, коли писали формулу площі круга S = πr2. Для зміни розміру фігури досить вказати нове значення параметра (в даному випадку діаметра), після чого програма перемалює фігури з новими розмірами. Згадайте, що виконання аналогічного перетворення в растровій картинці призведе до появи сходів

Засоби створення векторних зображень

Векторні зображення можна створити в декількох видах програм.

1.У програмах векторної графіки.

2.У програмах САПР, типовим прикладом яких є AutoCAD. Для обміну інформацією з іншими програмами найбільшого поширення набув її векторний формат – DXF (Drawing Exchange Format), який розуміється багатьма сучасними програмами (хоча найбільш повні можливості забезпечує її внутрішній формат DWG, який, на жаль, через закритість безпосередньо підтримується обмеженим колом програм ).

4

3.У спеціалізованих програмах конвертування растрових зображень у векторні. Одна з таких програм – Power Trace, що входить до складу графічних пакетів Corel Graphics Suite Х5, Х4, Х3 (у більш ранніх версіях пакета CorelDRAW Graphics Suite вона називалася CorelTrace). Інша відома програма цього класу – Adobe Streamline.

4.До векторних об’єктів відносяться також текст і PostScript-контури на зразок тих, які можна знайти також у файлах, що створені за допомогою текстових процесорів типу MS Word або програм верстки, наприклад PageMaker або InDesign.

На платформі Windows з програм векторної графіки найбільш поширений редактор CorelDRAW – потужний, зручний, але в той же час вимогливий до ресурсів. З інших програм цього класу слід відзначити Adobe Illustrator та Macromedia Freehand (з кінця 2005 р. Adobe Freehand). Серед компактних і універсальних програм векторної графіки можна виділити Xara і

їїостанню версію Xara Xtreme. За допомогою них можна створювати ілюстрації будь-якого рівня складності для веб-сайтів, поліграфії і повсякденних потреб будь-якого офісу.

Векторні редактори і програми САПР – найкращий засіб для створення шрифтових та високоточних графічних об’єктів, таких як конструкторські креслення. Для таких ілюстрацій принципове значення має збереження чітких, ясних контурів незалежно від розміру зображення. Як правило, у векторному редакторі створюється заготовка, потім вона масштабується до потрібного розміру і переводиться в необхідний нам формат зображення. Коли ви виводите на друк зображення, створене у векторній програмі (рис. 6.4), його якість залежить не від вихідної роздільної здатності зображення, а визначається роздільною здатністю пристроїв виводу (монітора, принтера, плоттера тощо). Саме завдяки тому, що якість векторного зображення не пов’язана з роздільною здатністю, файли векторних зображень мають, як правило, менший обсяг у порівнянні з файлами растрових редакторів.

Рис. 6.4. Збільшення масштабу (2) векторного зображення (1)

не призводить до погіршення його якості (на відміну від растрового зображення)

На рис. 6.5. приведений ще приклад, що демонструє можливості векторної графіки. Проілюструємо різницю у механізмах роботи растрових і векторних редакторів на прикладі опису одного і того ж відрізка прямої.

1.В векторному форматі задаються координати початку і кінця прямої, колір і товщина лінії. Для збереження такої інформації на диску буде потрібно всього декілька байтів пам’яті.

2.У растровому форматі задаються координати і колір кожної точки (піксель), що входить в цей відрізок прямої. А оскільки кількість пікселів залежить від роздільної здатності, то обсяг інформації, необхідної для опису відрізка прямої (а значить, потрібний для її запам’ятовування обсяг пам’яті), визначатиметься встановленими дозволом.

З наведеного прикладу видно, що векторний формат, як правило, більш компактний. Разом з тим він абсолютно не придатний для зберігання відсканованих зображень, наприклад фотографій. А ось малюнки і креслення набагато зручніше та практичніше робити саме у векторному вигляді.

