Лабораторная работа № 1 "Численное решение уравнений итерационными методами"

Данная лабораторная работа посвящена нахождению корней уравнения

F(x) = 0, (1)

где функция F(x) может быть алгебраической либо трансцендентной и должна удовлетворять условию дифференцируемости. Как правило, численное решение уравнений состоит из двух этапов: нахождение приближенного значения корня (отделение корня) и уточнение его значения до заданной точности. Начальное приближение часто известно из физических соображений либо находится специальными методами, например, графически. Рассмотрим второй этап решения уравнении: нахождение значения корня с заданной точностью различными итерационными методами.

1. Метод последовательных приближений

В данном методе для удобства вычислений переводят от исходного уравнения, заданного в виде (1), к уравнению

x =(x). (2)

Данный переход можно осуществить множеством способов, например, прибавив к обеим частям (1) х.

Суть метода последовательных приближений заключается в том, что начальное приближение х₀ подставляется в правую часть формулы (2) и вычисляется значение х₁. Затем полученное значение х₁ снова подставляется в правую часть формулы (2) и вычисляется значение х₂ и т.д. Рабочая формула метода последовательных приближений имеет вид

x_n =(x_n-1). (3)

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность , то есть

|x_n-x_n-1|<. (4)

Основной проблемой при работе с итерационными методами является проблема сходимости. Достаточным условием сходимости метода последовательных приближений является выполнение условия

|(x_n)|<1 (5)

для всех значений х_n.

2. Усовершенствованный метод последовательных приближений

Формула данного итерационного метода имеет вид

x_n+1 = x_n +*((x_n)-x_n), (6)

где определяется но формулам

= 1 / (1-()) (7)

() = ((x_n)-x_n) / (x_n-x_n-1) (8)

при этом на первом шаге x₁, определяется простыл методом последовательных приближений.

3. Метод Ньютона-Рафсона

Небольшая дальнейшая модификация усовершенствованного метода последовательных приближений приводит к одному из наиболее известных численных методов решения уравнений - методу Ньютона-Рафсона. Формула метода для (х), подчиняющегося соотношению (2), имеет вид

x_n+1 = ((x_n)-x_n*(x_n)) / (1-(x_n)), (9)

при этом сходимость метода обеспечивается, если

• х₀ выбрано достаточно близко к решению х =(х);

• производная (x) не становится слишком большой;

• производная (x) не слишком близка к 1.

Формула Ньютона-Рафсона для F(х), подчиняющегося соотношению (1), имеет вид

x_n+1 = x_n-F(x_n) / F'(x_n), (10)

при этом условия сходимости принимают следующий вид:

• х₀ выбрано достаточно близко к корню уравнения F(x)=0;

• производная F''(x) не становится слишком большой;

• производная F'(х) не слишком близка к 0.

4. Метод Бирге-Виетта

Данный метод позволяет находить корни уравнения в случае, когда F(х) представляет собой многочлен степени m

F(х) = а₀ + а₁х + а₂х² + … + а_mх^m (11)

Применим метод Ньютона-Рафсона согласно формуле (10), при этом вычисление F(х) будем осуществлять по правилу Горнера с использованием рекуррентных формул:

b_m = a_m (12)

b_j = a_j+x_nc_j+1,

j = m-1, … , 0

таким образом находим F(х) = b₀.

F'(х)представляет собой многочлен степени m-1. Воспользовавшись для его вычисления теми же рекуррентными формулами, имеем

c_m = b_m (13)

c_j = b_j+x_nc_j+1,

j = m-1, … , 1

и соответственно F'(х) = с₁.

Подставляя найденные значения F(х) и F'(x) в формулу (10) для метода Ньютона-Рафсона, получаем

x_n+1 = x_n - b₀/c₁, (14)

где b₀ и с₁ вычислены по формулам (12) и (13).

Выполнение данной лабораторной работы заключается в нахождении с заданной точностью одного из корней кубического уравнения

F(х) = а₀ + а₁х + а₂х² + а₃х³ = 0

перечисленными выше методами. Коэффициенты многочлена, точность вычисления и номер вычисляемого корня заданы в таблице. Решение осуществляется в два этапа. На первом этапе с помощью грубого анализа находятся приближенные значения корней. В основном этот анализ сводится к отысканию таких двух значений х, для которых F(х) имеет противоположные знаки, т.е. определяются такие х^* и х_*, для которых F(х^*) > 0 и Р(х_*) < 0. Тогда между х^* и х_* есть по крайней мере одна точка, где F(х) = 0. В качестве исходного приближения для нахождения корня F(х) можно взять

х₀ = ½ (х^*+х_*).

На втором этапе рассчитанное исходное приближение х₀ уточняется каждым из четырех рассмотренных методов до достижения требуемой точности .

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Исходное уравнение F(х) = 0.

2. Таблицу для нахождения приближенных значений корней и график функции F(х).

3. Уравнение х = (х) для метода последовательных приближений и усовершенствованного метода последовательных приближений.

4. График функции х = (х).

5. Текст программы, результаты расчета и график нахождения искомого корня (2-3 шага в укрупненном масштабе) методом последовательных приближений.

6. Текст программы, результаты расчета и график нахождения искомого корня (2-3 шага в укрупненном масштабе) усовершенствованным методом последовательных приближений.

7. Текст программы, результаты расчета и график нахождения искомого корня (2-3 шага в укрупненном масштабе) методом Ныотона-Рафсона для исходного уравнения F(х) = 0.

8. Текст программы и результаты расчета (с выводом па печать коэффициентов b_j и c_j) искомого корня методом Бирге-Виетта для исходного уравнения F(х) = 0.

9. Выводы, содержащие анализ точности и скорости сходимости рассмотренных методов.

Таблица 1. Исходные данные для лабораторной работы №1

Вар.	a0	a1	a2	a3	Eps	№ корня
1	0,6768	-0,144	-0,47	0,1	0,0001	1
2	-2,2976	-0,4335	0,795	0,15	0,0001	2
3	5,372	-1,2493	-0,559	0,13	0,0001	3
4	-3,8987	-0,5819	0,737	0,11	0,0001	1
5	-0,6768	0,144	0,47	-0,1	0,0001	2
6	2,2976	0,4335	-0,795	-0,15	0,0001	3
7	-5,372	1,2493	0,559	-0,13	0,0001	1
8	3,8987	0,5819	-0,737	-0,11	0,0001	2
9	-0,6768	0,144	0,47	-0,1	0,0001	3
10	2,2976	0,4335	-0,795	-0,15	0,0001	1
11	-5,372	1,2493	0,559	-0,13	0,0001	2
12	0,6768	-0,144	-0,47	0,1	0,0001	3
13	-2,2976	-0,4335	0,795	0,15	0,0001	1
14	5,372	-1,2493	-0,559	0,13	0,0001	2
15	-3,8987	-0,5819	0,737	0,11	0,0001	3
16	-0,6768	0,144	0,47	-0,1	0,0001	1
17	2,2976	0,4335	-0,795	-0,15	0,0001	2
18	-5,372	1,2493	0,559	-0,13	0,0001	3
19	3,8987	0,5819	-0,737	-0,11	0,0001	1
20	0,6768	-0,144	-0,47	0,1	0,0001	2
21	-2,2976	-0,4335	0,795	0,15	0,0001	3
22	5,372	-1,2493	-0,559	0,13	0,0001	1
23	-3,8987	-0,5819	0,737	0,11	0,0001	2
24	-0,6768	0,144	0,47	-0,1	0,0001	3
25	2,2976	0,4335	-0,795	-0,15	0,0001	1