Modul_II

. Так как точка C(a, b) лежит на нормали, то еѐ координаты должны

удовлетворять уравнению нормали . Помимо этого, точка C(a, b) является центром окружности радиуса R, касающейся кривой в точке М,

поэтому	. Таким образом, для нахождения координат
центра	кругу кривизны необходимо решить систему уравнений:

, Решая которую найдем координаты цента C(a; b):

,		,		,

			. Подставляя сюда значение радиуса кривизны, получаем

				. Как видно из рисунка, для выпуклой функции
центр круга					лежит ниже точки	М, значит	,	поэтому
				. И,	наконец,	при	,	,

получаем	(5).

df. Множество точек – центров кривизны для данной линии называется эволютой этой линии, а сама линия для своей эволюты – эвольвентой.

Эвольвента (от лат. evolvens — разворачивающий) плоской линии L — это линия L* , по отношению к которой L является эволютой. Иными словами, это кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия L задана уравнением	, то	уравнение
свойства еѐ эвольвенты имеет вид		, где α —
произвольный параметр.
Для параметрически заданной кривой	уравнение	эвольвенты

61

имеет вид

П 1. Найти кривизну и радиус кривизны параболы							. Составить
уравнение эволюты.
Решение. Т.к. для параболы				и	, то подставляя		полученные
выражения в формулы (1,4,%) находим кривизну параболы
			и, соответственно, радиус кривизны					.

Уравнение эвольвенты для параболы имеет вид:		,

. Для записи уравнения эволюты в привычном виде введем новые

обозначения:	и		. В
результате получаем	параметрическое
уравнение эволюты			.

Замечание. В технике эвольвенту окружности применяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колѐс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O1 и O2, очерчены по эвольвентам, а линия

контакта зубьев при некотором взаимном положении колѐс проходит через точку К. Тогда в точке К нормали КМ1 и КМ2 к эвольвентам Э1 и Э2 будут лежать на отрезке М1М2 общей касательной к окружностям радиусов R1 и R2 соответственно (эти

62

окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колѐс точка К перемещается вдоль отрезка М1М2 (новое положение эвольвент показано на рисунке штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М1М2.

Если	угловая	скорость	ведущего колеса	постоянна, то постоянна и
скорость	движения точки К по линии, называемой линией зацепления. Но
тогда постоянна и		угловая	скорость	ведомого колеса. Таким

образом, эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения зубчатой

передачи. Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O1O2, вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колѐс не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колѐс вообще не могут войти в зацепление.

Эвольвентное зацепление предложено математиком Л. Эйлером.

Лекция 22. Исследование функции и построение ее графика

22.1Асимптоты

Очень часто необходимо исследовать поведение кривой , когда она неограниченно возрастает или убывает. При этом важным частным случаем является тот, когда точка кривой неограниченно приближается к некоторой прямой.

df. Прямая называется асимптотой кривой			, если при
удалении точки М кривой на бесконечность расстояние d от точки до
асимптоты стремится к нулю.
1)	Вертикальные асимптоты. Если в точке		функция терпит
	разрыв II рода (	или	), то
	прямая	является вертикальной асимптотой.
2)	Наклонные асимптоты. Пусть кривая		имеет наклонную
асимптоту	. Определим коэффициенты

и. Возьмем на кривой произвольную точку М(х,у)

ииз которой опустим перпендикуляр на асимптоту. Тогда –расстояние от кривой до асимптоты.

Из прямоугольного	катет	,
и, согласно определения

63

	Т.к.	–угол наклона асимптоты к
оси Ох, и у прямой он постоянен, то		,
. Как видно из рисунка,		.
Поэтому
	.	(1)

В результате, для определения двух неизвестных и мы получили только одно уравнение. Хотя для нахождения двух неизвестных необходимо два уравнения, свойство бесконечности позволяет найти их только из одного уравнения. Для этого вынесем за скобки

													,												,
													. Очевидно, ноль может получиться только при
умножении				бесконечности									на	ноль,	т.е.									,
												,					.									(2)
Подставляя					полученное								выражение			в соотношение (1),									получаем
													,
																										(3)

Замечание. Если хотя бы один из пределов (2,3) не существуют, функция наклонных асимптот не имеет.

П1. Найти асимптоты к кривой . 1) Вертикальные асимптоты:

D(y): . Т.к. это элементарная функция, то она непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва не имеет и поэтому вертикальных асимптот нет.

2) Наклонные асимптоты:

;

64

;

.

Таким образом эта функция имеет две наклонные

асимптоты:		при	и
при		.
П2. Найти асимптоты к кривой			.
1)	Вертикальные асимптоты:
D(y):	. Т.к. это элементарная функция, то она непрерывна на всей
числовой оси, за исключением точки			, где функция терпит разрыв. Чтобы

выяснить характер разрыва, найдем односторонние пределы:

;

.

Значит функция в точке функция терпит разрыв ІІ рода, и прямая является вертикальной асимптотой.

2) Наклонные асимптоты:

,

,

,

.

Т.к.

и

, то кривая имеет одну горизонтальную асимптоту при

:

.

22.2Общий план исследования функций и построения графиков

Под «исследованием функции» обычно понимается разыскание:

1)естественной области существования функции;

2)точек разрыва функции;

3)интервалов возрастания и убывания функции;

65

4)точек максимума и минимума, а также максимальных и минимальных значений функции;

5)областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба;

6)асимптот графика функции.