5

Рис. 6.5. Векторне зображення, яке можна було б створити, наприклад у Компас 3D

6.3. Структура векторного зображення. Математичні основи векторної графіки

Структура векторної ілюстрації

Структуру будь векторної ілюстрації можна представити у вигляді ієрархічного дерева. У такій схемі сама ілюстрація займає верхній рівень, а її складові частини – більш низькі рівні ієрархії. Для знайомства з основними елементами векторного зображення відкриємо в одному з векторних редакторів (наприклад, CorelDRAW) будь-яку векторну ілюстрацію і виділимо її складові частини, послідовно спускаючись з вершини дерева на його нижні гілки. У даному випадку для наочності нами була використана проста ілюстрація гілки сакури.

1.Верхній ієрархічний рівень займає сама ілюстрація, яка об’єднує у своєму складі об’єкти + вузли + лінії + заливки (рис. 6.6,1).

2.Наступний рівень ієрархії – об’єкти, що представляють собою різноманітні векторні форми (рис. 6.6,2). У більшості редакторів для їх відображення необхідно вибрати режим перегляду у вигляді каркаса. Наприклад, в CorelDRAW для переходу в цей режим перегляду слід вибрати команду View ► Wireframe (Вид ► Каркас).

3.Об’єкти ілюстрації складаються з одного або декількох контурів. На рис. 6.6,3 відображені основні сім об’єктів даної ілюстрації. Два з них – квітки – є об’єкти, що складаються з декількох контурів: оболонка квітки (замкнутий контур) і тичинки квітки (з чотирьох лінійних відрізків є відкритими контурами). Зазвичай усі об’єкти в ілюстрації згруповані, тому для отримання доступу до редагування окремих об’єктів ілюстрації їх потрібно спочатку розгрупувати.

Контуром називається будь геометрична фігура, яка створена за допомогою інструментів векторної програми і представляє собою обриси того чи іншого графічного об’єкта.

Типовими прикладами контурів можуть служити коло, прямокутник або інші графічні елементи складного зображення (у тому числі і сегмент кривої лінії), як, наприклад, фрагменти гілки квітучої сакури на рис. 6.6,3.

Замкнутий контур – це замкнута крива, в якої початкова та кінцева точки збігаються. Прикладом замкнутого контуру є коло. У локалізованих версіях векторних редакторів замкнутий контур називають формою або фігурою.

6

Відкритий контур має чітко позначені кінцеві точки. Синусоїдальна лінія, наприклад, є відкритим контуром.

1

2

3

 

сегменти

 

вузли

4

5

6

Рис. 6.6. Анатомія векторного малюнка: 1 – вихідне векторне зображення (об’єкти + вузли + лінії + заливки), 2 – малюнок як сукупність контурів (набір кривих Безьє), 3 – розгрупувати малюнок у вигляді набору окремих контурів (об’єктів), 4 – представлення деяких контурів малюнка у вигляді сегментів, які складаються з вузлів та відрізків кривих, 5 – модифікація форми контуру шляхом редагування положення вузлових точок і керуючих точок за допомогою інструменту Shape (Форма); 6 – одноколірна заливка зміненої оболонки (контуру) квітки

4.Наступний рівень ієрархії складають сегменти, які виконують функції цеглинок, які використовуються для побудови контурів (кожен контур може складатися з одного або декількох сегментів – рис. 6.6,4). Початок і кінець кожного сегмента називають вузлами, або опорними точками, оскільки вони фіксують положення сегмента, "прив’язуючи" його до певної позиції в контурі.

Переміщення вузлових точок призводить до модифікації сегментів контуру і до зміни його форми (рис. 6.6,5). Поряд з вузлами до складу сегмента входять також з’єднуючі вузли лінії (прямі або криві). У програмі CorelDRAW для відображення утворюють контур вузлів його необхідно виділити за допомогою інструменту Фигура (рис. 6.6,4). Закриті контури (форми) мають властивість заповнення кольором, текстурою або растровим зображенням (картою). На рис. 6.6,6 наведено приклад одноколірної заливки замкнутого контуру.

