Теория функций комплексной переменной Лекция № 70. Определение функции комплексной переменной

1.1. Комплексные числа и действия над ними

Вначале введём понятие комплексного числа.

Определение 1. Комплексным числом называется выражение , гдех и у действительные числа, а  мнимая единица.

Такая форма представления комплексного числа называется алгеб-раической формой записи комплексного числа, при этом используются обозначения:  действительная часть комплексного числа,  мнимая часть комплексного числа.

Из этого определения следуют правила действия над комплексными числами:

Если и, то

, если

Определение 2. Комплексные числа иназываютсякомплексно сопряженными.

Легко показать, что .

Тогда

Пример 1.

1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи

комплексного числа

Между комплексными числамии точкамина плоскости можно установить взаимнооднозначное соответствие. В этом случае плоскостьназываетсякомплексной плоскостью, координат-ные оси  соответственно действительной осью и мнимой осью.

Тогда каждому комплексному

числу ставится ву

соответствие точка

или её радиус-вектор .

О х

При этом полярные координаты точки, изображающей комп-лексное число, называются соответственномодулем и аргументом комп-лексного числа и обозначаются и.

Так как , то получимтригонометрическую форму записи комплексного числа

(1)

Очевидно, если , то аргумент имеет бесконечно много значений, получаемых по формуле, гденазывают главным значением аргумента и по определению полагают. Два комплексных числа будут равны, если и.

Если воспользоваться формулой Эйлера , то фор-мула (1) примет вид (показательная форма записи комплексного числа)

(2)

Такие формы представления комплексных чисел очень удобны для действий над ними. Так непосредственно можно проверить следующие правила:

(3)

(4)

Из формулы (3) умножения комплексных чисел следует правило возведения в степень

(5)

Из правила (5) с учетом определения корня п-ой степени из числа z получаем и, если, а, то будут справедливы равенства, из которых следуют соотношения.

Таким образом, приходим к правилу извлечения корней из комплекс-ных чисел

, (6)

где, для того чтобы эти значения были различными, должно .

Пример 2. Найти .

Представим число i в тригонометрической форме (1)

.

Тогда по формуле (6) получаем два различных корня:

.

Путем возведения полученных корней в квадрат легко убедится в правильности полученного результата.

1.3. Определение функции комплексной переменной

Определение 3. Множество точек комплексной плоскости, которые удовлетворяют неравенству , называется-окрестностью точки.

Геометрически оно представляет собой круг радиуса с центром в точке, так как

.

Определение 4. Множество D точек комплексной плоскости называ-ется областью, если:

1. Каждая точка принадлежит D с некоторой окрестностью (свойство открытости);

2. Любые две точки, принадлежащие D, можно соединить непрерывной линией, все точки которой принадлежат D (свойство связности).

Определение 5. Область D с присоединенной границей называется замкнутой областью и обозначается .

Например,  замкнутая область (круг).

Определение 6. Область D называется односвязной, если любая замк-нутая кривая, полностью принадлежащая области, может быть стянута в точку с помощью деформации без выведения из границ области.

y

x

Здесь область - односвязная, а области,и- много-связные.

Определение 7. В области D определена функция комплексной пере-менной , если каждой точкепо определённому правилу или закону поставлены в соответствие одна или несколько точек.

Геометрически это выглядит так

y v

D w

z G

O x O и

В первом случае функция называется однозначной, а во втором – многозначной.

Если , а, то для определенияw достаточно задать две функции и.

Определение 8. Функция , ставящая в соответствие точкеодну или несколько точек, называется обратной функцией к функции.

Пример 3. Рассмотрим функцию у

, заданную в области D :D

Найти область G, в которую данная О 1 х

функция преобразует область D.

В этом случае

Подставим в эту систему уравнение границы областиD (гипотенуза треугольника) и тогда

Получили параметрические уравнения линии (часть границы области G ). Если исключить параметр х, то уравнение первой части границы области G примет вид .

Подставим в систему уравнение границы областиD (катет треугольника):

И, наконец, аналогично поступим со следующей границей областиD :

Изобразим все полученные границы области G на рисунке.

v

2

y

1 w

z G

O 1 x 1 O 1 u

Таким образом, данная функция отображает прямоугольный треуголь-ник D на криволинейный треугольник G.