Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
АМВ / МУ / АМВ2.doc
Скачиваний:
54
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
230.4 Кб
Скачать

Лабораторная работа № 3 «Численное интегрирование»

Данная лабораторная работа посвящена вычислению определенного интеграла различными численными методами. Все они основаны на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей, и позволяют вычислить эту сумму с достаточной точностью.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

, (1)

при условии, что a и b конечны, и является непрерывной функциейx во всем интервале axb.

Определенный интеграл I представляет собой площадь, ограниченную кривой , осьюx и прямыми x = a и x = b. Будем вычислять интеграл (1), разбивая интервал от a до b на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и суммируя площади этих полосок.

1. Правило трапеций

Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной h = (b - a) / n. Рассмотрим теперь один из этих интервалов. Площадь, лежащая под кривой y = , междуxi и xi+1 равна

.

Если h достаточно мало, то эту площадь без большой ошибки можно приравнять к площади трапеции

. (2)

Просуммировав площади по всем n интервалам, получим

, (3)

где x0=a, xn=b.

Теперь, подставляя (2) в (3), получаем

. (4)

Формула (4) описывает хорошо известное правило трапеций для численного интегрирования.

2. Экстраполяционный переход к пределу

Чтобы найти более точное значение интеграла можно воспользоваться сравнительно простым усовершенствованием метода трапеций.

Выберем некоторую другую величину шага разбиения k = (b - a) / m, причем mn.

Если - значение интеграла, вычисленное по правилу трапеций с шагомh, а - значение интеграла, вычисленное по правилу трапеций с шагомk, то лучшее приближение, чем илиполучается по формуле

. (5)

Этот метод называется экстраполяционным переходом к пределу.

3. Правило Симпсона

В этом методе, как и в предыдущем, производится разбиение общего интервала интегрирования на множество более мелких отрезков, однако для вычисления площади под каждым из них через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола. В результате формула Симпсона дает точное значение интеграла при интегрировании многочленов до 3-го порядка включительно.

Формула Симпсона выводится из (5) при четном n и при k = 2h и окончательно имеет вид

.

4. Метод Гаусса

В предыдущих методах использовалось произвольное разбиение интервала и фактически оно производилось на равные отрезки. Гаусс предложил метод численного интегрирования, в котором ошибка ограничения получалась минимальной при заданном количестве интервалов, если располагать концы интервалов там, где это требуется из условий достижения максимальной точности интегрирования. Так по этому методу при соответствующем выборе местоположения двух ординат получается точный результат для многочлена третьего порядка.

Порядок численного интегрирования по методу Гаусса следующий:

1) Изменяем пределы интегрирования так, чтобы они стали равными . Для этого вводим новую переменную, так что.

Интеграл (1) после такой подстановки запишется в виде

, (7)

где .

2) Вычисляем значение искомого интеграла по формуле

, (8)

где для заданного значения n из соответствующих справочников (см. ниже) выбираются ординаты и весовые коэффициенты.

В общем случае, при (n+1) ординате получается точная формула для нахождения интеграла от многочлена степени (2n+1).

Таблица 1. Абсциссы и весовые коэффициенты при интегрировании по методу Гаусса

Количество ординат

n=2

0.5773502692

1.0000000000

n=3

0.7745966692

0.0000000000

0.5555555556

0.8888888889

n=4

0.8611363116

0.3399810436

0.3478548451

0.6521451549

n=5

0.9061798459

0.5384693101

0.0000000000

0.2369268851

0.4786286705

0.5688888889

n=6

0.9324695142

0.6612093865

0.2386191861

0.1713244924

0.3607615730

0.4679139346

Выполнение данной лабораторной работы заключается в вычислении определенного интеграла вышеперечисленными методами. Подинтегральная функция и интервалы заданы в таблице.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Исходный интеграл в форме (1), график функции и аналитическое решение, полученное по правилам ВМ (точность вычисления - 0,0001).

2. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, получениях по правилу трапеций для трех различных величин шагов.

3. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, полученных по методу экстраполяционного перехода (для расчета по формуле (5) использовать результаты, полученные в п.2).

4. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, полученных по правилу Симпсона для трех различных величин шагов (для расчета по формуле (6) использовать результаты, полученные в п.2, при условии четности количества интервалов разбиения).

5. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, полученных по методу Гаусса для n = 2, 3, ... , 6.

6. Выводы, содержащие анализ точности и скорости сходимости рассмотренных методов.

Таблица 2. Исходные данные для лабораторной работы №3

Вар.

Интервалы

1

0.57*cos(2.43*x)+2.19*exp(-1.4*x)-10.06*x4-8.23*x2-4.12*x-4.88

[-1.1, 0.9]

2

0.4*cos(0.44*x)+0.58*exp(-1.17*x)+9.69*x3+0.85*x2

[-1.1, 1]

3

-0.86*sin(0.69*x)-1.05*exp(2.17*x)+1.5*x2-11.91*x+4.56

[-0.7, 1.1]

4

-2*sin(l.13*x)+2.19*exp(1.12*x)+6.12*x3-10.79*x2+15.54*x

[-0.5, 1.2]

5

2.64*cos(-0.53*x)+0.03*exp(-0.23*x)-9.86*x4+6.36*x3-0.59*x-11.94

[-1, 1.1]

6

1.8*sin(1.14*x)+2.30*exp(-2.71*x)-14.87*x2+14.28*x+12.3

[-1.1, 1.3]

7

0.9*cos(-1.77*x)+2.65*exp(-1.57*x)-11.48*x4+1.29*x-10.49

[-1.1, 0.9]

8

-0.87*sin(-0.12*x)-0.72*exp(0.28*x)+11.01*x3-6.56*x2-8.21*x

[-1, 1.5]

9

0.65*cos(-0.3*x)+2.58*exp(-1.72*x)-9.04*x2-6.73*x+8.09

[-0.9, 1.1]

10

0.66*cos(2.31*x)-0.04*exp(-2.61*x)-9.58*x4+9.4*x3-8.96*x2-5.51

[-1.1, 0.8]

11

-2.13*cos(2.95*x)+1.57*exp(1.08*x)+4.01*x3-13.8*x2

[0.5, 2]

12

-0.62*sin(-1.22*x)+2.32*exp(-l.17*x)+13.27*x3-3.93*x

[-0.8, 1.1]

13

-1.03*sin(2.1*x)-10.95*x4-10.1*x2+12.95*x+5.56

[-1.2, 1.5]

14

-2.16*sin(-0.05*x)+0.96*exp(0.66*x)+9.62*x2-11.19*x

[-1.2, 1.9]

15

2.04*sin(1.97*x)+0.76*exp(1.33*x)+9.48*x2-14.69*x

[-1.1, 1.9]

16

2*sin(l.97*x)-0.04*exp(-2.61*x)+4.01*x3-1.8*x

[1.5, 2]

17

0.24*sin(-2.62*x)+2.31*exp(-0.29*x)+3.65*x-15.32

[2.5, 5.1]

18

-2.71*sin(1.72*x)+2.06*exp(l.64*x)+12.23*x4-10.5*x

[-1.1, 1.3]

19

1.26*sin(-2.03*x)-1.18*exp(-1.65*x)-6.55*x-15.03

[-1.9, 1]

20

-1.17*cos(-0.55*x)-2.30*exp(0.34*x)+8.52*x2-14.76*x+1.91

[-0.7, 1.9]

21

-sin(-1.09*x)-2.93*exp(-2.04*x)+0.7*x3-3.73*x2+14.09*x+2.93

[-0.9, 1.7]

22

-1.67*sin(-0.84*x)+12.89*x3+14.93*x2+5.15*x-13.96

[0, 2.2]

23

1.8*sin(1.14*x)+2.3*exp(-2.71*x)-14.87*x2 +14.28*x+12.3

[0, 3.4]

24

-0.47*sin(-0.77*x)-2.35*exp(-0.91*x)+1.21*x3+8.29*x+12.76

[-1.5, 2.1]

25

0.72*sin(2.92*x)+0.05*exp(-1.27*x)+10.28*x3+10.9*x2+9.83

[-2.1, 1]

Соседние файлы в папке МУ