ТОЕ / 1.1

1. Пассивные элементы электрических цепей, основные уравнения.

Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов, предназначенных для распределения, взаимного преобразования и передачи электрической и других видов энергии и (или) информации. Свое назначение цепь выполняет при наличии в ней электрического тока.

Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи.

Различают активные и пассивные элементы цепи. К пассивным относят элементы, в которых рассеивается и (или) накапливается энергия (резисторы, индуктивные катушки, конденсаторы, трансформаторы).

Различают двухполюсные и многополюсные (трехполюсные, четырехполюсные и т. д.) элементы цепи. Двухполюсные элементы имеют два зажима; к ним относятся источники энергии (за исключением многофазных и управляемых источников), резисторы, конденсаторы, индуктивные катушки.

Основными двухполюсными пассивными элементами схемы являются резистивный (сопротивление или проводимость), индуктивный и ёмкостный элементы.

Резистивный элемент. Двухполюсный элемент, характеризуемый зависимостью и=и(i) или i(u), называют резистивным элементом — сопротивлением или проводимостью

Если зависимость u=u(i) представляет собой прямую линию, то сопротивление (проводимость) называют линейным. Линейное сопротивление описывается соотношением (закон Ома):

и=ri,

или

i=gu,

где r — сопротивление; g=1/r — проводимость,

Сопротивление r>0 — пассивный элемент. Энергия, поступающая в данный элемент,

.

Эта энергия преобразуется в тепловую энергию (необратимо рассеивается). При этом мощность p=i²r (закон Джоуля — Ленца).

Сопротивление r как элемент схемы соответствует элементу цепи — резистору, если последний идеализируется.

Резистор представляет собой, например, проводящий однородный цилиндр длиной l и поперечным сечением S (рис. 1.9). Проводящие свойства материала цилиндра характеризуют удельной проводимостью . Сопротивление и проводимость цилиндра равны, соответственно:

r=l/(S), g=S/l

Индуктивный элемент. Индуктивная катушка часто представляет собой кольцевой сердечник, на который равномерно нанесена обмотка с числом витков w (рис. 1.12); материал сердечника характеризуется магнитной проницаемостью . Ток i в обмотке создает магнитный поток Ф, замыкающийся в сердечнике (потоком вне сердечника можно пренебречь). Направления тока i и потока Ф связаны правилом правого винта.

Потокосцепление катушки =wФ, так как поток, сцепленный с каждым витком обмотки, в этом случае можно считать одинаковым. Магнитный поток

где — вектор магнитной индукции; S — сечение сердечника. В однородной линейной среде вектор

,

где — вектор напряженности магнитного поля; ₀=4л10^-7 Гн/м — магнитная постоянная.

По закону полного тока,

,

где l — замкнутый путь интегрирования.

Если внутренний и внешний диаметры сердечника превышают размеры поперечного сечения S, то поток Ф можно считать равномерно распределенным по сечению. В этом случае потокосцепление равно

где l определяется по среднему диаметру (по средней силовой линии).

Величина L=/i называется индуктивностью, она измеряется в генри (Гн). В нашем случае:

L=₀w²S/l

Напряжение на зажимах индуктивности равно:

Если индуктивность постоянна, то:

Ток в линейной индуктивности равен:

.

Как видно из формулы, напряжение u_l на зажимах индуктивности отлично от нуля только при iconst (const). Изменяющийся ток i создает изменяющийся магнитный поток. По закону электромагнитной индукции, изменение магнитного потока вызывает э. д. с. (называемую э. д. с. самоиндукции), противодействующую, согласно правилу Ленца, изменению потока:

или в случае линейной индуктивности

(положительные направления e_L и i совпадают).

Если потокосцепление (ток) возрастает, то e_L<0; если потокосцепление (ток) убывает, e_L>0. Напряжение на зажимах катушки (положительные направления u_L и i совпадают) u_L=‑e_L, так как оно должно уравновешивать э. д. с. e_L.

Линейная индуктивность при L=const>0 - пассивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент, равна:

,

при условии i(0)=0.

Индуктивный элемент не рассеивает энергию, а запасает в своем магнитном поле.

Емкостной элемент. Рассмотрим конденсатор, представляющий собой два проводящих параллельно расположенных электрода площадью S, разделенных диэлектрическим слоем толщиной d, свойства которого характеризуются диэлектрической проницаемостью  (рис. 1.15).

При напряжении u=₁-₂>0 между электродами на одном из них будет положительный заряд q₊=q, на другом — отрицательный заряд q_-=-q. Заряд

,

где — вектор электрического смещения, связанный в однородной линейной среде с вектором напряженности равенством

(₀=1/(4910⁹) Ф/м — электрическая постоянная).

Если поле в конденсаторе считают равномерным, то

Величина С=q/u_C называется емкостью. Емкость измеряется в фарадах (Ф). В нашем случае:

У линейного емкостного элемента заряд q пропорционален напряжению:

q=Cu_C

Ток через емкость

Если С=const, то

(1.9)

Напряжение на зажимах емкости

Обозначение линейной емкости приведено на рис. 1.14.

Как видно из равенства, ток через емкость отличен от нуля только при и_Сconst. Изменение напряжения на электродах вызывает изменение величины заряда каждого из них. Если напряжение возрастает, ток i>0, т. е. конденсатор заряжается; заряд q=q₊=-q_- увеличивается. Если напряжение убывает, ток i<0, т. е. конденсатор разряжается; заряд q=q₊=-q_- уменьшается.

Формула (1. 9) записана для совпадающих положительных направлений и_С и i (рис. 1.14 и 1.15); при этом знаки и_С и q₊=-q_- всегда одинаковы. Ток i между электродами конденсатора является током смещения.

Линейная емкость при С=const>0 представляет собой пассивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент,

[при и_С(0)=0].

В данном случае энергия запасается в электрическом поле, связанном с емкостью.

Процесс запасания энергии как в магнитном, так и в электрическом полях является обратимым. Запасенная энергия может быть отдана другим элементам цепи. Например, энергия заряженного конденсатора при разряде его на сопротивление рассеивается в этом сопротивлении; разряжающийся конденсатор можно рассматривать в указанном смысле как активный элемент — источник энергии.