me12 / Lab_rab_12_13 / Lab_5_MKC

Лабораторная работа № 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФИЛЬТРОВ

Цель работы: изучение свойств, приобретение практических навыков по расчету и моделированию простейших фильтров.

Работа выполняется в системе моделирования MicroCAP.

В работе необходимо определить частотные характеристики простейших пассивных фильтров.

Теоретическая часть

Простейшие электрические фильтры

Электрические фильтры - это устройства, которые пропускают на выход сигналы одних частот и не пропускают сигналы других частот. По виду АЧХ фильтры разделяются на фильтры нижних частот (НЧ), верхних частот (ВЧ), полосовые фильтры (ПЧ) и др.

Фильтры нижних частот (НЧ). Фильтр нижних частот без изменения передает сигнал нижних частот, включая и нулевую частоту (постоянный сигнал), а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов. На рис.3,а изображена схема простого фильтра НЧ. Сопротивление емкости С зависит от частоты входного сигнала и равно Х_С = 1 / ωC . Емкость С вместе с резистором R образуют делитель напряжения. Для частоты ω = 0 сопротивление емкости равно бесконечности. И весь сигнал со входа схемы поступает на выход. С увеличением частоты сопротивление емкости уменьшается и все большая его часть будет замыкаться на землю. И в пределе, когда ω = ∞, сопротивление емкости будет равно 0, напряжение на выходе также будет равно 0. Таким образом, схема обладает свойствами фильтра НЧ.

Для расчета частотной характеристики схемы воспользуемся методом комплексных амплитуд. По схеме рис.3,б, используя формулу для делителя напряжения, найдем выходной сигнал

.

Отсюда найдем комплексный коэффициент передачи

,

где Т = RC – постоянная времени RC – цепочки.

АЧХ представляет собой модуль комплексного коэффициента передачи ,

а ФЧХ аргумент комплексного коэффициента передачи ..

На рис.4 показаны частотные характеристики ФНЧ для R = 1 кОм, и С = 1 мкФ.

На АЧХ фильтра можно выделить три области частот: полосу пропускания, переходную область, и полосу подавления сигнала. В полосе пропускания допускается снижение коэффициента передачи в раза. На АЧХ такое уменьшение коэффициента передачи происходит на частое 158,489 ≈ 159 Гц. Частота, на которой коэффициент передачи уменьшается в раз, называется частотой среза. Частота среза разделяет область пропускания фильтра от переходной области. Полоса пропускания фильтра НЧ лежит от 0 Гц до частоты среза f_c. Частота среза RC –фильтра НЧ равна f_c.= 1/ 2πRC или круговая частота среза ω_с = 1/RC = 1 / T. В этом легко убедиться, если в формулу АЧХ фильтра вместо ω подставить ω_с = 1/RC, то получим , что означает, что на частоте ω_с = 1/RC коэффициент передачи уменьшился в раз.

Частота, которая разделяет переходную область фильтра от полосы подавления сигнала, не нормируется. Она определяется в зависимости от требований, предъявляемых к АЧХ фильтра в конкретном применении. Для сравнения различных фильтров эта частота иногда определяется на уровне 0,01 от коэффициента передачи на нулевой частоте.

Обычно АЧХ необходимо анализировать в широком диапазоне частот, например для операционного усилителя широкого применения, от единиц Гц до десятков МГц. В этом случае удобно ось частот представлять в логарифмическом масштабе lag f или lag, как показано на графике на рис. 4. Коэффициент передачи при этом измеряется в обычном линейном масштабе. Однако, если коэффициент передачи (усиления) изменяется в очень широких пределах, как, например, в операционном усилителе, то его удобно выражать в логарифмическом масштабе:

L(ω) = 20lg A.

Единицы измерения – децибелы (дБ), десятая часть бела. Зависимость коэффициента усиления от частоты входного сигнала в логарифмическом масштабе называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).

Что собой представляет единица измерения бел, и почему коэффициент перед логарифмом равен 20, а не 10 как следовало бы ожидать. Единица измерения 1 бел соответствует отношению мощностей в 10 раз:

1 Б = P₂ / P₁ = 10.

Так как 1 Белл – это очень большая величина, то на практике используют более мелкие величины децибелы (в одном беле содержится 10 дБ). Поэтому в коэффициенте усиления по мощности коэффициент пропорциональности равен 10:

L_ap = 10 lag P₂ / P₁.

Но у нас коэффициент усиления, это отношение амплитуд токов или напряжений. А для токов и напряжений мощность пропорциональна квадрату токов или напряжений

P = UI = U²/R = I²R.

При отношении амплитуд в 10 раз мощность увеличивается в 100 раз, т.е. на 2 бела или на 20 децибел:

U₂/U₁ = 10, P₂/P₁ = (U₂/U₁)² = (10)² = 100.

Поэтому в формуле для логарифмического коэффициента усиления появился множитель 20 , а не 10.

Логарифмические единицы удобны еще тем, что если известны коэффициенты усиления отдельных каскадов или узлов усилителя и общий коэффициент усиления равен произведению этих коэффициентов, то в логарифмическом масштабе коэффициент усиления находят как алгебраическую сумму логарифмических коэффициентов усиления отдельных каскадов.

На рис.5 представлена ЛАЧХ RC фильтра НЧ, которая была рассмотрена ранее.

Частота среза фильтра определяется на уровне -3 дБ от максимального значения коэффициента усиления в полосе пропускания. Это видно из показаний слайдера правого курсора. Величина – 3 дБ в логарифмическом масштабе соответствует коэффициенту усиления в линейном масштабе, то есть L = 20lg 0,707 = -3 дБ. Из ЛАЧХ хорошо видно как подавляется сигнал на высоких частотах. Так на частоте 10 кГц логарифмический коэффициент усиления почти равен – 40 дБ, что соответствует значению 0,01 в линейном масштабе. Попробуйте определить коэффициент усиления на этой частоте по АЧХ на рис.4.

