Laboratornye / Механика_PDF / Лабораторна робота 08

Лабораторна робота № 8

ВИЗНАЧЕННЯ МОДУЛЯ ЗСУВУ МЕТОДОМ КОЛИВАНЬ

Мета роботи. Експериментально визначити модуль зсуву твердих тіл через вимірювання динамічних та кінематичних характеристик обертового та коливального рухів.

8.1. Теорія методу та опис приладів

Деформація зсуву відбувається під впливом сили F , дотичної до поверхні досліджуваного тіла (рис. 8.1). Унаслідок дії сили шари тіла зсуваються один відносно одного і кожна фізична пряма ab чи а1b1, перпендикулярна до поверхні, на яку діє сила, (рис. 8.2) повертається на деякий кут φ. При невеликих значеннях кута зсуву можемо вважати, що наближено

bb' d ,

де bb' — абсолютна величина зсуву верхнього шару відносно нижнього, тобто абсолютна деформація зсуву; d—товщина тіла.

Рис. 8.1.	Рис. 8.2.
Кут зсуву φ змінюється	прямо пропорційно прикладеній силі F і обернено

пропорційно площі поперечного перерізу S та залежить від природи даної речовини. Отже, закон Гука для цього випадку можна записати так:

	k	F
		S ,		(8.1)

де k — стала величина для даного тіла, що називається коефіцієнтом зсуву. Обернена

до неї величина N 1k характеризує пружні властивості даного тіла при зсуві й

називається модулем зсуву.

Вводячи в формулу (8.1) замість коефіцієнта зсуву k модуль зсуву N, дістаємо:

N1 FS

Звідси визначаємо модуль зсуву

N 1 F

S

. (8.2.)

. (8.3)

Аналізуючи співвідношення (8.2), бачимо, що, чим менший кут φ, тим більше значення модуля зсуву N. Прийнявши що S = 1 і φ = 1 (1 радіан), одержимо N = F ,

тобто модуль зсуву за своїм чисельним значенням дорівнює силі, яка будучи

прикладена до одиниці площі тіла, дає кут зсуву в 1 радіан.

Для більшості однорідних ізотропних тіл модуль зсуву N зв'язаний з модулем Юнга Е та коефіцієнтом Пуассона σ співвідношенням

N 2(1E ) .

Коефіцієнтом Пуассона σ називається відношення коефіцієнта відносного зменшення поперечного перерізу до коефіцієнта відносного видовження:

S : S .

l : l

За чисельним значенням N ≈ 0,4Е.

У техніці модуль зсуву визначають у тих же самих одиницях, що і модуль Юнга, тобто в кГ/мм2.

Розглянемо деформацію кручення, яка зводиться до деформації зсуву. Вона виникає тоді, коли один кінець тіла, наприклад циліндра, закріпити нерухомо, а

на інший діяти парою сил (рис 8.3). Під дією пари сил

F вільний кінець тіла повертається на деякий кут ψ. При цьому виникає кут зсуву φ нижніх шарів поперечного перерізу тіла відносно нерухомого верхнього шару. Кут ψ називають кутом кручення. У межах пружної деформації момент кручення М прямо

пропорційний куту кручення ψ , тобто

M D

де D— стала величина для даного тіла, яка називається

модулем кручення.

Модуль кручення D зв'язаний з модулем зсуву таким співвідношенням:

	D R 4	N кг мм	,	Рис. 8.3.
	2L			(8.4)
де N— модуль зсуву; R — радіус циліндра; L — довжина циліндра.
		Розглянемо систему (рис. 8.4), яка складається з довгої
	металевої дротини, довжиною L, радіусом R. Один її кінець
	закріплено нерухомо, а до іншого прикріплений рівноплечий
	стержень В. На стержень насаджені тягарці m так, що їх
	можна переміщувати вздовж нього. Така система називається
	крутильним маятником. Якщо горизонтальний стержень
	повернути на певний кут і відпустити, то будемо спостерігати
	коливання, що відбуваються завдяки пружним силам
	закрученої дротини. Як показує дослід, період коливання
	закрученого тіла не залежить від кута закручування, тобто цей
	процес відбувається ізохронно. Подібність коливань
	закручених тіл до коливань маятника дає змогу застосувати
	формулу періоду коливань маятника і до закручених тіл.
Рис. 8.4.	Треба	тільки		пам'ятати, що коливання маятника

спричиняються силою земного тяжіння, а коливання закрученого тіла — пружними силами закрученої дротини. Враховуючи вищесказане, внаслідок дії пружних сил система виконуватиме крутильні коливання з періодом:

	T 2	I
		D ,	(8.5)

де I — момент інерції системи, D — модуль кручення. Підставивши (8.4) у (8.5) дістанемо

T		2				2 IL
		R4				N
звідки матимемо формулу для визначення модуля зсуву:
	N			8 IL
										(8.6)
				T 2 R4

Отже, для визначення модуля зсуву N матеріалу, з якого виготовлена дротина, за методом крутильних коливань треба знайти довжину дроту L, його радіус R, момент інерції системи I та період коливання Т закрученого тіла, що знаходиться на кінці дротини.

Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції відносно осі обертання: горизонтального стержня, дротини та тягарців:

I I0 2md 2 ,

(8.7)

де I0 — момент інерції горизонтального стержня і дротини відносно осі обертання; 2md2 — момент інерції тягарців, розміщених на стержні симетрично, на віддалі d від осі обертання. Щоб уникнути труднощів при визначенні моменту інерції горизонтального стержня і дротини, для обчислення модуля зсуву застосовано метод порівняння крутильних коливань двох систем, в яких є сталий момент інерції горизонтального стержня та дротини, і змінний, коли тягарці розміщені спочатку на віддалі d1, а потім — на віддалі d2 (рис. 8.5).

У першому випадку період коливання даної системи:

T1 2		I	0	2md 2
				1	.(8.7)
				D
Період коливання системи, коли тягарці
розміщені на віддалі d2 дорівнює:						Рис. 8.5.

T2 2		I	0	2md 2
				2	.		(8 8)
				D
З рівнянь (8.7) і (8.8) маємо:
D(T22 T12 ) 8 m(d22 d12 ) .							(8.9)
Підставляючи з формули (8.4) величину D у рівняння (8.9) дістанемо робочу
формулу для визначення модуля зсуву:

N	16 Lm(d 2		d 2 )
		2	1	.	(8.10)
	R4 (T 2	T 2 )
	2		1

Література

1.Гершензон Е.М., Малов Н.М. Курс общей физики. Механика. — М.: Просвещение, 1987. — С. 171 - 178.

2.Архангельский М.М. Курс общей физики. Механика. — М.: Просвещение,

1975. — С. 224 - 234.

3.Фізичний практикум / Під ред. В.П. Дущенка. — К.: Вища школа, 1981. —

Ч.І. —С. 109 - 116.

8.2. Практичне виконання роботи

Прилади, обладнання

1. Крутильний маятник. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт. 2. Мікрометр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт. 3. Секундомір . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт. 4. Масштабна лінійка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт. 5. Терези для зважування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт.

6. Набір гир . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 компл.

Завдання для виконання роботи

Визначити модуль зсуву дротини, вказаної керівником занять.

Вимірювання та обробка результатів

1.Визначити масу тягарців за допомогою терезів.

2.Виміряти лінійкою довжину дротини L.

3.Закріпити тягарці симетрично, на віддалі d1 по обидва боки від осі крутильних коливань. Повернути систему навколо осі на кут 10 - 15 градусів і відпустити, щоб вона вільно коливалась.

4.Секундоміром визначити час 10 - 15 повних коливань і обчислити період

коливань T nt , де t — час, протягом якого маятник зробив n коливань. Дослід повторити 3 рази. Обчислити середнє значення періоду коливань T.

5.Закріпити тягарці на віддалі d2 від осі крутильних коливань. Визначити

період коливання Т2 як у пункти 3 та 4.

6.Змінити віддалі між тягарцями і знову визначити періоди коливань (повторити пункти 3, 4, 5 декілька разів).

7.Мікрометром визначити діаметр дротини в 5 - 6 місцях. Обчислити

середнє значення радіуса дротини R.

8.За формулою (8.10) обчислити модуль зсуву в системі СІ.

9.Підрахувати абсолютну та відносну похибки. Дані вимірювань та обчислень записати в таблицю, складену самостійно.

8.3. Тестові завдання та контрольні запитання для визначення ступеня готовності до виконання роботи та її захисту

1.Що таке модуль зсуву, модуль кручення?

2.Який зв'язок між модулем зсуву і модулем кручення?

3.Що називається коефіцієнтом Пуассона?

4.Як формулюється теорема Штейнера?

5.Записати закон Гука для деформації зсуву.

6.Записати закон Гука для деформації кручення.

7.Проаналізувати деформацію зсуву.

8.Проаналізувати деформацію кручення.

9.Чи впливає момент інерції дротини на величину модуля зсуву цього

дроту?

10.Вивести робочу формулу.

11.Які виміри вносять найбільшу похибку?

12.Які є у Вас пропозиції щодо вимірювання модуля зсуву.