Линейная алгебра и аналитическая геометрия

–разлагать вектор по базису;

–проверять коллинеарность и компланарность векторов.

ЛЕКЦИЯ 5

§7. Скалярное произведение векторов

I Определение

Скалярным произведением двух векторов a и b называют число, обозначаемое символом a × b, и вычисляемое по формуле

a × b = a × b × cosj, (1)

где φ – угол между векторами a и b .

Вспоминая формулу для проекции одного вектора на другой, можно

выразить скалярное произведение векторов a и b другими формулами:

×

=

× пр

,

×

=

× пр

.

a

b

a

b

a

b

b

a

(2)

а

b

II Механический смысл

Если вектор

a

изображает силу, точка приложения которой

перемещается из начала вектора

b

в его конец, то работа этой силы есть не

что иное, как

×

.

a

b

IIСвойства скалярного произведения

1.a ×b = b × a (коммутативность).

2.(la) × b = l(a × b) (ассоциативность относительно умножения на

число).

3. a × (b + c) = a × b + a × c (дистрибутивность относительно сложения).

Замечание 1. Указанные свойства дают право при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не заботясь о порядке сомножителей. Например,

(3a + 5b)(× 2a + 3b)= (3a)(× 2a)+ (5b)(× 2a)+ (3a)(× 3b)+ (5b)(× 3b)=

= 6× a × a +19× a ×b +15×b ×b.

Замечание 2. Скалярного произведения трех векторов не существует. 4. Скалярное произведение a × a называется скалярным квадратом

вектора a и обозначается символом a2 . Скалярный квадрат вектора, равен квадрату его длинны:

a2 = a 2 .

Это свойство можно использовать для нахождения длин векторов. Например,

= 2

-

= 5,

= 7 , j = 60o . Имеем:

найти длину вектора

c

a

b

, где

a

b

2 =

2 = (2

-

)2 = 4

- 4

+

2 = 4

2 - 4

cosj +

2

c

c

a

b

a

ab

b

a

a

b

b

= 4×52 - 4×5× 7 × cos60o + 72 = 79,

откуда

c =

79 .

^

,

то

×

= 0(т.к. cos90o = 0), но важно и обратное

5.

Если

a

b

a

b

×

= 0, то

утверждение:

если

a

b

векторы взаимно

перпендикулярны.

×

× cosj = 0 возможно,

если: 1) cosj = 0,

Действительно,

равенство

a

b

= 0,

или 3)

= 0. В первом случае сразу получаем j = 90o .

или 2)

a

b

Второй (третий) случай означает, что вектор a (b) есть нулевой вектор, направление которого можно считать каким угодно, в частности

перпендикулярным b (a).

Сказанное

выше

можно

сформулировать

как

условие

перпендикулярности векторов:

векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное

произведение равно 0.

IV Выражение скалярного произведения через проекции

Пусть известны проекции

векторов на оси

некоторой

ДПСК:

= {a1,a2 ,a3},

= {b1,b2 ,b3}. Запишем разложения

a

b

этих векторов по

,

базису

i

,

j

k

:

a= a1i + a2 j + a3 k,

b= b1i + b2 j + b3 k.

Базисные векторы – единичные, значит, их скалярные квадраты равны 1; они взаимно перпендикулярные значит i × j = i × k = j × k = 0. Перемножая разложения почленно, получим

a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 . (3)

Это и есть формула, выражающая скалярное произведение векторов через их проекции на оси ДПСК.

Из формулы (3) можно получить ряд важных следствий. 1. Длина вектора a = {a1,a2 ,a3} вычисляется по формуле

a = a2 = a12 + a22 + a32 .

2. Угол φ между векторами a = {a1,a2 ,a3} и b = {b1,b2 ,b3}

определяется равенством

М,

О.

cosj =

a1b1 + a2b2 + a3b3

+ b2 .

a2 + a2

+ a2

× b2 + b

2

1

2

3

1

2

3

3.

Необходимым

и

достаточным

условием

перпендикулярности

= {a1,a2 ,a3} и

= {b1,b2 ,b3} является равенство

векторов

a

b

a1 × b1 + a2 × b2 + a3 × b3 = 0.

4.

Если ось и составляет с осями координат углы a, b ,g , то проекция

вектора

= {a1,a2 ,a3} на эту ось определяется равенством

a

при

= a1 × cosa + a2 × cos b + a3 × cosg .

а

(4)

Для доказательства (4) рассмотрим единичный вектор

e

одинаково

и.

