- •Лекция № 28. Тема 2 : Определённый интеграл
- •2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
- •2.2. Определение определённого интеграла
- •2.3. Основные свойства определённого интеграла
- •2.4. Интеграл как функция верхнего предела
- •Лекция № 29
- •2.7. Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Лекция № 30. Тема 3 : Приложения определённого интеграла
- •3.1. Площадь плоской фигуры
- •3.2. Длина дуги плоской кривой
- •3.3. Площадь поверхности тела вращения
- •3.4. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Лекция № 31
- •3.5. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам физики
- •Тема 4 : Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами)
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций)
Лекция № 28. Тема 2 : Определённый интеграл
2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
1. Задача о площади криволинейной трапеции.
Пусть на задана функция. Требуется найти пло-щадьS фигуры, образованной осью Ox, прямыми: играфиком функции (криволинейная трапеция).
у
x
О а хi-1 xi b
Разобьём нап частей: . На каждом участке разбиениявыберем точкуи составим сумму
, где . (1)
Тогда , так какSп геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигуры. Если теперь перейти к пределу в формуле (1), когда , то получим значение площади криволинейной трапеции, т.е.
.
2. Задача о массе тела.
Задан линейный неоднородный стержень с плотностью , лежащий в пределах. Требуется определить его массуМ. Аналогично разобьём его на части. Так как в пределах плотностьизменяется мало, то, а масса стержня
.
Точное значение массы получим, если перейти к пределу, когда .
.
2.2. Определение определённого интеграла
Пусть на задана функция. Разделимна части произвольным образом точками:. На каждом из полученных отрезков разбиенияпроизвольно выберем точкуи составим сумму
, где , (2)
называемую интегральной суммой функции на отрезке.
Определение 1. Если предел интегральной суммы (2) при не зависит от способа разбиенияи выбора точек, то он называется определённым интегралом от функциина отрезкеи обознача-ется
, (3)
где а - нижний, b - верхний пределы интегрирования.
Определение 2. Если для насуществует предел (3), то функцияназываетсяинтегрируемой на .
При каких условиях существует предел (3)?
Теорема 1 (теорема существования определённого интеграла). Если непрерывна на , то она интегрируема на .
Замечание. Среди разрывных функций на есть как интегри-руемые (монотонные), так и неинтегрируемые. Например, неинтегрируемой является функция Дирихле
D (x) =
Действительно, если в качестве точек выбрать рациональные точки и рассмотреть функцию Дирихле на отрезке, то из формулы (3) следует
а если выбрать иррациональные точки, то
Таким образом, предел (3) не существует.
Теперь выясним геометрический смысл определённого интеграла:
Из ранее рассмотренной задачи при это площадь криволинейной трапеции. При это тоже площадь, но со знаком минус. Поэтому определённый интеграл – это алгебраическая площадь криволинейной трапеции.
у
х
Физический смысл определённого интеграла.
Из ранее рассмотренной задачи масса стержня с линейной плотностью определяется как.
Аналогично рассуждая, получаем: если - сила, действующая вдоль прямолинейного участка, то работа этой силы.