Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Metrologia_13 / Часть 2. Обработка результатов / 8. Оценивание результатов косвенных измерений

..doc
Скачиваний:
39
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
338.94 Кб
Скачать

8. ОЦЕНИВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Значение многих физических определяются не прямыми измерениями, а на основании измерений нескольких величин, функцией которых является измеряемая величина Х:

Х = f(A, B, C, …),

где Х – косвенно определяемая величина, значение которой определяется вычислением на основании результатов измерения других величин; A, B, C – величины, значения которых определяются прямыми измерениями (измеряемые аргументы).

*Погрешности косвенных измерений величины Х зависят от погрешностей измерений величин А, В, С,… .Это положение справедливо и для случайных, и для систематических погрешностей. Простейшее уравнение косвенного измерения в символическом виде записывается следующим образом:

Х = f(A, B),

где f – известная функция аргументов A и B, определяемых прямыми измерениями. Переходя к оценкам величин и вводя в рассмотрение суммарную погрешность , представим это уравнение в виде

. (8.1)

Полагая и малыми величинами в сравнении с оценками и , разложим правую часть (4.1) в ряд Тейлора:

. (8.2)

Из последнего сразу следует, что Причем, дисперсия оценки будет минимальной, если из всех возможных оценок и будут выбраны те, которые имеют наименьшую дисперсию (эффективные оценки). Поэтому эффективная оценка косвенно измеряемой ФВ получается в результате подстановки в уравнение измерения средних арифметических значений аргументов, определяемых прямыми измерениями.

Погрешность косвенного измерения можно представить в виде суммы систематической и случайной составляющих:

.

Тогда на основании (8.2) можно записать, что:

. (8.3)

Учитывая, что математическое ожидание случайной составляющей погрешности измерения равно нулю, выражение для определения систематической погрешности косвенного измерения получим, усреднив обе части последнего уравнения:

(8.4)

Из полученного следует, что при косвенном измерении систематическая погрешность определяется не только систематическими погрешностями прямых измерений; даже при и в результат косвенного измерения нужно вводить поправку, значение которой можно определить из приведенного уравнения.

Систематические погрешности искажают результат измерения наиболее существенно. Поэтому обнаружению и устранению их источников придается важное значение. Систематические погрешности, изменяющиеся по известному закону или остающиеся постоянными, должны быть оценены и подлежат обязательному исключению путем введения поправок в результаты прямых измерений.

Неисключенные остатки систематических погрешностей (кратко – неисключенные систематические погрешности) прямых измерений при обработке рассматриваются как случайные величины, распределенные равномерно в некотором интервале, и характеризуются границами . Доверительную границу неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при доверительной вероятности Р определяют по формуле (без учета знака)

. (8.5)

Здесь: k – коэффициент, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р, зависящий от количества составляющих НСП «и от соотношения их значений (принимают k=0,95 при Р=0,9 и k=1,1 при Р=0,95); i - й измеряемый аргумент; – частная производная косвенно определяемой величины Х по i - му прямому аргументу (функция влияния, весовая функция);  - граница НСП i - го прямого измерения; - частная i - я погрешности косвенного измерения

*Для определения случайной составляющей погрешности косвенного измерения вычтем уравнение (8.4) из (8.3), ограничиваясь первыми (линейными) членами разложения в ряд:

. (8.6)

Погрешность – случайная величина. Усреднение квадрата правой и левой части (8.6) позволяет найти дисперсию случайной составляющей погрешности косвенного измерения – неслучайную характеристику случайной погрешности:

,

где и – средние квадратичные погрешности результатов прямых измерений величин A и B; – коэффициент корреляции между результатами измерений величин A и B.

Обычно , поэтому:

и соответственно

.

В общем случае для определения средней квадратической погрешности косвенного измерения служит следующая формула

, (8.7)

где , , – частные случайные погрешности косвенного измерения, равные: , ;

Часто функциональная зависимость между косвенно и непосредственно измеряемыми ФВ выражается формулой

,

где – безразмерный числовой коэффициент. В этом случае формула (8.7) принимает вид:

,

где – относительные средние квадратические погрешности результатов измерений величин Х, А, В, … .

Приклад 1.

Потужність W визначена за результатами прямих вимірювань струму I і напруги U. Результати вимірювань та характеристики вимірювальних приладів наведені в таблиці.

U=70 В

0,2/0,25

Uк=100 В

I=2 А

0,5 %

Iк=3 А

Необхідно:

1) Визначити результат непрямого вимірювання потужності W;

2) оцінити інструментальні похибки прямих вимірювань напруги U і струму I (відносну  і абсолютну );

3) оцінити довірчу межу (Р = 0,95) похибки непрямого вимірювання потужності W (абсолютну і відносну), обумовлену інструментальними похибками прямих вимірювань;

4) оцінити внески похибок прямих вимірювань струму I і напруги U в похибку непрямого вимірювання потужності W (частні похибки непрямого вимірювання), порівняти їх і зробити висновок - яке пряме вимірювання (струму I або напруги U) має більший внесок в похибку непрямого вимірювання (висновок обов’язково підтвердити розрахунками);

5) надати рекомендації щодо способу підвищення точності результату непрямого вимірювання потужності W, визначивши чергу і спосіб підвищення точності.

Розв’язання прикладу.

1) Визначаємо потужність W (результат непрямого вимірювання):

Вт.

