2_kurs / Рудакова (Сигналы и Моделирование) / YP_MEP / УЧЕБНОЕ_ПОСОБИЕ / Раздел3_3

,

 падение скорости двигателя при изменении его нагрузки от идеального холостого хода до ;

.

Реакция двигателя по возмущению

. (3.21)

3.3. Математические модели асинхронного двигателя

Состояние многофазной машины переменного тока в стационарном и переходном режимах описывается потокосцеплениями обмоток статора _s и ротора _r, а также угловой скоростью ротора . Потокосцепления являются направленными величинами, вращающимися в плоскости, перпендикулярной оси двигателя. Если считать эту плоскость комплексной, то потокосцепления могут быть представлены векторами. Эти векторы непосредственно связаны с векторами токов статора и ротора:

; (3.22)

. (3.23)

где i_s, i_r'  ток статора и приведенный ток ротора,

L_s, L_r, L_m  индуктивности обмоток статора, ротора и намагничивания.

Каждый вектор тока и пропорциональный ему вектор потока равен геометрической сумме компонент, образуемых в отдельных фазах. Для трехфазной обмотки, оси которой смещены в пространстве на 120, результирующий вектор тока будет

. (3.24)

Токи в фазах можно определить из проекции вектора тока на соответствующие оси обмоток. Например, .

Изложенная методика применима непосредственно к линейным, симметричным машинам с синусоидальным распределением потока, питающимся от симметричной сети синусоидальными напряжениями и токами. Путем определенного расширения математического описания могут быть учтены такие факторы, как несимметрия поля, высшие гармоники, переменные параметры.

В координатной системе, вращающейся относительно оси обмотки (рис.3.8) с угловой скоростью _k, для каждой трехфазной обмотки справедливо уравнение

, (3.25)

где индексом k у символов векторов обозначена выбранная координатная система.

В часто применяемой координатной системе, вращающейся синхронно с частотой статора, можно записать следующее уравнение напряжений для статора двигателя:

, (3.26)

где R_s, _s  активное сопротивление обмоток статора и угловая частота поля статора; соответственно для ротора

, (3.27)

где , _r  приведенное активное сопротивление обмоток ротора и угловая частота тока ротора.

Мощность одной фазы двигателя

, (3.28)

где символ * означает комплексно-сопряженный вектор.

Момент двигателя соответственно будет

, (3.29)

где z_p  число пар полюсов машины,

k_s, k_r  коэффициенты электромагнитной связи статора () и ротора ().

Уравнения (3.22) – (3.29) полностью описывают поведение асинхронного двигателя. Потери на перемагничивание, а также на вихревые токи здесь не учтены. Для описания динамики с помощью структурной схемы все векторы разлагают на скалярные компоненты

.

На рис.3.9 приведена полная структурная схема с входными величинами u_s, u_s, M_c, _s и выходными i_s, i_s, , где М_с,   момент сопротивления и угловая частота двигателя. Она представляет асинхронную машину как сложную нелинейную систему с шестью мультипликаторами и несколькими интегральными звеньями.

Расчет установившихся и переходных процессов в АЭП обычно осуществляется с помощью метода Парка-Горева путем представления асинхронного двигателя (АД) системой нелинейных дифференциальных уравнений, преобразующих трехфазную систему в двухфазную.

При составлении математической модели используются следующие допущения: фазные обмотки симметричны, потери в стали и зубцовые явления отсутствуют, намагничивающая цепь линейна, намагничивающие силы каждой обмотки и магнитная индукция в воздушном зазоре распределены по окружности статора (ротора) синусоидально, параметры ротора приведены к цепи статора.

В

3.9. Полная структурная схема асинхронного двигателя,

управляемого напряжением

АД вследствие равномерности воздушного зазора магнитные сопротивления остаются постоянными при любых взаимных расположениях обмоток статора и ротора. Поэтому для описания АД можно использовать любую ортогональную систему координат, вращающуюся в пространстве с произвольной скоростью. Эти уравнения в векторной форме, записанные во вращающейся с произвольной частотой системе координат, имеют следующий вид:

(3.30)

где , , – результирующие векторы напряжения, тока и потокосцепления статора;

, – те же параметры для ротора;

, – результирующие вектора тока намагничивания и потокосцепления в воздушном зазоре;

L_s=L_s+L_m, L_r=L_r+L_m – полные индуктивности соответственно статора и ротора (L_s, L_r – соответственно индуктивности рассеяния статора и ротора, L_m – индуктивность контура намагничивания);

, _к – электрическая частота вращения ротора асинхронного двигателя (АД) и частота вращения системы координат;

Z_p – число пар полюсов;

М, М_с – электромагнитный момент двигателя и момент сопротивления нагрузки;

J – момент инерции двигателя;

– электромагнитная постоянная времени роторной цепи;

_i, _2i – соответственно частота вращения вектора и относительное скольжение ротора относительно .

Конфигурация структурной схемы асинхронного двигателя зависит от выбранного типа модели и системы координат. Рассмотрим формирование структурных схем двухфазных моделей со скоростью вращения координатной системы _k=0 и _k=_s.

Для составления структурной схемы в неподвижных осях используем систему уравнений (2.30) /10/, а также уравнение момента двигателя, записанное в проекциях на оси,

(3.31)

и уравнение движения

. (3.32)

В уравнении (3.31) множитель Z_p есть реальное число пар полюсов машины, так как двухфазная модель была получена из условия р_п=1. Кроме того, множитель 2/3 компенсирует увеличение момента в 1,5 раза из-за роста амплитуд переменных, полученных проецированием результирующих векторов на оси d и q. Тогда укрупненную структурную схему можно составить непосредственно на основании (2.30) /10/, (3.31) и (3.32), преобразовав уравнение движения по Лапласу (рис.3.10).

