Laboratornye / Механика_PDF / Лабораторна робота 04

Лабораторна робота № 4

ВИВЧЕННЯ КОЛИВАНЬ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Мета роботи. Експериментально перевірити закони коливань пружинного маятника, визначити його характеристики.

4.1. Теорія методу та опис приладів

Пружинний маятник являє собою пружину, один кінець якої закріплений, а до другого підвішений вантаж (рис. 4.1). Після відхилення вантажу від положення рівноваги він буде здійснювати вертикальні гармонічні коливання. Якщо з боку деформованої пружини на вантаж діє сила, направлена до положення рівноваги і пропорційна величині зміщення, тобто:

F kx,

(4.1)

то в цьому випадку рівняння руху вантажу масою m буде

мати вигляд:

m

d 2 x

kx ,

(4.2)

2

dt

де k — коефіцієнт жорсткості пружини. Рівняння (4.2)

можна записати так:

d 2 x

k

m 0 або

d 2 x

02 x 0 .

(4.3)

2

2

dt

x

dt

Розв'язком рівняння (4.3) буде:

x Acos( 0t 0 ) ,

(4.4)

Рис. 4.1.

де х — зміщення вантажу від положення рівноваги; А — амплітуда; ω0— власна циклічна частота; φ0— початкова фаза.

Власна циклічна частота визначається співвідношенням:

			0		k
					m .					(4.5)
	Якщо коливання пружинного маятника відбуваються за наявності сил опору
F	r	dx
			, де r — коефіцієнт		опору, то				вони	будуть затухаючими і
		dt
описуватимуться рівнянням:
			x A e t	cos( t			0	)	,	(4.6)
	0

де β —коефіцієнт затухання; А0 і φ0 — довільні постійні, ω —циклічна частота. Коефіцієнт затухання β визначається за формулою:

	r
	2m ,	(4.7)

а циклічна частота затухаючих коливань за формулою:

			k		r 2
	02 2						(4.8)
			m		4m	2

У відповідності з видом функції (4.6) рух пружинного маятника можна

А2 двох

розглядати як коливання з частотою ω і амплітудою, що змінюється за законом:

A(t) A e t	(4.9)
0 .

На рис. 4.2 подано графік цієї функції.

Рис. 4.2.

Період гармонічних коливань визначається як найменший інтервал часу Т, протягом якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують періодичний коливальний процес. Для затухаючих коливань амплітуда з часом зменшується, тому поняття періоду не має змісту. Тому зручно говорити про умовний період таких коливань, розуміючи під періодом проміжки часу, протягом якого зміщення перетворюється в нуль. У цьому випадку:

T		2								2
		2		2							r	2	(4.10)
									k
		0
									m		4m2

залишається постійним. Як виходить із рівняння (4.6) амплітуда затухаючих коливань змінюється за експоненціальним законом (4.9), тому відношення амплітуд А1 і послідовних коливань, що відстають одна від одної на інтервал часу t = Т,

	A		A e t	e t
	1		0
	A		A e (t T )
				.
	2		0

Тому при дослідженні затухаючих коливань уводиться величина:

A

ln A1 T , (4.11)

1

яка називається логарифмічним декрементом затухання. Логарифмічний декремент затухання характеризує швидкість затухання коливального руху системи за час рівний умовному періоду. Величина

		1
			(4.12)

є постійною часу коливальної системи і називається часом релаксації. Час релаксації показує час, протягом якого початкова амплітуда коливань А0 зменшується в e раз.

Література

1.Савельев И.В. Курс общей физики. — М.: Просвещение, 1982.

2.Гершензон Е.М., Малов Н.М. Курс общей физики. Механика. — М.:

Просвещение, 1987. —С. 184 - 190, 137 - 141.

3.Архангельский М.М. Курс общей физики. Механика. — М.: Просвещение,

1975. — С. 297 - 305, 327 - 331.

4.ЧепурД.В. Загальний фізичний практикум. — Львів: ЛДУ, 1963. — С. 155 -

158.

5.Фізичний практикум / Під ред. В.П.Дущенка. — К.: Вища школа, 1981. —

Ч.І. — С. 131 - 136.