= {cosa, cos b , cosg};

направленный

с

осью

Тогда:

1)

e

2)

при

= пр

. Но из определения

×

следует

a

a

a

b

е

=

×

.

пр

a

b

a

b

b

=

и воспользоваться формулой (3)

Остается в этой формуле положить

b

e

= 1.

и тем, что

e

= {a1,a2 ,a3}, то

a1 =

×

, a2 =

×

=

×

.

, a3

5.

Если

a

a

i

a

j

a

k

§8. Векторное произведение векторов

I Определение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор, который обозначается символом a ´ b и определяется условиями:

1) a ´ b = a × b × sinj (φ – угол между a и b);

2)a ´ b ^ a и a ´ b ^ b ;

3)тройка векторов ( a , b , a ´ b) является правой тройкой, т.е. из конца

a ´ b кратчайший поворот от a к b кажется совершающимся против часовой стрелки.

II Механический смысл

Если вектор b изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке М, а вектор a идет из некоторой точки О в точку то вектор a ´ b представляет собой момент силы b относительно точки

IIIСвойства векторного произведения

1.a ´ b = -b ´ a (антикоммутативность).

2.(la) ´ b = l(a ´ b) = a ´ (lb) (ассоциативность по отношению к

числовому множителю).

3.

´ (

´

) =

´

+

´

a

b

c

a

b

a

c

(дистрибутивность относительно

сложения).

Замечание 1.

Указанные

свойства дают право при векторном

перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, обращая внимание на порядок сомножителей.

||

Û

´

=

4.

a

b

a

b

0

(условие коллинеарности векторов).

как всегда

´

=

, то в векторной алгебре

Замечание 2. Так

a

a

0

понятие векторного квадрата не употребляется.

5.

Если векторы

a

и

b

приведены к общему началу, то модуль их

векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Пример. На векторах a и b построен параллелограмм Р1 а на диагоналях его построен еще один параллелограмм Р2. Как связаны площади этих параллелограммов?

Решение.

Диагонали Р1 –

это

сумма

и

разность

a

и

b

:

1 =

+

,

2

=

-

. Тогда площадь параллелограмма Р2:

d

a

b

d

a

b

S2 =

1 ´

2

=

(a

+

)´ (a

-

) =

´

-

´

+

´

-

´

=

d

d

b

b

a

a

a

b

b

a

b

b

=

-

´

-

´

-

=

- 2(a

´

)= 2×

´

= 2S1.

0

a

b

a

b

0

b

a

b

Итак, площадь параллелограмма Р2

в

два

раза

больше

площади

параллелограмма Р1.

IV Выражение векторного произведения через проекции

Приведем таблицу векторного умножения базисных векторов i , j , k , легко получаемую из рисунка

i

j

k

k

-

i

k

j

0

-

i

k

j

k

0

i

-

k

j

i

0

В столбце базисных векторов приведены первые множители векторного произведения, а в строке – вторые.

Пусть известны проекции векторов a и b в некоторой ДПСК: a = {a1,a2 ,a3}, b = {b1,b2 ,b3}. Разложим векторы по базису

a= a1i + a2 j + a3 k,

b= b1i + b2 j + b3 k

ивекторно перемножим эти “многочлены” почленно. Учитывая

приведенную таблицу, получим:

a ´ b = (a2 ×b3 - a3 ×b2 )i + (a3 ×b1 - a1 ×b3 )j + (a1 ×b2 - a2 ×b1 )k =

=

a2

a3

×

-

a1

a3

×

+

a1

a2

×

i

j

k .

b

b

b

b

b

b

2

3

1

3

1

2

В этой формуле нетрудно заметить формальное разложение некоторого определителя третьего порядка по элементам, например, первой строки. Итак, имеем

i

j

k

´

=

a1

a2

a3

.

a

b

b1

b2

b3

Пример. Найти

площадь

АВС,

где

А(1;1;1),

B(2;2;2) и

C(4;3;5).

= {1;1;1}

= {3; 2; 4}.

Решение.

Найдем

векторы

AB

и

AC

Перемножим их векторно:

´

=

i

j

k

=

×

1 1

-

×

1 1

+

×

1 1

= 2

-

-

1 1 1

.