Заливка – це колір чи візерунок, виведений в замкнутій області, обмеженої кривої.

5.На самому нижньому рівні ієрархії розташовані вузли та відрізки ліній, що з’єднують між собою сусідні вузли. Лінії поряд з вузлами виконують функції основних елементів векторного зображення. Існує кілька типів ліній і різновидів вузлів. Їх назви та функціональне призначення будуть розглянуті нижче. Найпростіша незамкнута лінія має дві вершини, що називають вузлами (або кінцевими точками). У двомірній графіці вузол (точка) задається двома

7

числами (х, у).

У широкому сенсі будь-який з перелічених тут елементів ілюстрації, починаючи від самої ілюстрації і закінчуючи вузлами та лініями, можна трактувати як об’єкт. Тому в подальшому викладі ми іноді будемо використовувати термін "об’єкт", розуміючи при цьому елемента векторного малюнка.

Математичні основи векторної графіки

Якщо основним елементом растрової графіки є піксель (крапка), то у векторній графіці в ролі базового елементу виступає лінія. Це пов’язано з тим, що будь-який об’єкт в ній складається з набору ліній, з’єднаних між собою вузлами. Як вже зазначалося вище розділі, окрема лінія, що з’єднує сусідні вузли, називається сегментом (в геометрії їй відповідає відрізок). Сегмент може бути заданий за допомогою рівняння прямої або рівняння кривої лінії, що вимагають для свого опису різної кількості параметрів. Для більш повного розуміння механізму формування векторних об’єктів розглянемо способи представлення основних елементів векторної графіки: точки, прямої лінії, відрізка прямої, кривої другого порядку, кривий третього порядку, кривих Безьє. У векторній графіці точці відповідає вузол. На площині цей об’єкт представляється двома числами (X, Y), які задають його положення відносно початку координат.

Для опису прямої лінії використовується рівняння Y = аХ + b. Тому для побудови даного об’єкта потрібно завдання всього двох параметрів: а та b. Результатом буде побудова нескінченної прямої в декартових координатах.

На відміну від прямої відрізок прямої вимагає для свого опису двох додаткових параметрів, що відповідають початку і кінця відрізка (наприклад, X1 і Х2).

До класу кривих другого порядку відносяться параболи, гіперболи, еліпси та кола, тобто всі лінії, рівняння яких містять змінні в ступені не вище другого. У векторній графіці ці криві використовуються для побудови базових форм (примітивів) у вигляді еліпсів і кіл. Криві другого порядку не мають точок перегину. Використовуване для опису цих кривих класичне

рівняння вимагає для свого завдання п’яти параметрів:

х2 + a1y2 + а2xy + a3x + a4y + a5 = 0.

Для побудови відрізка кривої потрібно задати два додаткові параметри. На відміну від кривих другого порядку, криві третього порядку можуть мати точку перегину. Наприклад, графік функції Y = X3 (рис. 6.7) включає точку перегину на початку координат (0,0).

Рис. 6.7. Подання кривої лінії за допомогою кривих третього порядку: зліва класичний варіант; праворуч – крива Безье

Саме ця особливість даного класу функції дозволяє використовувати їх в якості основних кривих для моделювання різних природних об’єктів у векторній графіці. Слід зазначити, що згадані раніше прямі і криві другого порядку є окремим випадком кривих третього порядку.

8

Класичне рівняння, що використовується для опису рівняння третього порядку, вимагає

для свого завдання дев’яти параметрів:

х3 + а1у3 + а2x2у + а3ху2 + а4х2 + а5у2 + а6ху + а7х + a8y + a9 = 0.

Для опису відрізка кривої третього порядку потрібно на два параметри більше.

