- •Курс лекций
- •П р е д и с л о в и е
- •Элементы линейной алгебры Лекция № 1. Тема 1 : Определители
- •1.1. Определители второго и третьего порядков
- •1.2. Основные свойства определителей
- •1.3. Вычисление определителей
- •Лекция № 2. Тема 2 : Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Правило Крамера
- •Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы
- •3.1. Основные виды матриц
- •3.3. Обратная матрица
- •3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •. Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений
- •4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
- •1.1. Определение вектора
- •Лекция № 6.
- •1.4. Способы задания векторов
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •Тема 2: Скалярное произведение
- •2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
- •2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
- •Лекция № 7. Тема 3 : Векторное произведение
- •3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
- •3.2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •3.3.* Механический смысл векторного произведения
- •Тема 4 : Смешанное произведение
- •4.1. Смешанное произведение и его основные свойства
- •4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами
- •Аналитическая геометрия Лекция № 8. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
- •1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
- •1.2. Параметрические уравнения линий
- •1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
- •1.4. Преобразование системы координат.
- •Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости
- •2.1. Уравнения прямой линии
- •2.2. Угол между двумя прямыми
- •2.3. Взаимное расположение двух прямых
- •Лекция № 10. Тема 3 : Линии второго порядка
- •3.1. Эллипс
- •3.2. Гипербола
- •3.3. Парабола
- •3.4. Классификация линий второго порядка
- •Лекция № 11. Тема 4 : Плоскость
- •4.1. Уравнение плоскости
- •4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору
- •4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •4.4. Угол между двумя плоскостями
- •4.5. Расстояние от точки до плоскости
- •Тема 5 : Прямая в пространстве
- •5.1. Уравнения прямой
- •Лекция № 12.
- •5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5.3. Угол между двумя прямыми
- •5.4. Расстояние от точки до прямой
- •5.5. Угол между прямой и плоскостью
- •5.6. Пересечение прямой с плоскостью
- •Лекция № 13. Тема 6 : Поверхности
- •6.1. Уравнение поверхности
- •6.2. Поверхности второго порядка
- •Введение в анализ функций одной переменной Лекция № 14. Тема 1 : Функции
- •1.1. Определение функции
- •1.2. Способы задания функции
- •1.3. Элементарные функции
- •Лекция № 15. Тема 2 : Пределы
- •2.1. Предел последовательности и переменной величины
- •2.2. Предел функции
- •Лекция № 16
- •2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •2.4. Теорема о пределе функции
- •2.5. Основные теоремы о пределах
- •2.6. Раскрытие неопределённостей
- •Лекция № 17
- •2.7. Первый стандартный предел
- •2.8. Число е.
- •2.9. Второй стандартный предел
- •2.10. Сравнение б.М.В.
- •Лекция № 18. Тема 3 : Непрерывность
- •3.1. Определение непрерывной функции
- •3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •3.3. Классификация точек разрыва функции
- •3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференциальное исчисление Лекция № 19. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •Лекция № 20.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 22. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 23.
- •6.5. Выпуклость функции и точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 24.
- •6.8*. Кривизна кривой
Министерство образования и науки, молодежи и спорта
Донецкий национальный технический университет
Улитин Г.М., Гончаров А.Н.
Курс лекций
по высшей математике
Учебное пособие
Донецк ДонНТУ 2011
УДК 51 (075.8)
ББК 22.11я73
У 48
Рекомендовано к печати Ученым Советом
ДонНТУ (протокол № 3 от 18.03.11)
Улитин Г.М., Гончаров А.Н. Курс лекций по высшей математике. Учебное пособие (для студентов всех специальностей). 2-е изд. Донецк, ДонНТУ, 2011. – 351 с.
В учебном пособии в соответствии с программой системно изложены лекции для первого и второго курсов обучения высшей математике, которые включают разделы: „Линейная и векторная алгебра”, „Анали-тическая геометрия”, „Введение в анализ функции одной переменной”, „Дифференциальное исчисление”, „Интегральное исчисление”, „Функции нескольких переменных”, „Дифференциальные уравнения”, „Ряды”, „Крат-ные интегралы и элементы теории поля”, „Теория вероятностей и элементы математической статистики”, „Теория функций комплексной переменной”, „Операционное исчисление”.
Краткость лекционного материала в пособии сочетается с вполне приемлемым уровнем строгости и полноты материала. Изложение сопро-вождается решением достаточного количества примеров и задач.
Для студентов высших технических учебных заведений всех специальностей.
Рецензенты: Герасимчук В.С., доктор физ.-мат. наук, профессор, кафедра „Математическая физика” НТУ „КПИ”
Левин В.М., доктор технических наук, профессор, зав.кафедрой высшей и прикладной математики и информатики ДонНАСА
Лесина М.Е., доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики им. В.В.Пака ДонНТУ
Донецкий национальный технический университет
Улитин Г.М., Гончаров А.Н.
П р е д и с л о в и е
В связи с уменьшением аудиторных занятий по высшей математике в технических университетах возникла необходимость более компактного изложения программного материала.
Настоящий курс лекций написан на основе чтения авторами лекций на механическом факультете ДонНТУ, поэтому некоторые рассмотренные вопросы и примеры носят характер приложений к задачам механики. Их количество незначительно и они могут либо совсем не рассматриваться, либо могут быть заменены на соответствующие задачи согласно направ-лениям подготовки студентов. Такие вопросы, а также примеры повышен-ной трудности отмечены знаком *.
Излагаемый материал в данном пособии, по возможности, имеет вид самостоятельных блоков, т.е. каждая лекция имеет завершенную логическую структуру, например, “Определители“, “Кривые второго порядка“, “Непре-рывность функций“ и т.д. Это создаёт для студентов более благоприятные условия для повторения пройденного материала, а также для усвоения пропущенных лекций.
Курс рассчитан на три-четыре семестра при лекционной нагрузке 2-3 часа в неделю. При меньшей нагрузке ряд тем можно не рассматривать, если они не являются основными для выпускающей кафедры, либо вынести их на самостоятельное изучение. Естественно, некоторые темы можно объ-единять или сокращать. Однако все такие преобразования необходимо вы-полнять, не нарушая целостности излагаемого материала. В частности, для отдельных экономических специальностей можно рассмотреть дополни-тельные темы, как например, “Линейные преобразования“, ”Квадратичные формы“, которые можно рассмотреть за счет сокращения некоторых других разделов, например, “Аналитическая геометрия“, „Ряды”, “Кратные инте-гралы“ и исключить ряд приложений к механике и геометрии.