teoreticheskaya_mehanika_1989

Т а б л и ц а С2

Участок на	угольнике	Участок	на стержне
	верти­	рис. 0, 3, 5, 7, 8	рис. 1,2, 4 ,6 ,9
горизонтальный	кальный

Ш И Ш Ш -

Е

X

20

Пример

С2. На

угольник ABQ

(/-A B C = 90°), конец

А которого

жестко

заделан,

в точке С опирается стержень

DE (рис.

С2, а).

Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему

приложена

сила

F,

а к угольнику — равномерно

распределенная

на

участке КВ нагрузка интенсивности q и пара с моментом М.

Д а н о :

F =

10

кН,

М — 5

кН-м,

q = 20

кН/м,

а =

0,2

м.

О п р е д е л и т ь :

реакции

в точках А,

С,

D, вызванные

заданными

нагрузками.

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рас­

смотрим

сначала

равновесие стержня

DE

(рис.

С2, б).

Проведем

координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы:

силу F, реакцию N, направленную			перпендикулярно стержню, и сос­
тавляющие Хо и YD реакции		шарнира D. Д ля полученной			плоской
системы сил составляем три уравнения равновесия:
2 / ^ = 0,	Xc + F -W sin 6 0 ° = 0			;	( 1)
Ъ Р ку =	0,	Уо +	Ncos 60° = 0 ;		(2)
I ,m ^ F k) = 0,		N -2a	— F-5asin&)° =	0 .	(3)

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С?, в). На него действуют сила давления стержня N', направленная противоположно реакции N, равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой Q, приложенной в середине участка КВ (численно Q = q-Aa =

= 16 кН), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагаю­ щаяся из силы, которую представим составляющими Ха, YA, и пары

21

с моментом Ма- Д л я		э т о й п л о с к о й системы сил тоже					составляем три
уравнения равновесия:
	%Fk, = 0,		X„ +	Qcos60o +	W, sin60° =	0	;	(4)
	£ / > =	0,	YA -	Qsin60° -	W'cos60° =	0	;	(5)
2 mA(Fi,) = 0, Мл + М + Q-2a + N 'cos60° •4o + N 'sin 60° • 6a =								0 . (6)
При	вычислении момента силы N' разлагаем ее на составляющие
N'| и М	и применяем	теорему		Вариньона. Подставив			в составленные

уравнения числовые значения заданных величин и решив систему

уравнений	(1) — (6), найдем искомые реакции. При решении учитываем,
что численно N' — N в силу равенства действия и противодействия.
О т в е т :		N = 2 1 ,7	кН,	Y0	= — 10,8	кН; X D=	8,8	кН, ХА =
= - 2 6 ,8	кН,	YA = 24,7	кН, М А = - 4 2 ,6 кН • м.
Знаки	указывают,		что	силы	YD, ХА	и момент	МА	направлены
противоположно показанным				на рисунках.

Задача СЗ

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. СЗ.О — С3.9, табл. СЗ). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и долж­ ны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле,

который в	каждом столбце таблицы указан	первым, приложена сила
Р — 200 Н;	во втором узле приложена сила	Q = 100 Н. Сила Р обра­

зует с положительными направлениями координатных осей х, у, г углы,

равные соответственно					ai =	45°, pi = 60°, yi =	60°,		а сила	Q — углы
0 2 =	60°, рг =			45°, 72 =	60°; направления осей х,		у,	г	для всех рисунков
показаны		на		рис. СЗ.О.		параллельные плоскости ху, — квадраты.
	Грани		параллелепипеда,
Диагонали			других боковых			граней образуют	с	плоскостью ху угол
<р =	60°,	а	диагональ		параллелепипеда образует			с	этой	плоскостью
угол	0 =	51°. Определить усилия в стержнях.
	На рис. СЗ. 10 в качестве примера показано, как должен									выглядеть

чертеж С3.1, если по условиям задачи узлы находятся в точках L и М, а стержнями являются LM, LA, LB; МА, МС, MD. Там же показаны углы ф и 0.

22

Указания. Задача СЗ — на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противо­ действия; начинать с узла, где сходятся три стержня.

Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеро­ вать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней

обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, N\, N2 и т .д .).

