Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

cd495 / cd330 / МОДУЛЬ-4 / ЭКСТРЕМУМ-ФНП-2лекц-35-36

.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
335.87 Кб
Скачать

157

Лекция № 35. Тема 4 : Экстремум функции нескольких переменных

4.1. Необходимые условия экстремума

Определение 1. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если для любой точки выполняется неравенство . Максимум и минимум называются экстремумами функции.

Возьмем точку , дадим в ее окрестности приращения аргументам , тогда приращение функции

и, если , то точка - точка максимума, если  точка минимума. z

Пример 1. Рассмотрим функцию

и точку (см. рис.).

В этой точке имеем

 точка минимума. O y

x

Теорема (необходимые условия экстремума). Если функция достигает экстремума в точке , то в этой точке частные производные и равны нулю, или не существуют.

Дадим переменной у определённое значение у0. Тогда будет функцией одного переменного х. При значении она имеет экстремум, поэтому частная производная , либо не существует.

Аналогично доказывается и для частной производной .

Это условие не является достаточным, что видно из примера.

Пример 2. Рассмотрим функцию .

Тогда

В этой точке полное приращение функции , откуда следует, что в её окрестности принимает как положительные, так и отрицательные значения. Экстремума нет.

Определение 2. Точки, в которых частные производные равны нулю либо не существуют, называются критическими. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными.

Замечание. Из определения градиента следует, что в стационарных точках градиент является нулевым вектором.

4.2. Достаточные условия экстремума

Теорема. Если в некоторой окрестности стационарной точки функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, то если:

1.  экстремум есть, при этом, если , а при .

2.  экстремума нет.

3.  ответа нет, требуются дополнительные исследования.

Здесь ; ; .

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Из данной системы, получаем ,

т.е. найдены две стационарные точки: .

В точке ,.

В точке экстремума нет.

Пример 4*. Канава для стока воды имеет в сечении равнобочную трапецию площадью S. Требуется определить размеры канавы, при которых были бы минимальные потери жидкости.

h

a

Если потери обозначить через Q, то они пропорциональны смоченному периметру сечения, т.е.

, где .

Три переменные связаны зависимостью

.

Таким образом, мы определили функцию

,

которую необходимо исследовать на экстремум. Имеем

;

;

.

Используя достаточные условия экстремума, можно показать, что эти значения определяют точку минимума.

4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

в замкнутой области

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений поступают, как и для случая функции одной переменной, а именно:

1. Определяют значения функции в критических точках, принадлежащих области;

2. Определяют наибольшие и наименьшие значения функции на границе области;

3. Из полученных значений выбирают наибольшее и наименьшее.

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D :

у

А

3

1 О 1 3 х

С В

Область D  это треугольник АВС.

Определяем критические точки, принадлежащие области D

На границе .

.

Вычисляем значения функции на концах отрезка АВ

.

На границе .

.

Вычисляем значения функции на концах отрезка АС

.

На границе .

т.е. получили точку B.

Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

Лекция № 36

4.4. Условный экстремум

Определение 1. Условным экстремумом функции называ-ется экстремум, достигнутый при условии, что переменные х, у связаны уравнением

Геометрически задача состоит в том, чтобы на этой линии найти такую точку М0, в которой значение функции было наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими значениями на этой линии в некоторой окрестности точки М0. Такие точки называются точками условного (относительного) экстремума.

Рассмотрим геометрический смысл этого понятия на примере.

Пример 1. Графиком функции является верхняя полу-сфера. Рассмотрим прямую линию

z

O y

M0

x

Для точек этой прямой, в силу симметрии, функция достигает макси-мального значения в точке . Это и есть точка условного макси-мума на линии.

Теперь сформулируем задачу, которую предстоит решить. Требуется найти точки условного экстремума функции при условии которое называется уравнением связи.

По правилу нахождения полной производной от функции , получим

(1)

В точках экстремума формула (1) принимает вид

(2)

Аналогично поступаем с уравнением связи

. (3)

Умножим выражение (3) на неопределённый множитель , сложим с выражением (2) и проведём группировку членов

. (4)

Подберём множитель так, чтобы в выражении (4) выполнялось

.

Тогда получим, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения:

(5)

Из системы (5) определяются х, у и множитель .

Условиям (5) можно придать другую форму, если ввести так назы-ваемую функцию Лагранжа

,

тогда система (5) примет вид

(6)

Рассмотренный приём называется методом множителей Лагранжа. Системы (5) или (6) представляют собой необходимые условия условного экстремума.

Достаточные условия существования условного экстремума опреде-ляются по знаку определителя

. (7)

Если в точке , то в этой точке условный максимум.

Если в точке , то  условный минимум.

Если  ответа нет, требуются дополнительные исследования.

Метод множителей Лагранжа легко распространить для случая функции п переменных с т связями.

Пусть требуется найти условный экстремум функции при условиях

Для этого составляется функция Лагранжа

и приравниваются к нулю её частные производные

. (8)

Из системы (8) определяются и вспомогательные мно-жители .

Пример 2. Найти условный экстремум функции , если уравнение связи .

Составим функцию Лагранжа

.

Получим систему

Легко получить решение данной системы: .

Получили точку . Воспользуемся достаточными условиями экстремума. Вычислим в этой точке определитель (7)

т.е. М0  точка условного максимума, .

4.5. Метод наименьших квадратов

Пусть в результате опыта установлено, что значениям величины х равным соответствуют значения величины у: . Требуется установить вид функции , которая наилучшим образом описала бы полученную из опыта зависимость.

В функциональную зависимость общего вида, которая определяется из сути опыта, включим параметры: а, b, с, , которые подберём таким образом, чтобы сумма квадратов разностей значений экспериментально полученных и вычисленных по формуле была наимень-шей, т.е.

Необходимые условия:

дают систему для определения параметров а, b, с, … .

Рассмотрим случай, когда аппроксимация (приближение) эксперимен-тальных данных осуществляется линейной зависимостью .

Тогда

и

т.е. система для определения коэффициентов а, b принимает вид

(9)

Если ввести обозначения:

то система (9) приводится к виду

(10)

Решая систему (10), получим

. (11)

Пример 3. В результате опыта получены следующие результаты

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

y

0,95

1,25

1,42

1,50

1,85

Определить зависимость величины y от x, считая её линейной.

Здесь

Тогда по формулам (11) получаем