106

Глава 6 неопределенный интеграл

6.1. Первообразная функция

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной от данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную . Искомую функцию называют первообразной функции.

Определение.

Функция называетсяпервообразной функции на интервале, если для любоговыполняется равенство:

.

Примеры

1. Функция является первообразной для функциипри любомх, так как .

2. Функция есть первообразная для функциина всей числовой оси, ибо.

Нетрудно заметить, что любая функция вида , гдес − постоянная, также является первообразной для функции , поскольку.

Приведем теорему, выражающую основное свойство первообразной.

Теорема.

Если функция является первообразной функциина интервале, то множество всех первообразных длязадается формулой

,

где с − постоянное число.

Таким образом, множество функций представляет собой семейство всех первообразных для данной функции.

6.2. Неопределенный интеграл

Определение.

Совокупность всех первообразных функций для данной функциина интерваленазываетсянеопределенным интегралом.

Обозначается:

,

где − подынтегральная функция,

−подынтегральное выражение.

Операция нахождения первообразной для данной функции называется интегрированием этой функции.

Дифференцирование и интегрирование функций − это две взаимно обратные операции.

Определение.

График какой-либо первообразной функцииназываетсяинтегральной кривой.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых , в котором каждому числовому значениюс соответствует определенная кривая (рис.6.1).

Рис. 6.1

Условие существования первообразной или неопределенного интеграла сформулировано в следующей теореме.

Теорема.

Если функция непрерывна на интервале, тоимеет на этом интервале первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл.

Замечание.

Если функция имеет точки разрыва, то ее можно интегрировать на каждом промежутке непрерывности раздельно.

6.3. Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, а − постоянная.

5. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) их неопределенных интегралов:

.

6. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой от нее функции.

Если , то и, где.

6.4. Таблица основных интегралов

Для облегчения интегрирования (нахождения первообразных) существует таблица основных интегралов, которая получена из основных формул дифференциального исчисления (таблицы дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.

В таблице переменная интегрирования u может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной: (п.6.3).

1.	;
2.	;
3.	;
4.	;
5.	;
6.	;
7.	;
8.	;
9.	;
10.	;
11.	;
12.	;
13.	;
14.	.

Справедливость указанных формул проверяется дифференцированием.