- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл: основные определения и теоремы
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Основные правила интегрирования
- •§4. Основные методы интегрирования
- •I Непосредственное интегрирование
- •II Метод замены переменной
- •II.1 Подведение под знак дифференциала
- •II.2 Метод подстановки
- •III Интегрирование по частям
- •§5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •§6. Интегрирование рациональных функций
- •I Рациональные функции
- •1) ; 2); 3); 4).
- •II Интегрирование простейших дробей
- •III Интегрирование правильных рациональных дробей
- •§7. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •I Интегралы вида
- •II Интегралы вида
- •V Интегралы вида
- •III Квадратичные иррациональности: общий случай,
- •IV Интегрирование биномиальных дифференциалов:
–
Тема НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1. Первообразная и неопределенный интеграл: основные определения и теоремы
В первом семестре мы подробно изучали операцию дифференцирования, которая играет важную роль, как в самом математическом анализе, так и в его приложениях. Не менее значительную роль играет и обратная операция – восстановление функции по ее производной. Эту операцию называют интегрированием.
Определение 1. Функция называется первообразной для функциина данном промежутке, если на этом промежутке выполняется равенство:
.
Например, для первообразная, ибо.
Всякий раз, когда математики вводят в рассмотрение операцию, обратную некоторой известной операции, возникают два вопроса:
1) всегда ли осуществима эта обратная операция?
2) однозначен ли результат этой операции?
Ответ на первый вопрос дает теорема существования первообразной, доказательство которой будет дано в теме «Определенный интеграл».
Теорема 1. Всякая непрерывная функция имеет первообразную.
Что касается второго вопроса, то ответ на него отрицательный: если у функции есть первообразная , то любая сумма , гдеconst будет первообразной для ,ибо , а. Интересен и такой пример: для функции первообразными являются функции ,и.Но в бесконечном множестве всех первообразных для любой функции существует определенный «порядок», устанавливаемый следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть – некоторая первообразная для функции на промежутке .Тогда любая другая первообразная имеет вид ,где C – некоторая постоянная.
Доказательство. Вспомогательную функцию рассмотрим на промежутке и применим к ней теорему Лагранжа:
.
Но .Поэтому , т.е..Считая точку фиксированной, а точку – произвольной, получим const. Отсюда и следует, что , где – некоторая постоянная.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .В этом обозначении: символ – знак интеграла, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.
Итак,
,
где , а – некоторая постоянная.
Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из определения неопределенного интеграла:
, .
Неопределенный интеграл – это множество функций, и последнее равенство надо понимать так: производная каждой функции из этого множества совпадает с подынтегральной функцией.
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл – это семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых вдоль оси .
Примем (пока без доказательства) два полезных свойства первообразных: 1) каждая первообразная нечетной функции – четна; 2) одна из первообразных четной функции – нечетна.
§2. Таблица основных интегралов
Равенство , равносильно равенству. Поэтому таблица интегралов – это таблица производных, прочитанная справа налево с некоторыми упрощениями и дополнениями.
1.,;;.
2..
3.;.
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12.,.
13.,.
14.,,– “высокий” логарифм.
15.,, – “длинный” логарифм.
Всякую формулу интегрирования легко доказать дифференцированием. Например, формула 13:
.
Для простоты пишут вместоивместо.
Замечание. Учитывая свойства аркфункций, в формуле 12 вместо можно писать, а в формуле 13 вместописать.