матем для 1 курса

11

50.

= (1 ; 5 ; 0),

= (−1 ; 2 ; 3),

= (0 ;1 ; −1),

= (6 ; 5 ; −15)

a

b

c

d

51.

= (−2 ;1 ; 0),

= (1 ; −1 ; 3),

= (0 ;1 ; 4),

= (−13 ; 9 ; −5)

a

b

c

d

52.

= (1 ; 4 ;1),

= (0 ; 2 ; 3),

= (2 ; −1 ;1),

= (−3 ; −8 ; −9)

a

b

c

d

53.

= (−1 ; 2 ;1),

= (2 ; 0 ; 3),

= (1 ;1 ; −1),

= (12 ;1 ; 8)

a

b

c

d

54.

= (3 ;1 ; 0),

= (−1 ; 2 ;1),

= (−1 ; 0 ; 2),

= (8 ;1 ; 3)

a

b

c

d

55.

= (1 ; 0 ; 2),

= (0 ;1 ;1),

= (2 ;1 ; 4),

= (5 ; 0 ; 8)

a

b

c

d

56.

= (2 ; 0 ;1),

= (1 ; 0 ; −1),

= (−3 ; 5 ; 2),

= (−3 ; 5 ;11)

a

b

c

d

57.

= (0 ;1 ;1),

= (−2 ;1 ; 0),

= (3 ; 0 ;1),

= (11 ; −1 ; 2)

a

b

c

d

58.

= (5 ; 0 ;1),

= (2 ; 3 ; −1),

= (1 ; −1 ; 0),

= (0 ;15 ; 5)

a

b

c

d

59.

= (0 ; −2 ;1),

= (3 ;1 ; −1),

= (4 ; 0 ;1),

= (7 ; −1 ; 6)

a

b

c

d

60.

= (4 ;1 ;1),

= (2 ; −3 ; 0),

= (−1 ;1 ; 2),

= (−14 ; 5 ; 6)

a

b

c

d

61-80. Решить матричное уравнение с помощью обратной матрицы (выразив матрицу X через матрицы A-1 и B, X=A-1·B или X=B·A-1). В ответе записать матрицу X.

				4	1	1						1		5	−1
61.	X A = B,		−3		2	−	2
		A =							;			B =
														2
				3	1	0						0			1
				7	−1				2
62.	X A = 2B,	A =		1		0			1		;	B = (−4 ; 1 ; 1 )
				−2		1			1
				2	2			1				4
63.	A X = −B,	A =		1	0	−							0
								1 ;				B =
				3	1								2
							1

				2		9	−3							1	2	0
														1	1	1
64.	X A = B,			1		−1			;
		A =					2			B =				−1	1	−1
				3		1	1
														0	1	0
						10	−10			20
65. X A = 200B, A =						10	20		−20			;		B = (2 ; −1 ; 2 )
						30	10			10
					3	1	0							1	−2
66.	2A X = B,	A =			1	−1	2			B =				3	4
								;
				4		2	1							−1	5

																									12
									3		15			−9										1				−	3	−3
67. X			1
				A = B,	A =				30		0			−		6			;		B =
3																									2				1	−1
								−3			3				12
						−1					0			2							−4
68. 3A X = 2B,					A =					1	3		0			;								1
																			B =
										1	−1		2											0
						2					1	2									2						1
69. 9A X = −B,					A =					−1		0		;							−1				−
						1										B =											3
								0			2 1										−4						1
									30		−40					0									11				2
70. 0,1A X = B,					A =				10			20			10						B =								−10
																			;						1
								−20																			2		0
												1 0 30
							1 0 −								3							−1 2
71. −2A X = B,					A =					2	1			0			;			B =					0			1
									−1		−2 3														1 0
										2	1			2											4
72. −3A X = B,					A =				−1		2		−				;			B	=				5
															1
									1		2			2										−1
											0,5 ; −0,4 ; −										0,2								10			20	−10
73. X 100A = 0,1B,						A =					0,1 ;				0,1 ;						0
																								;			B =
																														40		10	30
											0,3 ;				0,5 ; 0,4
						0,5					−3 2,5														1				0
74. 2A X = 5B,					A =				1		−1,5					1				;	B =					0			−1
									2		1 −0,5																		1
																									1
					0,2 0,4 −0,2																				2				0	−2
								0,6			0				1					;	B =
75. X 5A = B, A =
																												1		−1
							−1				0,4				0,2										0
									4		12		20								1							4
76.	1
		A X = B,			A =				8		10	−		2 ;						B	=		0				−5
2									0		2			6									2					0

																		13
					−		20	4 24										−3						−4
77.		1
			A X = −B, A =				0 −12			4			;	B	=					3				1
	4
							8	16		20										−1
																										0
					1		−2		0											1				2					0
78.	5A X = B,				3		0,2	−	0,2			;		B =
				A =
																		−1 −2
					0,4		−1 −		0,2																				1
					6		4		9							1				5				1
79.		X A = 6B,			1		−1	−	3			B =				6				6				3
				A =						;
					−2		−5		1						−			1		1				2
																		2		2
																										3
						4	4	−1
80. X A = −2B,				A =		2	1	−4				B = (0,5 ; −3 ; 1,5 )
										;
						1	1	2

81-100. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса. Если система имеет бесконечное множество решений, то записать ответ через

параметр t R . Проверить полученное решение подстановкой в исходную систему уравнений.