4.2. Практичне виконання роботи

Прилади, обладнання

1. Пружинний маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт. 2. Терези . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт. 3. Секундомір . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт.

4. Тягарці . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 компл. 5. Металевий стакан з водою, підставка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 шт.

Завдання для виконання роботи

1.Визначити власну циклічну частоту і період власних коливань пружинного маятника двома способами. Порівняти одержані результати.

2.Дослідити затухаючі коливання пружинного маятника у воді. Визначити

основні параметри: δ, β, r, ω, T. Порівняти експериментально знайдені значення циклічної частоти ω і умовного періоду T з розрахованими за формулами (4.8) і (4.10).

Вимірювання та обробка результатів

1.Закріпити пружину на штативі і відмітити положення її нижнього кінця l0 .

2.До пружини підвісити вантаж вагою Р1 і відмітити друге положення

нижнього кінця пружини l1.

3. За різницею рівнів нижнього кінця пружини визначити її видовження

xl1 l0 , яке відбулося під дією сили Р1.

4.Згідно формули (4.5)

0

k

k

P

m g

;

1

1

; тоді:

m

x

x

0

g

.

(4.13)

x

Період власних коливань визначити за формулою:

		T 2	x
				.	(4.14)
			g
5.	Вивести вантаж Р1	із положення рівноваги на 10...15 мм. Виміряти
секундоміром проміжок часу t1		протягом якого маятник здійснить 10 - 20 коливань.

Обчислити період коливань пружинного маятника за формулою

	T '		t1				(4.15)
			n
	і власну циклічну частоту ω'0:
	'			2
				T ' .			(4.15)
	0

Дослід проробити три рази, знайти середнє значення T'. Дані занести в таблицю 1, складену самостійно.

6.Знайти масу вантажу m (циліндра, прикріпленого до стержня із стрілкою).

Підвісити його до пружини і відмітити положення рівноваги (по стрілці) на шкалі (l0).

7.Вивести вантаж із положення рівноваги, розтягнувши пружину до відмітки

х0 = 21...22 см (по стрілці) й відпустити вантаж. Визначити кількість коливань n протягом яких амплітуда зменшиться на 1 см відносно початкової (хn =х0 - 1 см).

8.Визначити експериментальним шляхом період коливань T nt ,

вимірявши час 5 - 10 коливань.

9.За формулами (4.16), (4.11), (4.12) та (4.7) обчислити відповідно значення δ, β, τ, r, для затухаючих коливань маятника у повітрі. Результати занести до самостійно складеної таблиці 2.

10.Підставити під пружинний маятник металевий стакан з водою на

піднятому до максимальної висоти столику. Відмітити положення рівноваги l0 пружинного маятника з вантажем, зануреним у воду.

11.Розтягнути пружинний маятник, опустивши вантаж до дна стакана.

12.Відмітити положення стрілки при нульовій амплітуді A0 x0 l0 .

13.Виміряти час t трьох коливань пружинного маятника у воді та розрахувати

період затухаючих коливань T nt .

14. За формулами (4.16), (4.11), (4.12), (4.7) обчислити характеристики затухаючих коливань пружинного маятника у воді, відповідно δ, β, τ, r. Результати записати до таблиці 3, яка аналогічна таблиці 2.

	ln		A0
			An
		n		.		(4.16)

15. Порівняти параметри затухаючих коливань у повітрі та у воді і пояснити одержані результати.

4.3. Тестові завдання та контрольні запитання для визначення ступеня готовності студента до виконання роботи та її захисту

1.Що розуміють під коливним рухом (коливанням) у фізиці?

2.Які коливання називаються вільними (власними)?

3.Які коливання називаються гармонічними?

4.Дайте визначення основних характеристик коливань: амплітуди, частоти, періоду, фази, циклічної частоти.

5.Написати рівняння коливань пружинного маятника.

6.Як зміниться з часом амплітуда затухаючих коливань?

7.Дати визначення декремента затухання, логарифмічного декремента затухання, часу релаксації коливної системи. Розкрити фізичний зміст.

8.Як можна підрахувати похибки в цій роботі?