Криві Безье – це окремий вид кривих третього порядку, що вимагає для свого опису меншої кількості параметрів – восьми замість одинадцяти. В основі побудови кривих Безьє лежить використання двох дотичних, проведених до крайніх точок відрізка лінії (рис. 6.7, праворуч). На кривизну (форму) лінії впливає кут нахилу і довжина відрізка дотичної, значеннями яких можна управляти в інтерактивному режимі шляхом перетягування їх кінцевих точок. Таким чином, дотичні виконують функції віртуальних важелів, що дозволяють управляти формою кривої. Більш докладно ми зупинимось нижче.

6.4. Обʼєкти векторної графіки

Елементи (об’єкти) векторної графіки

Тепер більш докладно познайомимося з основними елементами векторного малюнка, розглянутими нами раніше в підрозділі "Структура векторної ілюстрації".

Лінії

Як уже зазначалося, в основі векторної графіки лежить використання математичних знань про властивості контурів, основу яких становить елементарний об’єкт векторної графіки

– лінія. З її допомогою можна легко побудувати будь-який більш складний об’єкт. Наприклад, об’єкт чотирикутник можна створити за допомогою чотирьох ліній, а куб – за допомогою 12 ліній або 6 чотирикутників. Таким чином, ілюстрація складається з простих об’єктів, як з кубиків.

Завдяки цьому процес малювання у векторних редакторах фактично зводиться до створення контурів (об’єктів) потрібної форми і надання їм певних заливок та контурів. Цей принцип лежить в основі всіх програм векторної графіки. Розрізняються лише прийоми роботи та деякі спеціальні ефекти.

У той же час побудова лінії поряд з використанням для її опису математичного апарату передбачає завдання ряду додаткових атрибутів, що визначають її основні властивості: форму, товщину, колір, стиль (суцільна, пунктирна тощо). Кількість перерахованих атрибутів залежить від виду лінії. Відкриті лінії, наприклад, на відміну від замкнутих, не мають атрибута заливки (рис. 6.8,1). Замкнуті контури крім контура можуть мати певну задану користувачем заливку

(рис. 6.8,2).

За замовчуванням контури об’єктів звичайно (наприклад, в CorelDRAW) не мають товщини. Щоб контур було видно на екрані, йому надають контур (абрис) певної товщини, стилю (наприклад, суцільна або пунктирна) та кольору. У більшості редакторів вибір перерахованих атрибутів лінії виконується шляхом використання спеціальних бібліотек, доступ до яких реалізується за допомогою відповідних вікон діалогу.

1

2

Рис. 6.8. Ілюстрація властивостей векторного об’єкта Лінія: 1 – прямолінійний незамкнутий контур (лінія) і з додаванням обведення (праворуч) товщиною 1 мм,

2 – замкнута лінія у вигляді еліпса без заливки (ліворуч) і з заливкою (праворуч)

9

Криві Безье

На початку 70-х рр. професор П’єр Безьє, проектуючи на комп’ютері корпус автомобілів "Рено", вперше застосував для цієї мети особливий вид кривих, що описуються рівнянням третього порядку, які згодом стали відомі під назвою криві Безьє.

Оскільки ці лінії мають особливе значення як для векторної, так і для растрової графіки, має сенс розглянути їх більш детально. В даний час криві Безьє присутні в будь-якому сучасному графічному пакеті. Досить сказати, що всі комп’ютерні шрифти складаються з кривих Безьє. Вони також знаходять широке застосування і в растровій графіці. Так, у програмі Photoshop використовується термін контур (path), що базується на кривих Безьє. Саме за допомогою цього інструменту можна виділити на відсканованій фотографії потрібний об’єкт (наприклад, для його вирізання), який буде використаний при створенні фотомонтажу. Навчившись працювати з ними в одній програмі, ви легко зможете працювати з безліччю інших

– повторимося, принцип скрізь однаковий. Відрізками такої кривої можна апроксимувати контур будь-якої складності. У цьому випадку він буде складатися з набору кривих Безьє. У місцях з’єднання сформована з відрізків кривої Безьє лінія може мати злами. Однак за допомогою функції згладжування (smooth) управляючі точки сусідніх відрізків легко шикуються в одну лінію, після чого злам зникає. Гнучкість у побудові і редагуванні кривих Безьє багато в чому визначається характеристиками вузлових і керуючих точок.