На основании проведенного исследования строится график функции (иногда целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием).

Замечание 1. Если исследуемая функция – четная, т.е. такая, что при изменении знака аргумента значение функции не изменяется, т. е. если

тo достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции. При

отрицательных значениях аргумента график функции строятся на том основании, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Замечание 2. Если функция — нечетная, т. е. такая, что при изменении аргумента функция меняетзнак, т. е. если

то эту функцию достаточно исследовать при положительных значен и я х аргумента. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

П1. Построить график эллипса:				.
Т.к. переменная х входит в уравнение в квадрате, то если точка Р(х;у)					,

то точка Р(– х; у) также лежит на эллипсе. Следовательно, ось Оу является осью симметрии эллипса. Аналогично, т.к. у входит в уравнение в квадрате, то точка Р( х; – у) также лежит на эллипсе. Следовательно, ось Ох также является осью симметрии эллипса. Таким образом, оси координат являются осями симметрии

эллипса и нам достаточно построить график

в первой

четверти

(х,у

.

Разрешим уравнение

относительно у:

. Т.к. у

, то

.

Таким образом, нам необходимо исследовать и построить график функции

при х

:

а) D(y):

,

.

б) Т.к. функция

– элементарная, то она непрерывна в своей

ОДЗ:

, точек разрыва не имеет.

в)

.

Найдем критические точки:

,

;

–

, –

,

,

,

. Очевидно, что

для

.

66

г)

–

–

. Очевидно,

что

–

для

.

x

0

(0; a)

a

д) Т.к. в точке х =

0

,

то касательная в этой

0

–

точке

–

оси Ох и оси Оу, а в точке

–

, то касательная

y

b

0

в этой точке оси Оу и

оси Ох:

x

a (a;

)

Используя симметрию относительно оси Оу, получаем:

и, наконец, отражая график относительно оси Ох получаем график эллипса:

П 2. Построить график гиперболы:				.
Т.к. переменная х входит в уравнение в квадрате, то если точка Р(х;у)					, то

точка Р(– х; у) также лежит на гиперболе. Следовательно, ось Оу является осью симметрии гиперболы. Аналогично, т.к. у входит в уравнение в квадрате, то то точка Р( х; – у) также лежит на гиперболе. Следовательно, ось Ох также является осью симметрии гиперболы. Таким образом, оси координат являются осями симметрии гиперболы и нам достаточно построить график в первой четверти

(х,у

. Разрешим уравнение относительно у:

y2

x2

1

b2

b2 x2 a2

a2

y2

. Т.к. у

, то

.

a2

Таким образом,

нам необходимо исследовать и построить график функции

при х

:

а)

D(y):

,

,

.

б) Т.к. функция

– элементарная, то она непрерывна в своей

ОДЗ:

, точек разрыва не имеет и, соответственно, вертикальных

асимптот нет.

в)

=

.

Найдем критические точки:

,

;

–

,

–

,

,

,

. Очевидно, что

для

.

67

г)						–	–
							–
Очевидно, что для							.

д) Определим асимптоты к графику функции:

+

. –

y 0

b

b

x 2

a 2

x 2

b

x

b

b

a

a

b

2

2

k lim

lim

lim

, b lim

x

a

x =

x

x

x

x

x a x

a

x a

a

lim

b

x 2 a 2

x 2

lim

ab

1

0 ,

.

x

a

x 2 a 2 x

x

x 2 a 2 x

Т.к. в в точке

, то касательная в этой точке

оси Оу и

оси

Ох (Рис.1). Используя симметрию относительно оси Оу, получаем рис.2;

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

и, наконец, отражая график относительно оси Ох получаем график гиперболы рис.3

Лекция 23
П 3. Построить график функции (кривая Гаусса):			.
а) D(y):	.
б) Т.к. функция		– элементарная, то она непрерывна на всей числовой
оси и график вертикальных асимптот не имеет.
в)		.	,	. Т.к.
	, то решением уравнения является		,
				68

г)

– .

,

–

,

–

,

– точки

перегиба

x

–

–

–

–

0

+

+

0

–

–

+

0

–

–

0

+

y

1

max

д) Наклонная асимптота:

е)

k lim

e x2

e

0

0

b lim e x2

0 x e 0

x

x

x

П 4. Построить график функции

.

а) D(y):

.

б) Т.к. функция

–

– элементарная, то она непрерывна на всей

числовой оси и график вертикальных асимптот не имеет.

–

–

в)

–

–

.

–

–

, –

,

.

,

,

–

.

г)

–

–

–

–

69

–

.

–

–

–

x

–

4

–

+

0

–

–

–

–

–

+

y

3,175

min

max

д)

3

6x2 x3

3

x3

x

k lim

lim

lim

1

x

x

x

x

x

x

b lim 3		x lim		6x 2 x3		x3
	6x 2 x3
					2 x3
x		x 3
				6x 2 x3		6x 2 x3

6x2

6x2

lim

lim

2

,

2

2

xx x

2

x3

6x2 x3

x2

x

3

6x2 x3

x x

.

П 5. Построить график функции

.

а)

,

.Т.к. функция

– элементарная, то она

непрерывна в своей ОДЗ и терпит разрыв в точке

. Выясним, какого рода

этот разрыв:

,

,

график функции имеет вертикальную

асимптоту

.

б)

.

,

,

.

,

.

в)

.

x

–

(1;2)

70