2_kurs / Рудакова (Сигналы и Моделирование) / YP_MEP / УЧЕБНОЕ_ПОСОБИЕ / Глава3

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ

Все электрические машины представляют собой электромеханический преобразователь для преобразования электрической энергии в механическую и обратно, хотя и могут конструктивно отличаться друг от друга. Все дело в том, что они подчиняются одним законам электромеханического преобразования энергии.

Сформулируем три таких закона:

1). Электромеханическое преобразование энергии не может осуществляться с КПД, равным 100 %.

2). Все электромеханические преобразователи (ЭМП) обратимы, то есть могут работать как в двигательном, так и в генераторном режимах.

Одним из следствий первого и второго законов является определение ЭМП как концентраторов энергии. В индуктивных электрических машинах электромагнитная энергия концентрируется в воздушном зазоре между статором и ротором. Например, в асинхронных двигателях мощность воздушного зазора составляет примерно 0,5 Вт на куб. мм.

3). Электромеханическое преобразование энергии осуществляется полями, неподвижными друг относительно друга.

Неподвижные друг относительно друга поля ротора и статора в воздушном зазоре машины создают результирующее поле и электромагнитный момент , где  электромагнитная мощность;  угловая скорость вращения электромагнитного поля.

Третий закон облегчает анализ процессов преобразования в ЭМП, на его основе производится запись уравнений электромеханического преобразования энергии.

3.1. Математическая модель электромеханического преобразователя энергии

Общие законы электромеханического преобразования энергии позволяют подходить к математическому описанию происходящих физических процессов с общих позиций электромеханики, например, рассматривая электромеханический преобразователь энергии (ЭМПЭ) в качестве электромеханического многополюсника, на вход которого поступают управляющие воздействия в виде напряжений по числу обмоток, а на выходе получают электромагнитный момент M, вращающий ротор со скоростью (рис.3.1). Представление электродвигателя в виде электромеханического преобразователя удобно тем, что дает возможность увязать в единое целое параметры механической части через M и  и электрическую систему управления через напряжения U₁, U₂, , U_n, изучая их совместное влияние на работу электропривода.

Из теории электрических машин известно, что :

1) для непрерывного преобразования энергии необходимо, чтобы при по всем или части обмоток машины протекали переменные токи, которые могут быть получены от источников переменного тока, а для двигателей постоянного тока (ДПТ)  за счет коллектора или вентильного коммутатора;

2) электромеханическая связь в электродвигателе проявляется в наличии результирующей электродвижущей силы (ЭДС), наведенной в обмотках машины, вследствие вращения ротора;

3) процесс преобразования энергии в электрической машине математически описывается совокупностью уравнений электрического равновесия обмоток машины и уравнением электромагнитного момента.

Опираясь на общие законы электромеханического преобразования энергии, американские электрики Д. Уайт и Г. Вудсон доказали, что процессы преобразования энергии в электрической машине с n симметричными обмотками на статоре и m симметричными на роторе аналогичны двухфазной электрической машине при следующих допущениях:

1) Магнитная система обладает бесконечно большой проницаемостью и не насыщается, то есть вся энергия сосредоточена в воздушном зазоре.

2) Изменение величины зазора, обусловленное наличием пазов на роторе и статоре, не учитывается.

3) Магнитодвижущая сила (МДС) представлена первой гармоникой ступенчатой реальной МДС.

С этими допущениями двухфазную машину они назвали обобщенной электрической машиной. Важнейшим преимуществом этой машины является более простое математическое описание преобразования электрической энергии в механическую, которое описывается четырьмя уравнениями электрического равновесия (по числу обмоток) и уравнением электромагнитного момента. Электрическая схема обобщенной машины приведена на рис.3.2.

На рис.3.2 индексы 1 относятся к обмоткам статора, 2  к обмоткам ротора. Оси координат 1, 1 неподвижны относительно обмоток статора, оси 2q, 2d неподвижны относительно обмоток ротора, но вращаются относительно неподвижных осей координат 1, 1.

Рис.3.2. Электрическая схема обобщенной электрической машины

Благодаря ортогональности осей координат , и 2q, 2d удалось избежать влияния взаимной индуктивности, что способствовало упрощению математического описания физических процессов в обобщенной электрической машине. Не вдаваясь в вывод уравнений электрического равновесия и электромагнитного момента, который достаточно полно изложен в работах Д. Уайта и Г. Вудсона /9/, В.И. Ключева /10/, И.П. Копылова /11/, в качестве примера приведем одно из уравнений электрического равновесия и уравнение электромагнитного момента:

,

.