81.	3x + 4 y −2z = 0				91.	3x −4 y + 2z = 0
			+ 3y + z = 0				x − y − z = 0
	x
82.	2x − y − 5z = 0				92.	− x + 2 y −4z = 0
	2x + y + z			= 0			5x	−4 y + z = 0
			+ y + 2z = 0				2x	−7 y + z = 0
	x
			− y	= 0				+10 y − 2z = 0
83.	x				93.	−8x
		3x +5y +7z = 0				11x −2 y − z = 0
			x + 3y + z = 0
						4x −9 y + 2z = 0
84.	−2x −9 y + z = 0				94.	5x + y − z = 0
	x		−2 y − z = 0			9x −3y +6z = 0
	2x −8y + 6z = 0					x + 3y = 0
85.	3x + y − 17z = 0				95.	2x + y + z = 0
	x		+ y − z = 0			4x		−4 y + z = 0
							2x	+ y − z = 0
	6x −6 y + 2z = 0
86.	11x + 2 y − 5z = 0				96.	−2x −5y +3z = 0
			x − y − z = 0				3x	− y +12z = 0
		−4x + 3y − z = 0					x	+ y −4z = 0
		−3x + 2 y		= 0
						−2x + y − 10z = 0

87. x −2 y

= 0

3 x −5y + 2z = 02x + y − 10z = 0

88.3x + 4 y + 4z = 05 x +10 y = 02x + 3y +3z = 0

89.4x − y − z = 02x + y +7z = 0x + 2 y +11z = 0

90.3y −4z = 0x + 2 y −3z = 0x − y + z = 0

14

97.

98.

99.

100.

x − y − z = 03x −9 y −2z = 02x −20 y + z = 0

2x + 2 y −10z = 0

3x + 3y −15z = 0x +13y + 2z = 0

4x −15y −2z = 0
	2x −5y − z = 0
		= 0
− x + 4 y
2x		+ z = 0
3 x +15y + 4z = 0
	2x − 12 y − z = 0

15

2.2 Контрольная работа №2 Аналитическая геометрия

1-20. Даны координаты вершин треугольника ABC. Требуется найти:

1)уравнение стороны AB;

2)уравнение высоты CH и ее длину;

3)уравнение средней линии NM, параллельной стороне AB;

4)точку D пересечения прямой NМ и высоты CH;

5)угол между прямыми AС и CH.

6)сделать чертеж.

№	A	B	C	№	A	B	C
1.	(1;-3)	(0;7)	(-2;4)	11.	(-5;1)	(8;-2)	(1;4)
2.	(2;5)	(-3;1)	(0;4)	12.	(7;0)	(1;4)	(-8;-4)
3.	(7;0)	(1;4)	(-6;2)	13.	(2;-3)	(1;6)	(6;1)
4.	(-4;2)	(-6;6)	(6;2)	14.	(4;-3)	(7;3)	(1;10)
5.	(4;-4)	(8;2)	(3;8)	15.	(-3;-3)	(5;-7)	(7;7)
6.	(1;-6)	(3;4)	(-3;3)	16.	(-4;2)	(8;-6)	(2;6)
7.	(-5;2)	(0;-4)	(5;7)	17.	(4;-4)	(6;2)	(-1;8)
8.	(-3;8)	(-6;2)	(0;-5)	18.	(-4;2)	(6;-4)	(4;10)
9.	(6;-9)	(10;-1)	(-4;1)	19.	(3;-1)	(11;3)	(-6;2)
10.	(4;1)	(-3;-1)	(7;-3)	20.	(-7;-2)	(-7;4)	(5;-5)

21– 40. Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке А. Сделать чертеж.

21.	Левый фокус эллипса 3x2+7y2=21,	А (-1;- 3).
22.	Правый фокус эллипса x2+4y2=12,	А (2;-7).