П олученная структурная схема (рис.3.10) содержит изображения переменных u, i, M,  (для краткости аргумент р опущен), причем оригиналы u, i являются произведением двух функций – времени и угловой частоты. Это является одним из неудобств неподвижной системы координат. По этой причине ее обычно используют для исследования режимов при =const или =0.

(3.33)

В уравнениях (3.33) T_s=L_s/R_s; T_r=L_r/R_r; T_ms=L_m/R_s; T_mr=L_m/R_r.

Для анализа переходных процессов при переменной скорости удобнее пользоваться моделями в синхронных осях. Тогда для описания электромагнитных процессов заменим в уравнениях (2.30) /10/ _k на _s и с учетом _s=_r запишем систему

(3.34)

В этой системе уравнений оригиналы электромагнитных переменных являются только функциями времени и представляют собой амплитуды соответствующих переменных. Однако структурная схема, полученная на основе решения уравнений (3.34), будет неудобна тем, что в ней за одну из переменных выбран ток ротора, непосредственно воздействовать на который не представляется возможным. В то же время с помощью регулятора ЭДС можно регулировать намагничивающий ток i_m или потокосцепление_m. Поэтому, учтя, что i_m=i_s+i_r, заменим в (3.34) переменную i_r на i_m. Кроме того, поскольку в выбранной системе координат пространственные векторы вращаются синхронно с осями, ориентируя ось d по вектору u_s, для двухфазной модели будем иметь u_sq(p)=0. Тогда после преобразования перепишем (3.34) относительно i_s и i_m:

(3.35)

где L_s, L_rs – индуктивности рассеяния фаз статора и ротора,

L_s=L_s–L_, L_rs=L_r–L_.

В этом случае для момента получим выражение

. (3.36)

Структурные схемы для модели в синхронных осях, составленные на основании (3.35), (3.36), приведены на рис.3.11. В обеих схемах входными воздействиями являются амплитуда (или действующее значение) напряжения u_s, синхронная угловая частота _s и угловая частота тока ротора _r, однако при независимом управлении частотой (рис.3.11,а) зависимой переменной является _r, а при зависимом управлении – синхронная угловая частота _s.

а)

б)

Изложенные варианты моделей не содержат в явном виде функциональных связей между полярными координатами вектора тока статора и момента, что затрудняет синтез управляющей части электропривода, которая строится на основе модели роторной цепи асинхронной машины (АМ).

Для получения соответствующей модели рассмотрим векторную диаграмму АМ в системе координат (0,1,2), вращающейся со скоростью вектора тока статора, причем ось 1 совмещена с вектором . Величина М однозначно определяется модулями векторов и и углом  между ними во всех режимах работы асинхронной машины

(3.37)

Структура роторной цепи будет иметь вид, изображенный на рис.3.12,а. Она построена на основе уравнений:

(3.38)

Анализ структуры АМ показывает, что роторная цепь представляет собой систему с параметрической обратной связью. Вход по модулю вектора тока статора является аддитивным, а по скольжению – параметрическим. Системы с параметрической обратной связью обладают свойствами нелинейных, адаптивных и самонастраивающихся систем. Возможности по совершенствованию динамических характеристик АМ при использовании методов нелинейной коррекции шире, чем линейной.

Дальнейшее упрощение модели связано с линеаризацией уравнений АМ. Рассмотрим приращение функции F=_2i_r в окрестности точки М₀(_2i0, _r0):

(3.39)

Структура линеаризированной модели АМ приведена на рис.3.12,б. Анализ моделей показывает, что характер переходных процессов зависит не только от , но и от .

Режим управления с = const используется чаще всего в так называемых частотно-токовых электроприводах. Структура роторной цепи преобразуется в обычное колебательное звено. Задавая различные величины скольжения, можно менять как эквивалентную постоянную времени звена T_v, коэффициент демпфирования ξ, так и коэффициент передачи k_v:

(3.40)

Зависимости и приведены на рис.3.13,а,б. Как следует из рисунка, при достигается максимальность коэффициента k_v. В соответствии со структурой электропривода как системы формирования и передачи сигнала М это означает, что при амплитуда передаваемого сигнала максимальна. При этом коэффициент демпфирования ξ равен , что соответствует настройке колебательного звена на "модульный" оптимум.

С целью анализа разработанной модели произведено моделирование уравнений (3.38) в МАТLАВ. На рис.3.14 и рис.3.15 приведены машинная модель АМ при = const и переходные характеристики по М при скачке задания по .

а)

б)

Рис.3.12. Модель АМ как объекта с параметрической связью (а), вариант линеаризованной модели (б)

Рис.3.13. Зависимости коэффициента передачи k_ (а) и коэффициента демпфирования  (б) от частоты скольжения

Рис.3.14. Структура роторной цепи асинхронной машины

_2i=1/2T_r

_2i=2/T_r

_2i=1/T_r

M, Нм

Р

t, с

ис.3.15. Переходные характеристики в асинхронной машине

по моменту при _2i=const

Регулирование момента связано с изменением потокосцепления ротора и достигается за счет взаимосвязанного регулирования амплитуды и фазы вектора тока статора:

(3.41)

где

Анализ полученных в (3.41) выражений показывает, что для управления М в динамике необходимо формировать токи статора не только в функции угла поворота ротора и заданного момента, но и в функции других переменных состояния, причем вид сигналов управления определяется принятым законом частотного управления /10/.

63