К сожалению, полученные уравнения как электрического равновесия, так и уравнение электромагнитного момента являются нелинейными, поскольку в уравнениях имеются произведения параметров i_j, i_ii_j, периодические коэффициенты в связи с зависимостью взаимной индуктивности от координат углового перемещения . Указанные нелинейности существенно снижают практическую ценность полученных уравнений и сводят к минимуму преимущества обобщенной электрической машины. Со всей очевидностью встает вопрос о необходимости их упрощений. Авторы обобщенной машины успешно ответили на этот вопрос, предложив координатные преобразования уравнений обобщенной электрической машины. Введя дополнительные оси координат вращающиеся с заданной угловой скоростью , им удалось получить линейные уравнения электрического равновесия и освободиться от периодических коэффициентов в уравнении электромагнитного момента. Чтобы обеспечить переход от двухфазной к трехфазной машине, авторы использовали фазные преобразования переменных. Указанные выше преобразования позволяют получить из обобщенной электрической машины любую электрическую машину постоянного и переменного тока.

3.2. Математическая модель двигателя постоянного тока

В частности, применительно к двигателю постоянного тока с независимым возбуждением (ДПТ НВ) обобщенная электрическая машина после координатных преобразований принимает следующий вид (рис.3.3).

В реальном ДПТ НВ (рис.3.4) помимо обмоток якоря (ОЯ) и возбуждения (ОВ) имеются компенсационная обмотка (КО), закладываемая на главных полюсах, и обмотка дополнительных полюсов (ДП). Поскольку отмеченные обмотки играют вспомогательную роль, то при электромеханическом преобразовании энергии их не принимают во внимание, учитывая лишь активное сопротивление и индуктивности обмоток.

Обмотка дополнительных полюсов обеспечивает вблизи оси щеток магнитное поле такого направления и значения, при котором процессы коммутации протекают наиболее благоприятно. Компенсационная обмотка создает магнитодвижущую силу (МДС), существенно уменьшающую размагничивающее влияние якоря.

В крупных машинах достаточно заметным оказывается влияние вихревых токов, которые возникают в массивных частях магнитной системы двигателя при изменениях магнитного потока. МДС этих токов препятствует изменению потока полюсов, замедляя процесс его нарастания и спадания. Действие вихревых токов учитывается дополнительной короткозамкнутой обмоткой ОВТ, расположенной на главных полюсах (рис.3.5).

В машине постоянного тока обмотка возбуждения расположена на статоре и поле возбуждения неподвижно. В якоре создается вращающееся магнитное поле, скорость которого равна скорости ротора, а направление вращения поля противоположно вращению якоря за счет коллекторно-щеточного узла. Тем самым обеспечивается соблюдение третьего закона электромеханического преобразования энергии в этом двигателе.

После сделанных замечаний приступим к математическому описанию физических процессов, протекающих в двигателе. Для цепи якоря:

, (3.1)

где ,  активное сопротивление и индуктивность якорной цепи;

, где  соответственно активные сопротивления якорной, дополнительной и компенсационной обмоток, Ом;

, где  соответственно индуктивности якорной, дополнительной и компенсационной обмоток, Гн;

 конструктивный коэффициент, где  число пар полюсов,  число активных проводников,  число пар параллельных ветвей обмотки якоря,

  полезный магнитный поток одного полюса, Вб;

  скорость якоря двигателя, с^-1.

Электромагнитный момент двигателя , Нм.

Уравнение движения электропривода описывается уравнением 3.2.

, (3.2)

где  приведенный момент инерции двигателя и механизма, кгм²;

 момент статического сопротивления, для многомассовой системы он добавляется упругим моментом, Нм.

Для цепи возбуждения

, (3.3)

, (3.4)

, (3.5)

, (3.6)

где и  активное сопротивление и число витков обмотки возбуждения;

 то же для фиктивной короткозамкнутой обмотки;

 полезный магнитный поток одного полюса;

I_O – ток намагничивания;

W_Bi_Я  составляющая, учитывающая размагничивающее действие реакции якоря при отсутствии компенсирующей обмотки;

 скорость идеального холостого хода двигателя.

Обобщенную структурную схему ДПТ НВ целесообразно представить в более универсальном виде, что достигается применением относительных единиц. В табл.3.1 приведены рекомендуемые базовые величины /12/.

Таблица 3.1

Переменная величина	Ф	IB	UB	IBT	IЯ	М		E
Базовая величина	ФН	IBБ=f(ФН)			IЯН	kФНIЯН (МН)		(UH)

Базовое значение тока возбуждения I_BБ определяется по кривой намагничивания для номинального значения магнитного потока Ф_Н.

Общая математическая модель ДПТ НВ нелинейна (рис.3.6,а).

Нелинейность f₁ характеризует зависимость между током и потоком возбуждения. Кроме того, имеют место нелинейности типа перемножения переменных. Для электрических машин малой мощности при работе в зоне малых скоростей существенную роль играет момент трогания М_Т.

На структурной модели это выражено в виде нелинейности f₂, которую для указанной категории двигателей следует расположить после множительного элемента.

