148

Функции нескольких переменных

Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные

1.1. Определение функции нескольких переменных

Остановимся, в основном, на случае функции двух переменных. Определения и полученные результаты легко распространить и на случай большего числа переменных.

Рассмотрим плоскость Оху  множество всех точек .

Определение 1. Множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству, называетсяокрест-ностью точки и обозначается.

Определение 2. Областью D называется множество точек, обладающих свойствами:

1. Любая точка принадлежит ей и вместе с некоторой- окрестностью (свойство открытости);

2. Любые точки иможно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащейD (свойство связности).

Линия, ограничивающая данную область, называетсяграницей. Если к области отнести и точки границы, то такая область называется замкнутой.

D

М₁ М₂

Определение 3. Если каждой паре значений двух независимых переменных из некоторой областиD соответствует по некоторому правилу или закону определённое значение величины z, то z называется функцией двух переменных в области D, и пишут .

Аналогично, как и для функции одной переменной определяется многозначная функция нескольких переменных.

Пример 1. Закон Ома:  функция двух переменных.

Пример 2. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении:  функция трёх переменных.

Определение 4. Множество значений , при которых определена, называетсяобластью определения функции.

Пример 3. Найти область определения функций:

1. , т.е. областью определения данной функции является круг.

2. , т.е. область определения первая и третья координатные четверти без координатных осей.

Геометрически функцию двух переменных можно представить как поверхность, уравнение которой . Например, уравнение функциигеометрически представляет параболоид.

1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Точка стремится к точке, если расстояние между этими точками стремится к нулю, т.е.. Это очевидно эквивалентно: .

Определение 5. Число А называется пределом функции при стремлении точки, если, для всех точек из которой выполняется неравенство, и пишут

или .

Аналогично устанавливается понятие о бесконечном пределе функции. В случае, когда или, неравенствозаменяется неравенствами вида: илисоответственно, гдеМ  произвольное положительное число, и пишут

или .

Определение 6. Функция имеет пределом числоА при иесли, чтоприи пишут

.

Определение 7. Функция называется непрерывной в точке М₀, если имеет место равенство

.

Если в некоторой точке условие непрерывности не выполняется, такая точка называется точкой разрыва.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию в точке

Рассмотрим значения функции вдоль прямых при

.

Таким образом, функция принимает разные значения в зависимости от значения k. Точка является точкой разрыва.

Замечание. Свойства непрерывной функции двух переменных аналогичны соответствующим свойствам функции одной переменной.