AB

AC

i

j

k

i

j

k

3

2

4

2

4

3

4

3

2

Модуль этого вектора – это площадь параллелограмма, построенного на AB и AC , а половина этого модуля – искомая площадь треугольника:

SD ABC =	1	22 + (-1)2 + (-1)2 =	1	6.
	2		2

Вектор a = 2i - j - k обладает важным свойством, которое понадобится нам

в дальнейшем: этот вектор перпендикулярен	векторам	AB	и	AC	или,
другими словами, этот вектор перпендикулярен	плоскости	АВС.

§9. Смешанное произведение трех векторов

I Правые и левые тройки векторов

Если одновременно с заданием трех векторов сказано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим, то говорят, что задана упорядоченная тройка (или просто “тройка”) векторов. В тексте тройка записывается в порядке нумерации.

Тройка некомпланарных векторов называется правой, если, после приведения их к общему началу, из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму кажется совершающимся против часовой стрелки. Если же указанный поворот по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Тройка a , b , c

c

									c
	a		b
					b					a
		Правая						Левая

II Определение смешанного произведения и его смысл

Смешанным произведением векторов a , b , c называют скалярное

произведение векторов a и (b ´ c).

Можно показать, что получается тот же самый результат, если скалярно перемножить векторы (a ´ b) и c . Поэтому для смешанного произведения векторов a , b и c используют символ a × b × c

Смешанное произведение a × b × c равно объему параллелепипеда,

построенного на векторах a , b , c , взятому со знаком (+), если тройка

a , b , c – правая, а со знаком (–), если тройка левая.

III Выражение смешанного произведения через проекции

Пусть a = {a1,a2 ,a3}, b = {b1,b2 ,b3} и c = {c1,c2 ,c3}. Тогда

по определению имеем:

i

j

k

×

×

=

×(

´

) = (a1

+ a2

+ a3

) ×

b1

b2

b3

=

a

b

c

a

b

c

i

j

k

c1

c2

c3

æ

b

b

b

b

b

b

ö

= (a1i + a2

ç

2

3

1

3

1

2

÷

j + a3 k)×ç

c

2

c

×i -

c

c

j

+

c

c

2

k ÷

=

è

3

1

3

1

ø

= a ×

b2

b3

- a

×

b1

b3

+ a ×

b1

b2

.

1

c

2

c

2

c

c

3

c

c

2

3

1

3

1

В полученном выражении легко увидеть разложение определителя, составленного из проекций перемножаемых векторов. Итак, имеем формулу, выражающую смешанное произведение трех векторов через проекции сомножителей:

a1 a2 a3 a × b × c = b1 b2 b3 .

c1 c2 c3

IV Условие компланарности векторов
Векторы	a = {a1,a2 ,a3},	b = {b1,b2 ,b3} и	c = {c1,c2 ,c3}

компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е.

a1	a2	a3		= 0.
b1	b2	b3
c1	c2	c3

Действительно, если a , b и c компланарные, то a лежит в плоскости векторов b и c , а вектор b ´ c перпендикулярен этой плоскости (по

определению векторного произведения). Но тогда, b ´ c ^ a , а значит

a × (b ´ c)= 0.

С другой стороны, если определитель равен нулю, то одна из его строк есть линейная комбинация двух других, т.е. один из векторов есть линейная комбинация двух других, а значит лежит в плоскости этих двух векторов (заметим, что все векторы считаются приведенными к общему началу).

Пример. Даны вершины тетраэдра A(3;2;1), B(1;4;–2), C(3;6;–7)

и D(–4;–5;8). Найти его объём и длину высоты, опушенной из вершины D. Решение. Найдем векторы, идущие из вершины А тетраэдра по его

ребрам:

b= AB = {- 2; 2;-3},

c= AC = {0; 4; 6},

d = AD = {- 7;-7; 7}.

Найдем смешанное произведение этих векторов

- 2 2 - 3

a × b × c = 0 4 6 = -308. - 7 - 7 7

Объем параллелепипеда, построенного на a , b , c равен - 308 = 308 (знак

“–“ говорит о том, что эта тройка векторов левая). Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, составляет одну шестую часть объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах. Итак, искомый объем

равен V = 3086 » 51,33. С другой стороны,

V = 13 Sосн × H ,

оттуда H = 3VSосн . Площадь же основания найдем как половину модуля векторного произведения соответствующих векторов: если высота опускается из вершины D, то основание – это АВС. Находим векторное произведение:

i

j

k

´

=

- 2 2 - 3

= 24

+12

- 8

.

b

c

i

j

k

0

4

6

Тогда

Sосн =

1

242 +122 + (- 8)2 = 14.

2

Итак,

H = 3× 3086 14 = 11.