Т а б л и ц а СЗ

Номер условия	0	1	2
Узлы	Н, М	L, М	К, М
	НМ, НА,	LM, LA,	КМ, КА,
Стержни	НВ, МА,	LD, МА,	КВ, МА,
	МС, MD,	MB, МС,	МС, MD,

3 4

L, Н

К, Н

LH, LC, КН, КВ, LD, НА, КС, НА, НВ, НС НС, HD

Номер условия	5	6		7	8	9
Узлы	м, н	L, Н		К, н	L, М	к, м
	мн, MB,	LH,	LB,	КН, КС,	LM, LB,	КМ,	КА,
Стержни	МС, НА,	LD,	НА,	KD, НА,	LD, МА,	KD,	МА,
	НС, HD	НВ, НС		НВ, НС	MB, МС	MB,	МС

Рис. СЗ.О

Рис. С3.1

Рис. С3.2

23

					J				/V	w
									/ ----------------*27
				/	|	в	/		/ !	/ '
(	Й	-	Т	Г	-	1	- /
				И		I	" l
						I	I
					/i”		j /
L*~				/ к			D ■'	‘i	—	-	J
	Рис.	C3.3			Рис. C3.4				Рис. C3.5

/V

				4			,
				T - + — /				Г у " Г " Т |
t	-			Г с		!		!	I	I
	|	I			I /	I	//		k	—	L
						i-% i
	M	I	2/j,	/
						I	/
	Л —	Г	А	t		i	z		_____ Iх
						- U '
k	i	» y				w				M
	Рис. C3.6				Рис. C3.7				Рис. C3.8

Пример СЗ. Конструкция состоит из невесомых стержней I, 2,

6,

соединенных

друг с

другом

(в

узлах

К и

М)

и

с

неподвижными

опорами А, В, С, D шарнирами

(рис. С З ). В

узлах К и М приложены

силы

Р и Q, образую щ ие с

координатными осями

углы

« |,

Pi, 7 1 и и2,

р2, 7 2

соответственно (на рисунке показаны только углы иц, Рь 7 1 ).

Д а н о :

Р= 100

Н,

а, =

60°, р, = 60°, 7 , =

45°;

Q = 50

Н,

а 2 =

45°, р2 = 60°, 72 = 60°,

г|) = 30°,

ф =

60°,

6 =

74°.

О п р е д е ­

л и т ь : у с и л и я в с т е р ж н я х 1 — 6.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила Р и реакции Nь N2, N3 стерж ­

ней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растя­ нутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной систе­ мы сходящ ихся сил:

2 Л ,: 0, P c o su i + yv2 s in i|)+ Л^ззтф = 0 ;

( 1)

2 Fky =	0,	Pcos Pi — N1 — /V2cosxl) =			0 ;
					(2 )
2	=	0, Pcos7i — Мзсозф =		0 .
					( 3 )
Решив уравнения (1), (2), (3) при
заданных числовых значениях силы Р и
углов,	получим N | =		349 Н,	N 2	=
= - 3 4 5	Н, N 3 = 141		Н.
2. Рассмотрим равновесие узла М.
На узел действуют сила Q и реакции						р ис £3
N'2, N 4 ,	N5 , N6 стержней. При этом				по

закону о равенстве действия и противодействия реакция Л?2 направлена

противоположно N 2 , численно же N 2				— N 2- Составим уравнения равно­
весия:
= 0,	Q cosa2 — ^V2sini|) — Л/ 4 —Л/ 5 sin бsin гр =								0 ;	(4)
2 Fky =	0, Q cosp2+		Af2cosil) +		WssinScosij) = 0 ;						(5)
2 Ркг = 0, Q cos 7г — Ms cos ^ — W6 = 0 .											(6)
При определении проекций силы				Ns на оси х и у в уравнениях							(4)
и (5) удобнее сначала найти проекцию					N's этой силы на плоскость
хОу (по числовой величине		N%= Л/5 sin 8),				а затем найденную				проек­
цию на плоскость спроектировать на оси х , у.
Решив систему	уравнений		(4),	(5),	(6)		и	учитывая, что		N2	=
= N 2 = — 345 Н, найдем, чему равны					ЛГ5, /V6.
О т в е т : М =	349 Н;	N2	= — 345		Н;	N3	=	141 Н;	М, =	50	Н;

Ns = 329 Н; Л/6 =	—66 Н. Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты,
остальные — растянуты.
3— 1722	25

Задача С4

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (рис. С4.0 — С4.7) или же двумя подшипниками в точках Л и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (рис. С4.8, С4.9); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты Рi = 5 кН, вес меньшей плиты Яг = 3 кН. Каждая из плит расположена парал­ лельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху — горизон­ тальная).