Поява кривих Безьє викликало справжній переворот у відео і тривимірній графіці. Це пов’язано з тим, що до появи формул Безьє контури комп’ютерних персонажів були ламаними, поверхні – гранованими, а рух – переривчастим, стрибкоподібним, неприродним. Використання кривих Безьє дозволило реалізувати найбільш загальний та інтуїтивно зрозумілий спосіб управління рухом. Параметрами кривої можна поставити у відповідність параметри руху комп’ютерного персонажа. В результаті рух відбуватиметься за тим само розглянутим нами правилам. Таким чином, знаменита крива використовується не тільки в двомірної комп’ютерної графіки, але і в тривимірній графіці, відео та анімації.

Вузли (опорні точки)

Поряд з лінією (line) іншим основним елементом векторної графіки є вузол (опорна точка). Як вже зазначалося, лінії й вузли служать для побудови контурів, які можна представити у вигляді прямої, кривої або форми. Кожен контур має кілька вузлів.

У векторних редакторах (як, втім, і в растрових) форму контуру змінюють шляхом маніпуляції вузлами. Це можна зробити одним з таких способів:

переміщенням вузлів;

зміною властивостей вузлів (в тому числі атрибутів пов’язаних з ними дотичних ліній та точок, рис. 6.9);

додаванням або видаленням вузлів.

Таким чином, в основі всіх процедур, що пов’язані з редагуванням (створенням) будьякого типу контурів, лежить робота з вузлами. Тому перш, ніж приступити до вивчення процедур редагування, познайомимося з типами вузлових точок.

Дотичні лінії та керуючі точки

При виділенні вузловий точки криволінійного сегмента у неї з’являються одна або дві управляючі точки, що з’єднані з вузловою точкою дотичними лініями. Керуючі точки зображуються чорними зафарбованими точками. Розташування дотичних ліній і керуючих точок визначає довжину і форму (кривизну) криволінійного сегмента, а їх переміщення призводить до зміни форми контуру (див. рис. 6.9).

10

Рис. 6.9. Терміни, пов’язані з редагуванням вузлів на кривих Безьє

Типи вузлових точок

Дотична лінія завжди є дотичною до сегмента кривої в вузловій точці. Її нахил і довжина визначають нахил і радіус вигіну відповідного криволінійного сегмента. Переміщення вузлових точок і настройка дотичних ліній дозволяють змінювати форму криволінійних сегментів. В CorelDRAW вузлові і керуючі точки можна переміщати за допомогою інструменту Фигура. Для цього досить клацнути даним інструментом на відповідній вузлову або керуючу точку і перетягнути їх в потрібному напрямку. Вид дотичних ліній і відповідно методи управління кривизною сегмента в точці прив’язки визначаються типом вузлової точки. В CorelDRAW розрізняють три типи вузлових точок:

1.Симетричний вузол (symmetrical node).

2.Гладкий вузол (smooth node).

3.Гострий вузол (cusp node).

Симетричний вузол

У симетричного вузла обидва відрізка дотичні по обидві сторони точки прив’язки мають однакову довжину і лежать на одній прямій, яка показує напрям дотичної до контуру в цiй вузловій точці (рис. 6.10). Це означає, що кривизна сегментів з обох сторін точки прив’язки однакова (у даній точці не зазнають розриву перша і друга похідні кривої). Зміна положення керуючої точки призводить до відповідної зміни кута нахилу дотичної до кривої. Модифікація довжини дотичній лінії з одного боку точки прив’язки шляхом переміщення керуючої точки призводить до відповідної зміни і другої дотичної лінії, що трансформує радіус кривизни лінії в точці прив’язки.

Рис. 6.10. У симетричній вузловій точці довжина обох відрізків дотичних однакова, і вони лежать на одній прямій