Влияние размагничивающего действия реакции якоря показано на рис.3.6,а пунктирной линией. Формулы для расчета параметров структурной схемы приведены в табл.3.2.

Р ис.3.6. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения

Таблица 3.2

Параметр	Обозначение	Формула
Нормированный коэффициент передачи якорной цепи	КЯ	ЕБАЗ/(RЯЦIЯН)
Электромагнитная постоянная времени якорной цепи	ТЯ	LЯЦ/RЯЦ
Механическая постоянная времени двигателя	ТМ1
Постоянная времени возбуждения
Базовая постоянная времени вихревых токов
Нормированный коэффициент передачи реакции якоря	КРЯ

Нормированный коэффициент передачи якорной цепи

.

Сравним К_Я с коэффициентом передачи двигателя К_Д

.

В табл.3.2 следует иметь в виду, что К₁=1+(0,5…0,7)(К₂1), где К₂  коэффициент рассеяния потока возбуждения, К₂=1,12…1,18; Т_ВТ=0,2Т_В – для шихтованных ДПТ; К_РЯ=0 для компенсированных ДПТ.

В структурной схеме ДПТ НВ целесообразно заменить узел, состоящий из звеньев 1/Т_Вр и Т_ВТр согласно рис.3.7, на один эквивалентный (рис.3.8), который после преобразования

,

представляет интегрирующее звено 1/Т₀ р, где Т₀=Т_В+Т_ВТ .

При однозонном регулировании скорости компенсированного ДПТ его математическая модель существенно упрощается (рис.3.6,в). В случае необходимости учета момента трогания модель дополняется нелинейностью f₂. Нелинейная зависимость f₂ определяет относительный результирующий момент двигателя как функцию момента двигателя и момента трогания :

В случае двухзонного регулирования приходится производить линеаризацию уравнений, описывающих цепь возбуждения двигателя, переходя к уравнениям в приращениях от начального режима при потоке Ф=Ф_НАЧ, поскольку индуктивность обмотки возбуждения L_В зависит от величины магнитного потока и связанного с этим состояния магнитной системы: находится она в насыщенном или ненасыщенном состоянии (рис.3.9). Рис.3.9. Кривая намагничивания и

индуктивность обмотки возбуждения

, (3.7)

где 2р  число полюсов машины; W_П – число витков на одном полюсе; Ф_П – магнитный поток, пронизывающий полюс, Вб; , где Ф – полезный поток полюса, проходящий через якорь;  коэффициент рассеяния, . Тогда индуктивность обмотки возбуждения после подстановки значения Ф_Прассчитывается по формуле

, (3.8)

где F – намагничивающая сила, ;

F=i_BW_П.

Если перейти к приращениям, то уравнение (3.8) примет следующий вид:

. (3.9)

Из (3.9) можно записать ,

где ,

 приращение магнитного потока,

 приращение намагничивающей силы,

 тангенс угла наклона касательной к характеристике намагничивания в относительных единицах в точке (рис.3.5).

Рис.3.10. Кривая намагничивания машины

В соответствии с этим нелинейный блок f₁, представляющий связь между приращениями тока возбуждения, потока и напряжения на обмотке возбуждения, можно записать в виде

Входящие в формулы (3.11, 3.12) постоянные времени с учетом для выражения (3.10) могут быть представлены в следующем виде:

; , то есть представляют собой постоянные времени возбуждения и вихревых токов, определенные при Ф=Ф_нач. Принимая это во внимание, из уравнений (3.11, 3.12) получим:

, (3.13)

. (3.14)

Постоянную времени Т_ВТ можно определить экспериментальным путем по осциллограмме приращения тока в обмотке возбуждения двигателя при подаче на нее ступенчатого приращения напряжения возбуждения .

Дальнейшие преобразования связаны с уравнениями электрического равновесия и движения электропривода.

Уравнение электрического равновесия

. (3.15)

Уравнение движения электропривода

; ;

, (3.16)

где J – суммарный момент инерции.

После линеаризации уравнений (3.15, 1.16) получим в относительных единицах:

уравнение электрического равновесия

, (3.17)

уравнение движения электропривода

, (3.18)

где Т_ЯЦ,Т_М – электромагнитная и электромеханические постоянные времени:

Т_ЯЦ=L_ЯЦ/R_ЯЦ, .

С оставленная на основе уравнений (3.13  3.18) структурная схема двигателя, управляемая по каналам якоря и обмотки возбуждения, имеет следующий вид (рис.3.6).

Рис.3.6. Линеаризованная структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения

Из структурной схемы могут быть получены передаточные функции двигателя, управляемого: 1) по цепи якоря при постоянном потоке (3.19) и 2) управляемого только по цепи возбуждения (3.20):

, (3.19)

, (3.20)

где ,

54