204

Числовые ряды Лекция № 44. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости

1.1. Числовой ряд и его сумма

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

(1)

которое называется числовым рядом. Числа называютсячленами ряда, а выражение  общим членом ряда.

Пример 1. Найти общий член ряда .

При ,

при ,

при

Нетрудно заметить, что общий член ряда .

Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом

.

Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

;

;

;

…

.

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.

Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой числового ряда.

Определение 3. Числовой ряд называетсясходящимся, если , где числоназываетсясуммой ряда, и пишут . Если

предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд .

Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму представим общий членрядав виде суммы простейших дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В

Отсюда находим, что , а.

Следовательно, общий член ряда имеет вид

Тогда частичную сумму можно представить в виде

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид

.

Вычислим сумму ряда

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд

 бесконечную геометрическую прогрессию.

Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна .

Тогда имеем следующие случаи:

1. Если , то

2. Если , то, т.е. ряд расходится.

3. Если , то ряд имеет види тогда, т.е. ряд расходится.

4. Если , то ряд имеет види тогда, если частичная сумма имеет четное число членов и, если нечётное число, т.е.не существует, следовательно, ряд расходится.

Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой называетсяостатком ряда и обозначается , т.е..

Так как для сходящихся рядов , то,

т.е. будет б.м.в. при. Таким образом, значениеявляется приближенным значением суммы ряда.

Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

1. Если ряды исходятся, т.е. имеют соответственно суммыS и Q, то сходится ряд , где, а его сумма равнаA S + B Q.

2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при , т.е..

Действительно, имеем

,

тогда , что и требовалось доказать.

Следствие. Если же , то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.

Определение 5. Ряд вида называется гармоническим.

Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как .

В то же время он является расходящимся. Покажем это

Таким образом, гармонический ряд расходится.

Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами

2.1. Признаки сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1)

(2)

Признак сравнения. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется неравенство и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Аналогично, еслии ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Пусть исоответственно частичные суммы рядов (1-2), аQ  сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем

.

Так как и ограничена, то, т.е. ряд (1) сходится.

Аналогично доказывается и вторая часть признака.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

.

Сравним с членами ряда .

Начиная с , имеем.

Так как ряд сходится, то данный ряд также сходится.

На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего.

Предельный признак сравнения. Если для двух рядов (1-2) с положи-тельными членами выполняется условие , то

из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд ,

который является расходящимся.

Тогда

а, следовательно, наш ряд расходится.

Замечание. Часто для сравнения удобно использовать так называемый обобщённый гармонический ряд , который, как будет показано ниже, сходится прии расходится при.