	16
23.	Фокусы эллипса x2+10y2=160,	А (0;-4).
24.	Фокусы гиперболы 12x2-11y2=132,	А (0;7).
25.	Вершины гиперболы 12x2-13y2=156,	А (0;4).
26.	Фокусы гиперболы 5x2-11y2=55,	А (0;5).
27.	Вершину параболы 3(x+6)2=1-у,	А (1;-1).
28.	Фокусы гиперболы 24x2-25y2=600,	А (0;-8).
29.	Вершины гиперболы 2x2-9y2=-18,	А (4;0).
30.	Вершину параболы 5(x-7)2=1+у,	А (0;0).
31.	Правую вершину гиперболы 3x2-16y2=48,	А (1;3).
32.	Левый фокус эллипса 13x2+49y2=837,	А (1;8).
33.	Верхний фокус эллипса 4x2+y2=12,	А (-7;2).
34.	Фокусы эллипса 10x2+y2=90,	А (3;0).
35.	Вершины гиперболы 4x2-9y2=36,	А (0;4).
36.	Левый фокус гиперболы 7x2-9y2=63,	А (-1;-2).
37.	Правый фокус гиперболы 5x2-16y2=80,	А (-1;0).
38.	Вершину параболы 5x2=8+у,	А (12;0).
39.	Правый фокус гиперболы 5x2-8y2=80,	А (-2;2).
40.	Левую вершину гиперболы 5x2-9y2=45,	А (0;-6).

41–60. Построить кривую, заданную уравнением в полярных координатах по
точкам, придавая φ значения через промежуток π (0≤φ≤2π) и записать
			6
уравнение в декартовых координатах;
41.	ρ=2sinφ	51.	ρ=1+2sinφ

		17
42.	ρ=sin 2φ	52.	ρ=4φ
43.	ρ=2(1+sinφ)	53.	ρ=2φ
44.	ρ=1+2cosφ	54.	ρ=2cosφ
45.	ρ=2cos2φ	55.	ρ=4cosφ+2
46.	ρ=3(1+ cosφ)	56.	ρ=4sinφ+1
47.	ρ=3sin3φ	57.	ρ= 2 (sinφ− cosφ)
48.	ρ=2(1-sinφ)	58.	ρ=2−cos2φ
49.	ρ=4(1+sin2φ)	59.	ρ=6cosφ
50.	ρ=5sinφ	60.	ρ=sinφ+cosφ

61–80. Даны координаты вершин A,B,C пирамиды OABC. Требуется составить уравнения:

1)плоскости ABC;

2)прямой AB;

3)плоскости α, проходящей через точку О перпендикулярно прямой AB;

Найти:

4)угол (в градусах) между прямой AО и плоскостью ABC;

5)угол (в градусах) между плоскостью α и плоскостью ABC;

6)проекцию точки О на плоскость АВС.

№	A	B	C	№	A	B	C
61.	(1;-3;0)	(0;7;1)	(-2;4;1)	71.	(-5;1;0)	(8;-2;2)	(1;4;4)
62.	(2;5;3)	(-3;1;2)	(0;4;2)	72.	(7;0;0)	(1;4;2)	(-8;-4;-4)
63.	(7;0;0)	(1;4;3)	(-6;2;2)	73.	(2;-3;0)	(1;6;3)	(6;1;2)
64.	(-4;2;5)	(-6;6;2)	(6;2;1)	74.	(4;-3;3)	(7;3;3)	(1;10;0)
65.	(4;-4;0)	(8;2;0)	(3;8;1)	75.	(-3;-3;2)	(5;-7;3)	(7;7;2)
66.	(1;-6;2)	(3;4;1)	(-3;3;2)	76.	(-4;2;0)	(8;-6;2)	(2;6;3)

				18
67.	(-5;2;-1)	(0;-4;-1)	(5;7;2)	77.	(4;-4;2)	(6;2;-2)	(-1;8;2)
68.	(-3;8;1)	(-6;2;2)	(0;-5;0)	78.	(-4;2;3)	(6;-4;0)	(4;10;2)
69.	(6;-9;2)	(10;-1;0)	(-4;1;3)	79.	(3;-1;0)	(11;3;-5)	(-6;2;2)
70.	(4;1;2)	(-3;-1;3)	(7;-3;2)	80.	(-7;-2;0)	(-7;4;2)	(5;-5;2)

81 – 100. Привести уравнение поверхности к каноническому виду. Определить вид поверхности и построить ее.

