Лекції по на черталке / Лекция 8

Кафедра "Прикладна геометрія інформаційні технології проектування" ТДАТУ

Викладач: доц. Щербина В.М.

Конспект лекції № 8

з дисципліни "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка"

Тема лекцiї: Взаємоперетин поверхонь. Спосіб сфер – посередників.

Мета та задачі: Показати, що основним інструментом для визначення лінії перетину двох поверхонь є поверхня – посередник (площина).

Знання та вмiння, якi студенти повиннi отримати:

Студенти повиннi:

Вмiти: 1.Аналізувати умову задачі.

2.Визначати і знаходити опорні точки лінії перетину.

3.Вибирати площину-посередник.

4.Взначати видимість лінії перетину.

. План

8.1. Особливі випадки перетину поверхонь другого порядку.

8.2. Спосіб допоміжних сфер.

8.3. Умови, за якими спроможно використовувати спосіб концентричних сфер– посередників.

8.4. Спосіб концентричних сфер.

Література

1. Михайленко В.Е., Пономарев А.М. "Инженерная графика" К.1990 9.3 (стр.174-177).

2. Власов М.П. "Инженерная графика" М., 1979, 34-36 (стр.71-78).

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. "Курс начертательной геометри" М., 1988 63-65 (стр.202-216).

4. Дiафiльми "Пересечение поверхностей".

5. Плакати: Л 10-1 ... Л 10-3.

6. Макети: НГ- 37, НГ- 38.

8.1. Особливі випадки перетину поверхонь другого порядку.

Точка, у якій поверхні мають загальну дотичну площину, називається точкою дотикання або точкою дотику поверхонь.

ТЕОРЕМА ПРО ПОДВIЙНЕ ДОТИКАННЯ.

Коли дві поверхні другого порядку мають дві точки дотику, то лінія їх перетину розпадається на дві криві другого порядку, площини яких проходять через пряму, яка з'єднує точки дотику.

Ця теорема застосовується для побудови кругових перетинів тих поверхонь другого порядку, які їх мають. Для цього слід використати сферу, яка має подвійне дотикання з даною поверхнею.

Приклад 1. Побудувати круговий перетин еліптичного циліндра.

Обираємо сферу з центром на осі циліндра та діаметром, що дорівнює відрізку МN - великій осі еліпса. М та N – точки дотику.

Рис.8.1. Приклад подвійного дотикання

ТЕОРЕМА МОНЖА.

Якщо дві поверхні другого порядку описані навколо третьої або вписані в неї, то вони перетинаються по двом плоским кривим, площини яких проходять через пряму, яка з'єднує точки перетину ліній дотику.

Приклад 2. Побудувати лінію перетину двох циліндрів, осі яких перетинаються між собою та діаметром однакові, тобто описані навколо сфери з центром у точці перетину осей.

Рис.8.2. Приклад поверхонь обертання, описаних навколо однієї сфери

(теорема Монжа)

На основі теореми Монжа лініями перетину циліндричних поверхонь мають бути два еліпса, що розташовані у фронтально – проекцiюючих площинах, які на площину П₂ проекцюються відрізками прямих АВ та СD.

8.2. Спосіб допоміжних сфер.

Загальний огляд.

Часто для побудови ліній перетину двох поверхонь обертання загального виду з осями, які перетинаються, неможливо підібрати допоміжні січні площини, які б перетинали ці поверхні за геометрично простими лініями (прямі або кола).

Розглянемо спочатку як перетинаються спiвоснi поверхні обертання (тобто поверхні обертання із загальною віссю).

Твердження 1.

Дві спiвоснi поверхні обертання перетинаються по колах, кількість яких дорівнює кількості точок перетину головних меридіанів.

Точки А та В є точками перетину головних меридіанів спiвосних поверхонь обертання.

Під час обертання їх навколо горизонтально – проекцюючої осі утворюються кола – паралелі, які належать одночасно до обох поверхонь. Ці кола проекцюються на площину П₂ у вигляді відрізків прямих, перпендикулярних до фронтальної проекції осі обертання, а на площину П₁ – без спотворення, тобто у коло.

Наслідок. Якщо центр січної сфери знаходиться на осі поверхні обертання, то сфера перетинає дану поверхню за колами (рис.8.4).

Рис.8.4. Перетин поверхонь конуса та циліндра зі сферою

8.3. Умови, за яких спроможно використовувати спосіб концентричних сфер – посередників.

8.3.1. Поверхні, що перетинаються, мають бути поверхнями обертання, або мати кругові перерізи.

8.3.2. Осі цих поверхонь мають перетинатися та визначати загальну площину симетрії поверхонь.

8.3.3. Площина симетрії, що утворена осями, які перетинаються, має бути паралельною до будь – якої площини проекцій.

8.4. Спосіб концентричних сфер.

Особливість способу розглянемо на наступному прикладі (рис.8.5).

Рис.8.5. Побудування лінії перетину двох циліндрів

Приклад 3. Побудувати лінію перетину двох циліндрів з осями, що перетинаються та паралельні площині П₂.

Якщо центр О сфери 1 обрано у точці перетину осей поверхонь, то ця сфера 1 перетинає обидві поверхні за колами. Кожне з цих кіл належить до різних поверхонь, але в той же час вони лежать на одній, сфері тому перетинаються. Точки перетину кіл належать до лінії перетину поверхонь.

Перш, ніж приступити до побудови лінії перетину, необхідно визначати радіус мінімальної та максимальної сфер.

Мінімальна сфера обов'язково має дотикатися до однієї поверхні та перетинати або дотикатися другої (Сф.1).

Максимальна сфера (Сф.2) проходить через найбільш віддалену точку перетину обрисів ( в даній задачі - це точки А та А⁰ ).

У проміжку між Сф.1 та Сф.2 можна брати сфери довільного радіуса для визначення проміжних точок ліній перетину.

Однією з переваг способу сфер є те, що за його допомогою стає можливим розв'язання задачі тільки на одній площині проекцій.