Лекції по на черталке / Лекция 5

Кафедра "Прикладна геометрія інформаційні технології проектування" ТДАТУ

Викладач: доц. Щербина В.М.

Конспект лекції № 5

з дисципліни "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка"

Тема лекції: Багатогранники. Перетин багатогранників площиною, перетин двох багатогранників.

Мета та задачі: Вивчити алгоритм побудови лінії перетину багатогранника з площиною загального положення.

Знання та вмiння, якi студенти повиннi отримати:

Знати: способи проекціювання багатогранників на площини проекцій; алгоритм побудови точки перетину прямої лінії з площиною; алгоритм побудови лінії перетину багатогранника з площиною;

Вміти: зображати багатогранники на комплексному кресленні; будувати лінію перетину багатогранника площиною загального положення.

План

5.1. Зображення багатогранників.

5.2. Перетин багатогранників площиною та прямою лінією.

5.3. Взаємоперетин багатогранників.

Література

1. С. 37–51.

2. С. 90–94., 131–142., 163–176.

3. С. 107-121.

4. С. 35-38., 67.

5. Діафільми "Пересечение многогранников".

6. Плакати Л 7-1 ... Л 7-3.

5.1. Зображення багатогранників.

Геометричне тіло, обмежене площинами, називається багатогранником.

Елементами багатогранника є грані, ребра та вершини (рис.5.1. та 5.2).

Спроектувати багатогранник – це означає побудувати проекції його вершин та з'єднати їх відрізками прямих (ребер) з урахуванням видимості.

Найбільш розповсюдженими багатогранниками є призми (рис.5.1) та піраміди (рис.5.2).

Рис.5.1. Рис.5.2.

Зображення призми Зображення піраміди

5.2. Перетин багатогранників площиною та прямою лінією.

Лінією перетину багатогранника з площиною у загальному випадку є плоский багатокутник, вершинами якого є точки перетину ребер багатогранника з січною площиною, а сторонами є лінії перетину граней з січною площиною.

Побудувати багатокутник можна, якщо визначити:

1) його вершини;

2) його сторони.

Плоску фігуру, яка отримується від перетину багатогранника з площиною, називають перерізом.

Приклад 1. Побудувати переріз призми площиною () (рис.5.3.).

Алгоритм.

1. Визначаємо переріз нижньої основи (1 2).

2. Визначаємо переріз верхньої основи (3 4).

3. Визначаємо точки пере–тину останніх ребер багатогранника з площиною R(якщо такі існують).

4. З'єднуємо отримані точки з врахуванням видимості.

Приклад 2. Побудувати точки перетину прямої лінії з пірамідою (рис.5.4).

Алгоритм.

1. Проводимо через пряму L (DE) площину Р(РП₂).

2. Будуємо переріз (1,2,3) багатогранника площиною–посередником Р.

3. Визначаємо точки перетину, як результат перетину прямої L (DE) з побудованим трикутником (1 2 3).

5.3. Взаємо перетин багатогранників.

Два багатогранника перетинаються за просторовою ламаною лінією, яка може розпадатися на частини. Загальний спосіб розв'язання задачі полягає в тому, щоб знайти вершини або відрізки (ланки) ламаної лінії.

Вершинами є точки перетину ребер першого багатогранника з гранями другого та ребер другого з гранями першого.

Ланки ламаної лінії будуються як відрізки прямих, що з'єднують пари вершин, які належать до однiєї й тієї ж грані багатогранника.

Приклад 3. Побудувати лінію перетину поверхонь трьохгранної призми з трикутною пірамідою (рис.5.5.)

Для побудови точок перетину ребер призми з гранями піраміди необхідно через ребра призми провести фронтально проєкцюючі площини посередники Р та Q.

Вони перетинають піраміду по лініям, які належать граням піраміди.

Там, де побудовані лінії перетинають ребра призми, отримуємо шукані точки перетину ребер призми з гранями піраміди. Для побудови точки перетину ребер піраміди з гранями призми можна користуватися фронтальною проекцією, тому що грані призми фронтально – проекцюючi, які і визначають точки перетину ребер піраміди з гранями призми на фронтальній проекції, а потім знаходять їх і на горизонтальній проекції.

Побудовані таким чином точки з'єднуємо з урахуванням видимості.