81.	. x2 + y2 −2z 2 −2x +1 = 0			91.	x2 + y2 −9z 2 +18z = 0
82.	x2 + y2		+ 4z 2 −4 y +3 = 0	92.	x2 + y2 −10x −2 y +1 = 0
83.	x2 + y 2 + z 2 −2x + 4 y −6z −2 = 0			93.	2x2 +2y2 +2z2 −4x +12y +11=0
84.	4x2 + y 2 − z 2 −24x −4 y + 2z +35 = 0			94.	y2 + z 2 +6 y −4x +13 = 0
85.	x2 + y2 −8x +8y − z +31 = 0			95.	x2 + y2 −z2 −14x +2z +49 =0
86.	x2 + y 2 + z 2 −2x + 4 y −6z −2 = 0			96.	x2 − y2 + z 2 + 2 y −1 = 0
87.	9x2 + z 2 −18x −9 y −6z = 0			97.	x2 + y2 −4x + 2 y + 4z +1 = 0
88.	x2	+ z 2 −2x −4z +1 = 0		98.	x2 + y2 + z 2 −12x + 2 y −2z +34 = 0
89.	x2	+ y2 − z 2 −6 y +6z = 0		99.	x2 + y2 − z 2 −4x −4 y + 2z +7 = 0
90.	x2	+ 4 y 2 + 4z 2 −16 y = 0		100.	9x2 + y 2 + z 2 −2 y −4z −4 = 0

19

2.3 Контрольная работа №3

Введение в анализ. Производная.

1– 20. Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя.

1.

а)

lim

3x

2

−2x

+1

б)

lim

(1 + x )

3

−(1 +3x )

x→∞ 4x −5x2

x→ 0

x2 + x3

в)

lim

x −1 −2

г)

1

+ x 2 / x

x −5

lim

x→5

x→ 0

1

− x

2.

а)

lim

x

4

− x

3

+1

б)

lim

x

4

−

3x

2

+ 2

x→∞ 4x4 −5x

x→1 x2 −4x +3

в)

lim

5 − x −2

г)

1 + 2x −3 / x

2

− x −1

lim

x→1

x→ 0 1

+ x

3.

а)

lim

x

3

+6x −1

б) lim

2x

2

−3x +1

x2 −1

x→∞ x2 + 25x4

x→1

в)

lim

x − 3x −2

г)

lim (1 + 4x)5 / x

x2 −4

x→ 0

x→ 2

4.

а)

lim

x

2

+1

б) lim

2x

2

−5x +3

2x −3

x→∞ x3 −2x + 4

x→

3

2

в)

lim

x −2 −1

x

2 + 2

x2 +10

2

г)

lim

2

x→3 x

−3x

x→ ∞

x

5.

x3 + x2 −1

x2

−9x +14

а)

lim

− x2

б)

lim

2

x −1

x→ 2 x

+ x

−6

x→∞

в)

lim x −

3x −2

г)

lim (1 + 2x)( 3−x ) / x

x→1

x2 − x

x→0

6.

а)

lim

6x

2

−2x

+11

б)

lim1

2x2 −3x +1

2x2 − x

4 +5x

2

x→∞

x→

2

в)

lim

1 + 2x − 3

г)

lim

1

+ 2x 5x−2

x −1

x→1

x→ ∞

3

+ 2x

7.

x2 +1

5x2 −3x −2

а)

lim

− x

б)

lim

2

x

−2

x→ 1 x

+ x −2

x→∞

в)

8.

а)

в)

9.

а)

в)

10.а)

в)

11.

а)

в)

12.а)

в)

13.а)

в)

14.а)

lim			9 + 2x −5
x→ 8			2x −4
lim		6x3 −2x2 +3x −2
			x −7x3
x→∞
lim			x
			x +9 −3
x→ 0
			2x2
lim				−2x
x→∞ x + 4

lim

x +6 − 2x +8

x2 + 2x

x→ −2

lim

− x5 +3x2 − 2

x→∞ 1 + 2x −7x4

lim

2x −5 −3

x→ 7 x2 −8x +7

x2

+

4x + 2

lim

x −

x + 4

x→∞

lim

x −

5x −4

x→ 4

x2 −4x

lim

(x −1)(x +

2)

x(x −3)

x→∞

lim

4 + x2 + x −2

x2 + x

x→− 1

x3

2

lim

− x

1

x→∞ x +

lim

3 +2x −

1

x→−

1

2 + x −1

lim

(x −1)2 (x −4)

x3 + x +1

x→∞

20

1 + x2 5x2

г)

lim

2

x→ ∞

3 + x

б)

lim

2x2 + x −1

x2 −1

x→−1

г)

lim (1 −3x2 )6 / x2

x→ 0

б)

lim

−3x2 −2x +1

9x2 −1

x→

1

3

1−x

2 + x

г)

x

lim

x→ 0

2 − x

б)

lim

x2 −3x

2 −8x +15

x→ 3 x

г)

lim

1 − x

4x

x→ ∞

3 − x

б)

lim

2x2 −7x −4

2x +1

x→−

1

2

1 − x

2+x

г)

x

lim

x→ 0

1 + x

б)

lim

x2 −3x +2

x2 −4x +4

x→ 2

г) lim

x

−3 x / 3

x

x→∞

б)

lim

4x2 −3x −7

x2 + x

x→ −1

г)

lim

x +

3 2 x

x→∞

x −

2

б)

lim

2x2 −5x + 2

( 2x −1)2

x→

1

2