Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
28
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
2.82 Mб
Скачать

1.4. Формы представления математических моделей

Процесс проектирования, как известно, представляет собой многократный поиск оптимальной структуры и параметров разрабатываемого объекта. Поэтому небезразлично, какие формы представления математической модели приняты в условиях автоматизированного проектирования, предполагающем постоянное и эффективное применение ЭВМ.

Построение моделей, основанных на системах линейных дифференциальных уравнений, записанных в форме передаточных функций, позволяют проектировщику выявить все внутренние связи, определить возможные места включения компенсационных устройств. Данный способ представления объектов особенно часто применяют при частотных исследованиях систем регулирования, однако, несмотря на большую наглядность, им удобно пользоваться лишь при относительно невысоком порядке математической модели, так как не требуется значительных затрат времени проектировщика, ЭВМ, но не всегда обеспечивается необходимая точность решения задач анализа и синтеза автоматизированного электропривода.

Использование графов позволяет найти пути прохождения сигналов через элементы объекта, определить сильные и слабые связи и упростить структуры объектов за счет исключения слабых связей, что приводит к уменьшению порядка уравнений, описывающих динамику автоматизированного электропривода, и, таким образом, к сокращению объема проводимых вычислительных работ.

Эффективность еще более повышается с применением метода переменных состояния, где используются уравнения первого порядка. Для решения на ЭВМ систему этих уравнений записывают в векторно-матричной форме, что дает возможность представить модель в компактной и унифицированной форме для широкого класса объектов. К ним относятся непрерывные, дискретные и дискретно-непрерывные стационарные и нестационарные системы линейного типа, а также некоторые нелинейные системы. В системах такого рода с помощью методов теории пространства состояний и спектрального разложения матриц удается получить ее дискретную модель в форме, удобной для реализации на ЭВМ. Главное преимущество матричной формы записи заключается в том, что, составляя матрицы по определенным правилам, можно трансформировать в матричную форму не только запись переменных, но и операции над ними.

Математическое обеспечение современных ЭВМ программами, ориентированными на унифицированное матричное представление задач анализа и синтеза многомерных систем, дает возможность для этих целей использовать современную вычислительную технику /2/. В пользу рассматриваемой формы представления свидетельствует и то, что матрицы позволяют получить структурные схемы или графы. Впрочем, можно сделать и обратное преобразование. Рассмотрим в связи с этим несколько подробнее метод переменных состояния. Под переменными состояния понимается минимальный набор физических параметров, которые позволяют полностью описать поведение системы, если известны их начальные и внешние воздействия /4/. Динамика подобных систем описывается системой уравнений первого порядка относительно переменных состояния. При такой форме записи эти переменные аналогичны обобщенным координатам, а пространство их изменения является фазовым. Состояние элемента в любой текущий момент времени характеризуется совокупностью фазовых координат, которые можно объединить в вектор состояния и представить их описание в векторной форме (математической моделью) /5/.

1.4.1. Метод переменных состояния

Обычно при описании элементов непрерывного действия с использованием переменных состояния Y(t) и связанных с ними выходных X(t) и входных U(t) переменных применяют следующие уравнения:

, (1.7)

где

.

Уравнения (1.7) справедливы на интервале времени () при заданных начальных условиях. Остановимся на случае, когда уравнения, составляющие систему (1.7) – линейные и стационарные, поэтому входящие в уравнения коэффициенты не зависят от времени. В векторно-матричной форме эти уравнения описывают свойства динамического элемента системы:

(1.8)

где  системная матрица размерностью ();  матрица управления (входная матрица) размерностью ();  выходная матрица размерностью ();  матрица сквозной передачи управления размерностью (); X  вектор выходных переменных размерностью (); Y  вектор переменных состояния размерностью (); U  вектор управления размерностью ();  количество переменных состояния, характеризует порядок многомерности системы;  количество входов управления; r  количество выходов. Структурная схема линейных многомерных систем автоматического регулирования (САР) приведена на рис.1.8.

Рис.1.8. Структурная схема линейных многомерных САР

Если элемент имеет один вход и один выход, уравнения состояния записываются в виде:

(1.9)

г де b  входной вектор; cт  выходной вектор, транспонированный по отношению к вектору c; d  коэффициент сквозной передачи управления. Структурная схема линейных одномерных САР представлена на рис.1.9. Уравнения (1.8) и (1.9) являются уравнениями состояния элемента или целой системы автоматического регулирования и применяются при математическом моделировании динамических элементов, результатом которого являются соответствующие переходные процессы.

Применение векторно-матричной формы представления элементов автоматизированного электропривода покажем на некоторых примерах.

П ример 1. Для корректирующего устройства (рис.1.10) составим уравнения переменных состояния. В качестве переменной состояния можно взять напряжение на конденсаторе .

Напряжение на конденсаторе определяется по формуле

;

. (1.10)

Ток, протекающий через конденсатор, равен

. (1.11)

Представив его значение в уравнение (1.10), получим выражение

. (1.12)

Тогда напряжение на выходе определяется уравнением

. (1.13)

В векторно-матричной форме уравнения (1.12) и (1.13) записываются для элемента, имеющего один вход и выход, системой уравнений (1.9)

,

, (1.14)

где ; ;

; .