2) Визначаємо інструментальні похибки прямих вимірювань (відносну і абсолютну похибки вольтметру і амперметру):

- відносну похибку вольтметру визначаємо за позначенням його класу точності

,

- абсолютну похибку вольтметру визначаємо за його відносною похибкою

В,

- приведена похибка амперметру надана в завданні - 0,5 %,

- абсолютну похибку амперметру визначаємо за його приведеною похибкою

А,

- відносну похибку амперметру визначаємо за його абсолютною похибкою і результатом вимірювання

.

3) Довірчу межу (Р = 0,95) абсолютної НСП результату непрямого вимірювання потужності W оцінюємо за формулою (5.3):

,

, ,

Межу відносної НСП результату непрямого вимірювання потужності W визначаємо наступним чином:

Результат непрямого вимірювання потужності записуємо наступним чином:

4) Похибка, яку вносить у результат непрямого вимірювання потужності пряме вимірювання напруги вольтметром, складає

,

а похибка, яку вносить пряме вимірювання струму амперметром, дорівнює

.

5) Отже, похибка, яку вносить у результат непрямого вимірювання потужності пряме вимірювання струму амперметром (), більш ніж удвічі перевищує похибку, яку вносить у результат непрямого вимірювання потужності пряме вимірювання напруги вольтметром (). Для підвищення точності результату непрямого вимірювання потужності потрібно, у першу чергу, зменшити у 2,5 рази похибку амперметру ; для цього слід застосувати більш точний амперметр (наприклад, класу точності 0,2). Для подальшого підвищення точності результату непрямого вимірювання потужності потрібно одночасно підвищувати клас точності і амперметру, і вольтметру.

Приклад 2.

Інструментальний підсилювач, що не інвертує, виконаний шляхом охоплення колом негативного зворотного зв'язку (НЗЗ) на резисторах R1 та R2 операційного підсилювача постійного струму (ОППС). Коефіцієнт передачі підсилювача за напругою визначено, як при непрямому вимірюванні, за результатами прямих багаторазових вимірювань опорів резисторів R1 та R2 [Кu =((R1 + R2) / R1), застосований ОППС вважається ідеальним]. Результати вимірювань опорів резисторів R1 та R2 наведені у наступній таблиці:

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

R1, кОм

1,256

1,243

1,264

1,223

1,237

1,247

1,226

1,213

1,254

1,224

1,227

1,254

R2, кОм

12,51

12,31

12,32

12,23

12,34

12,65

12,56

12,47

12,48

12,39

12,47

12,33

Необхідно:

1) визначити коефіцієнт передачі підсилювача Кu;

2) оцінити середню квадратичну похибку результату непрямого вимірювання коефіцієнту передачі підсилювача , обумовлену випадковими похибками і прямих вимірювань опорів резисторів R1 та R2 кола НЗЗ; записати результат вимірювання у вигляді точкової оцінки;

3) оцінити внески похибок прямих вимірювань опорів резисторів R1 та R2 у похибку непрямого вимірювання коефіцієнту передачі підсилювача Кu (частні похибки непрямого вимірювання), порівняти їх і зробити висновок: яке пряме вимірювання (резистору R1 або резистору R2) дає більший внесок у похибку непрямого вимірювання (висновок підтвердити результатами розрахунків);

4) надати рекомендації щодо способу підвищення точності результату непрямого вимірювання коефіцієнту передачі підсилювача Кu, визначивши чергу і спосіб підвищення точності результатів прямих вимірювань.

Розв’язання прикладу.

1) Виконуємо попередню статистичну обробку результатів прямих багаторазових вимірювань з метою визначення опорів резисторів R1 та R2 (результатів прямих багаторазових вимірювань) та середніх квадратичних похибок ( і ) опорів резисторів (СКВ результатів прямих багаторазових вимірювань опорів резисторів). Вважаємо, що результати спостережень прямих багаторазових вимірювань опорів резисторів R1 та R2 відповідають нормальному закону розподілу ймовірностей. Результати вимірювань оцінюємо за формулою (1.1):

, ,

а середні квадратичні похибки опорів резисторів – за формулою (1.3):

,

(

,

(.

2) Визначаємо коефіцієнт передачі підсилювача за напругою

3) Оцінюємо середню квадратичну похибку результату непрямого вимірювання коефіцієнту передачі підсилювача, обумовлену випадковими похибками прямих вимірювань опорів резисторів кола НЗЗ, за формулою (5.2):

;

,

,

(.

Записуємо результат непрямого вимірювання у вигляді точкової оцінки (дивись (1.4) у п. 1.2.3), застосовуючи правила округлення похибки та результату вимірювання:

4) Частні похибки непрямого вимірювання, що обумовлені випадковими похибками прямих вимірювань, складають:

;

.

Отже, випадкова похибка, яку вносить у результат непрямого вимірювання Кu пряме вимірювання опору резистору R1, у 1,35 рази перевищує похибку, яку вносить у результат непрямого вимірювання Кu пряме вимірювання опору резистору R2.

5) Для підвищення точності результату непрямого вимірювання Кu потрібно, у першу чергу, зменшити у 1,35 рази середню квадратичну похибку ; для цього потрібно підвищити приблизно у 2 рази (1,35×1,35=1,82) кількість спостережень у прямому вимірюванні опору R1. Для подальшого зменшення випадкової похибки результату вимірювання Кu потрібно одночасно підвищувати кількість спостережень у прямих вимірюваннях опорів обох резисторів кола НЗЗ.