На плиты действуют пара сил с моментом М = 4 кН-м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направле­ ния и точки приложения указаны в табл. С4; при этом силы F\ и Ft ле­

жат в плоскостях, параллельных плоскости ху,

сила

Fi — в плоскости,

параллельной

хг,

и сила

F3 — в

плоскости, параллельной уг.

Точки

приложения сил

(D, Е, Н, К) находятся в углах или в серединах сторон

плит.

Определить реакции связей в точках Л и В и реакцию стержня

(стержней). При подсчетах принять а = 0,6 м.

Указания. Задача

С4 — на

равновесие тела

под действием

произ­

вольной

пространственной

системы сил.

При

ее

решении

учесть,

что реакция сферического шарнира

(подпятника)

имеет три составляю­

щие (по всем трем координатным

осям),

а

реакция

цилиндрического

шарнира

(подшипника) — две

составляющие,

лежащие

в плоскости,

перпендикулярной

оси

шарнира

(подшипника).

При

вычислении мо­

мента

силы

F

часто

удобно

разложить

ее

на две

составляющие

F' и

F",

параллельные координатным

осям

(или

на

три);

тогда,

по теореме Вариньона,

mx(F) =

mx(F') + mx{F")

и т.д .

Рис. С4.0

Рис. С4.1

26

Рис. С4.9

3**

2 7

Т а б л и ц а С4

Пример С4. Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис. С4) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (под­ шипником) в точке В и невесомым стержнем DD'. На плиту в плоскости,

параллельной	хг,	действует	сила	F,	а в плоскости,	параллельно»
yz, — пара сил с моментом М.
Д а н о :	Я =	3 кН, F = 8	кН,	М = 4 кН-м, а = 60°, АС =			0,8 м,
АВ = 1,2 м, BE =		0,4 м, ЕН = 0,4		м.	О п р е д е л и т ь :	реакции	опор
Л, В и стержня DD'.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы Р, F и пара с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие Хл, ?л, ZA, цилиндрического (подшипника) — на две составляющие Х в, ZB (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника); реакцию N стержня направляем вдоль стержня от D к D', предполагая, что он растянут.

28

2.

Для

определения

шести

неизвестных

реак­

ций

составляем

шесть

уравнений

равновесия

действующей

на

плиту

пространственной системы

сил:

£ Fkx =

0,

Ха +

+ Xs +

Fcos60° =

0 ;

( 1)

Z / >

= 0,

Ул — Ncos 30° =

0 ;

Рис. С4

( 2 )

=

0,

+

ZB - Р + N sin 30° -

F sin 60° =

0 ;

(3 )

=

0,

M — P -A B /2 + Zb -AB — Fsin 60°-AS + Wsin30°-АВ =

0;

2 т „ (/ч ) =

0,

P .A C /2 -N s in 3 0 ° .A C +

F sin 6 0 ° -A C /2 -

(4)

- F c o s 6 0 ° .B £ = 0 ;

(5)

2 т г(Л )

=

0,

— fc o s 60° -АВ —JV cos 30°-AC —XB

-AB =

0 .(6)

Для определения моментов силы F относительно осей разлагаем ее

на составляющие

F'

и F", параллельные осям

х и z

(F' = Fcosa,

F" =

F sin a ) , и применяем теорему Вариньона

(см. «Указания»). Ана­

логично можно поступить при определении моментов реакции N.

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех

за ­

данных величин и решив эти уравнения, найдем искомые реакции.

О т в е т : ХА =

3,4

кН; УА = 5,1 кН; ZA = 4,8

кН; Хв = — 1Л

кН;

ZB =

2,1 кН;N = 5,9

кН. Знак минус

указывает,

что реакция Хв

на­

правлена противоположно показанной

на рис. С4.

КИНЕМАТИКА

Задача К -1

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо

решить.
Задача	К1а. Точка В движется в плоскости	ху	(рис.	К1.0 —
К 1.9, табл.	К1; траектория точки на рисунках показана условно).
Закон движения точки задан уравнениями: х =		у =	/2(<), где х		и у
выражены в сантиметрах, t — в секундах.
Найти	уравнение траектории точки; для момента времени			t\ =	1 с

определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нор­ мальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траек­ тории.

Зависимость х = fi(t) указана непосредственно на рисунках, а за-

29