Системе уравнений (1.14) соответствует структурная схема корректирующего устройства, изображенная на рис.1.11, свернув которую и подставив значения A, b, , d , получим хорошо известную передаточную функцию /5/:

,

где ; .

Как видно из структурных схем (рис.1.8, 1.9, 1.11), коэффициент d и матрица D сквозной передачи управления появляются при наличии в системе параллельно включенных звеньев.

И з примера следует, что существует полное совпадение между описанием объекта как с помощью уравнений переменных состояния, так и передаточных функций.

Как уже указывалось выше, для удобства анализа систем автоматического регулирования на вычислительной технике следует представить эту систему в векторно-матричной форме. Но часто бывает, когда объект уже описан передаточной функцией. В таком случае нет необходимости описывать его заново через переменные состояния, можно просто преобразовать передаточную функцию в уравнения состояния. Пусть дана передаточная функция первого порядка вида

. (1.15)

Структурная схема, соответствующая ей, представлена на рис.1.12.

Рис.1.12. Общая структурная схема для звена первого порядка

Согласно приведенной структурной схеме (рис.1.12) запишем уравнения переменных состояния:

,

и определим значения коэффициентов согласно уравнениям (1.9)

; ; ; .

Для передаточной функции второго порядка, структурная схема которой изображена на рис.1.13, можно проделать те же процедуры

. (1.16)

Рис.1.13. Общая структурная схема для звена второго порядка

Согласно структурной схеме (рис.1.13) запишем уравнения состояния

,

,

. (1.17)

Тогда коэффициенты компактной формы записи (1.9) будут равны

; ; ; .

Аналогичные процедуры можно выполнить и для передаточных функций любого порядка. В общем случае для передаточной функции n-го порядка можно записать

. (1.18)

Системная матрица A для (1.18) будет представлять собой

. (1.19)

Входной вектор Выходной вектор Коэффициент сквозной

передачи управления

; ; . (1.20)

Следует заметить, что порядок системы определяется по степени полинома знаменателя и степень полинома числителя не должна превышать степень полинома знаменателя. Выражения (1.19, 1.20) позволяют представить любую передаточную функцию в векторно-матричной форме.

При составлении выражений (1.19, 1.20) по передаточным функциям и структурным схемам следует пользоваться следующими правилами /5/:

1) наддиагональные элементы системной матрицы А характеризуют передачу сигналов по прямой цепи связи;

2) диагональные – по цепи основных обратных связей;

3) поддиагональные элементы матрицы – по всем остальным цепям обратных связей;

4) элементы векторов b определяют воздействия на переменные состояния;

5) элементы строки указывают долю вклада сигналов состояния в сигнал выхода системы.

1.4.2. Взаимосвязь векторно-матричной формы описания объекта с его передаточной функцией

При исследовании динамических свойств систем автоматизированного электропривода (САЭП), как уже отмечалось, достаточно широко используются передаточные функции объектов, поэтому порой возникает необходимость перехода от векторно-матричной формы к описанию объекта в виде передаточной функции. Прежде всего, любую систему, описанную уравнениями состояния в обычной векторно-матричной форме (1.9), приводят к нормальной форме, в которой нормальные уравнения состояния записываются в виде

,

. (1.21)

В качестве примера рассмотрим систему уравнений состояния

(1.22)

которая в обычной векторно-матричной форме записывается

,

, (1.23)

где

; ; ,

 переменные состояния.

Системе уравнений (1.22) соответствует структурная схема, представленная на рис.1.14.

Используя матрицу преобразования в виде матрицы управляемости , можно определить в нормальной форме матрицу AH и векторы bH и cH путем линейных преобразований /5/:

; ; .

Рис.1.14. Структурная схема САР, описанной уравнениями (1.22)

Для рассматриваемой системы четвертого порядка

; ; ; .

Тогда система дифференциальных уравнений в нормальной форме:

Если согласно приведенной системе дифференциальных уравнений в нормальной форме построить структурную схему, а затем свернуть её, как это выполнено в /5/, то можно выявить, из каких элементов АН, bН, сН, dН формируются коэффициенты передаточной функции вида

,

где коэффициенты числителя равны:

(1.24)

и коэффициенты знаменателя:

, , , , . (1.25)

Выражения (1.24), (1.25) и положены в основу разработанной программы PERED /7/, позволяющей получать передаточные функции по уравнениям состояния, представленной в главе 7.

И подводя итоги по изложенному выше материалу о формах представления математических моделей, следует отметить, что построение моделей, основанных на системах линейных дифференциальных уравнений, записанных в форме передаточных функций, структурных схем, несмотря на большую наглядность способов представления, целесообразно при относительно невысоком порядке математических моделей. Чем выше порядок моделей, тем большие затраты времени проектировщика и ниже точность решения задач анализа и синтеза. В таком случае более приемлемой является матричная форма представления, являющаяся весьма перспективной при анализе и синтезе системы по динамическим показателям. К числу наиболее эффективных способов исследования динамики многомерных систем относятся векторно-матричные, основанные на методе переменных состояния.

В заключении следует отметить, что рассмотренные формы представления математических моделей положены в основу содержательного формализованного описания функциональных компонентов электроприводов, как объектов проектирования, в рамках инструментальных программных систем, реализующих функции моделирования либо автономно, либо в качестве соответствующих подсистем САПР.

29

Соседние файлы в папке УЧЕБНОЕ_ПОСОБИЕ