ЛЕКЦИЯ 6

Тема Прямая на плоскости

§1. Уравнение линии на плоскости

I Две задачи аналитической геометрии.

Буквами x,у,t,s,… будем обозначать переменные величины, а записью F(x,y) или F(t,s) – любое выражение с переменными, например: x2+y2–25=0, x2–4=0 (одна переменная x – это частный случай двух переменных).

Говорят, что числа x=x0 и y=y0 удовлетворяют уравнению F(x,y)=0, если при подстановке их в это уравнение вместо переменных оно становится верным числовым равенством. Например, x=4 и y=5 удовлетворяют уравнению x2+y2–25=0, а числа x=1 и y=3 этому уравнению не удовлетворяют. Конечно, среди множества уравнений встречаются такие, которым не удовлетворяют ни какие пары чисел (например, x2+y2+1=0) и такие, которым удовлетворяют любые пары значений переменных (например, sin2 (xy) + cos2 (xy) -1 = 0). Мы исключим из рассмотрения эти

крайности.

Кроме букв, обозначающих переменные, уравнение может содержать также и другие символы a, b, c,… которые представляют собой фиксированные (хотя бы и не указанные) числа. Их принято называть параметрами уравнения. Например, в уравнении ax+by–9=0 параметрами являются а и b.

Пусть на плоскость задана некоторая ДПСК и некоторая линия L. Пару чисел (x,y) мы интерпретируем как точку плоскости.

Определение 1. Уравнением данной линии L называется такое уравнение с двумя переменными F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на L.

С этим определением связана одна из задач аналитической геометрии на плоскости: по геометрическому (словесному) определению линии составить (говорят “вывести”) её уравнение. Здесь возможны две ситуации:

1)система координат дана; например, составить уравнение линии, все точки которой равноудалены от точек A(1;0) и В(0;1);

2)система координат не дана, требуется вначале выбрать её; например, составить уравнение линии, все точки которой равноудалены от двух окружностей, имеющих внешнее касание.

Очевидно, что во втором случае уравнение линии будет зависеть от выбранной системы координат.

Пример. Вывести уравнение линии, все точки которой находятся

вдвое ближе от точки А(2;0), чем от точки B(8;0).

Решение. Это типовая задача и мы решим её по определенной схеме. 1. Обозначим буквой М произвольную точку линии (говорят “текущую

точку”), т.е. точку с переменными координатами x и y (“текущие координаты”).

2. Условие, характеризующее все точки линии, запишем в математических символах:

2 × d(M , A) = d(M , B) . (1)

3.Выясним в последнем соотношении все величины, которые могут меняться при произвольных движениях точки M. Ими являются оба расстояния.

4.Выразим указанные величины через текущие координаты точки M

изаменим их в соотношении (1) этими выражениями. Имеем:

d(M , A) = (x - 2)2 + y2 , d(M , B)= (x - 8)2 + y2 .

Отсюда и из (1) находим:

2 × (x - 2)2 + y2 = (x - 8)2 + y2 . (2)

Это и есть искомое уравнение, ему удовлетворяют координаты любой точки, рассматриваемой линии, и не удовлетворяют координаты никакой другой точки плоскости. Задача решена. Мы можем только пожелать упростить уравнение (2). С этой целью возведем обе части в квадрат, раскроем скобки и

приведём подобные. В результате получим

x2+y2=16.

Замечание 1. В общем случае при возведении обеих частей уравнения в квадрат можем получить уравнение, не равносильное исходному. В нашем случае этого не произошло, ибо обе части уравнения (2) положительны.

Во многих задачах уравнение линии играет роль первичного данного, а сама линия рассматривается, как нечто вторичное.

Определение 2. Линия, определяемая данным уравнением вида F(x,y)=0, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Вторая задача аналитической геометрии состоит в том, чтобы по данному уравнению изучить свойства линии, построить её.

Пример. Выяснить, какую линию определяет уравнение x2–y2=0. Решение. Запишем уравнение в виде (x–y)(x+y)=0, что равносильно

совокупности уравнений

éx - y = 0,	Û	éy = x,
ê		ê
ëx + y = 0,		ëy = -x.

Первое из них определяет биссектрису первой и третьей четверти, а второе – биссектрису второй и четвертой четверти. Итак, исходное уравнение определяет биссектрисы координатных углов.

Замечание 2. Конечно, существуют уравнения, которые либо вообще не определяют никакого геометрического образа (x2+y2+1=0), либо