Фазочастотные характеристики в обоих случаях строятся в линейном масштабе. Из фазочастотных характеристик видно, что наибольшее изменение фазы происходит на частоте среза фильтра.

Фильтры верхних частот (ВЧ). Фильтр верхних частот без изменения передает сигнал верхних частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигнала. Схема простого RC фильтра верхних частот представлена на рис. 6. Аналогично, как и для фильтра нижних частот найдем выходной сигнал

.

Отсюда найдем комплексный коэффициент передачи

,

где Т = RC – постоянная времени RC – цепочки.

АЧХ представляет собой модуль комплексного коэффициента передачи ,

а ФЧХ аргумент комплексного коэффициента передачи .

На рис. 7. Показаны частотные характеристики фильтра ВЧ ( R = 1 кОм, и С = 1 мкФ)в логарифмическом масштабе.

Частота среза фильтра определяется также, как и для фильтра НЧ и равна ω_с = 1/RC = 1 / T или f_c.= 1/ 2πRC = 1/( 6,28 ּ1 кОм ּ1 мкФ ) = 159 Гц. На графике АЧХ частота среза определяется на уровне – 3 дБ от максимального значения коэффициента усиления. Положение левого курсора определяет частоту среза, так как разность между показаниями коэффициента усиления правого и левого курсора равна 3,019 ≈ 3 дБ.

Полосовой фильтр. Соединяя последовательно фильтр верхних и низких частот с перекрывающимися амплитудно-частотными характеристиками можно получить полосовой фильтр. Полосовой фильтр пропускает сигнал в некоторой полосе частот и подавляет сигнал на низких и высоких частотах. На рис 8. показана схема полосового фильтра.

Найдем комплексный коэффициент усиления схемы.

.

Введем обозначение ωRC = Ω. Раскрывая скобки, получим

Комплексный коэффициент усиления равен

.

АЧХ представляет собой модуль комплексного коэффициента передачи ,

ФЧХ определяется из выражения .

Коэффициент максимальный при Ω = 1. Следовательно, резонансная частота f₀ = 1/ 2πRC. Коэффициент усиления на резонансной частоте равен A(f₀) = 1/3, а фазовый сдвиг равен 0.

На рис.9 приведены частотные характеристики полосового фильтра при R=1 кОм и С = 1 мкФ.

Резонансная частота фильтра равна 159,591 Гц. АЧХ полосового фильтра имеет две частоты среза, которые располагаются слева и справа от резонансной частоты f₀, и также определяются на уровне – 3 дБ относительно максимального значения коэффициента усиления.

2. Задание и порядок выполнения

Согласно вашего варианта, рассчитайте фильтры нижних, верхних частот и полосовой фильтр. Расчет заключается в определении величин конденсаторов и сопротивлений при заданной частоте среза для фильтров нижних и верхних частот и центральной частоты для полосового фильтра. При расчете необходимо задаться величиной емкости конденсатора и из соответствующих формул для частот среза и центральной частоты найти величины сопротивлений. Величины емкостей и сопротивлений должны быть физически реализуемыми.

Для расчета фильтров нижних и верхних частот используйте формулу f_c.= 1/ 2πRC, а для полосового фильтра f₀ = 1/ 2πRC. Варианты заданий возьмите из таблицы.

В системе моделирования MicroCAP определите частотные характеристики фильтров.

В режиме Scope определите частоты среза фильтров верхних и нижних частот, для полосового фильтра определите центральную частоту, частоты среза и добротность. Сравните полученные частоты среза и центральную частоту фильтров с заданными значениями и сделайте выводы о правильности расчета.

Таблица вариантов
№ варианта	fc, кГц	f0, кГц
1	1	25
2	2	24
3	3	23
4	4	22
5	5	21
6	6	20
7	7	19
8	8	18
9	9	17
10	10	16
11	11	15
12	12	14
13	13	13
14	14	12
15	15	11
16	16	10
17	17	9
18	18	8
19	19	7
20	20	6
21	21	5
22	22	4
23	23	3
24	24	2
25	25	1

3. Содержание отчета

• привести схемы проведения экспериментов;

• привести формулы и результаты расчетов;

• привести необходимые графики, полученные при моделировании;

• ответить на поставленные вопросы;

• сделать выводы.

3. Контрольные вопросы

1. Что такое электрический фильтр?

2. Что такое комплексный коэффициент усиления и как его получить

3. Нарисуйте схему простейшего фильтра нижних частот.

4. Как определить частоту среза фильтра?

5. Нарисуйте АЧХ фильтра ВЧ.

6. Нарисуйте схему простейшего фильтра верхних частот.

7. Как определить частоту среза фильтра?

8. Нарисуйте АЧХ фильтра ВЧ.

9. Приведите формулы для определения частоты среза фильтров НЧ и ВЧ.

10. Нарисуйте схему простейшего полосового фильтра.

11. Как определить частоту среза полосового фильтра?

12. Нарисуйте АЧХ полосового фильтра. Чему равен коэффициент передачи полосового фильтра на частоте f₀?

13. Приведите формулы для определения центральной частоты полосового фильтра.

14. Что такое добротность полосового фильтра и как ее определить?

15. Что такое полоса пропускания, переходная область и полоса подавления фильтра?

16. Как выражается амплитудночастотная характеристика в логарифмическом масштабе?

17. Нарисуйте ЛАЧХ фильтров НЧ, ВЧ и полосового фильтра.

18. Как определить частоту среза фильтров по АЧХ в логарифмическом масштабе?