13

Лекция 7. Кинематика манипулятора. Прямая и обратная задача. Геометрия рабочего пространства.

7.1 Общие сведения о кинематике манипуляторов.

В процессе изучения кинематических свойств многозвенных меха­низмов возникает необходимость описания движения их звеньев без уче­та их масс и действующих на них сил. На практике конструкция манипу­ляторов чаще всего представляет собой сочетание N звеньев, объеди­ненных в кинематическую цепь посредством кинематических пар 5-го класса, которые характеризуются одной степенью свободы. Тогда поло­жение 6-го звена относительно ( I - 1)-ого звена манипулятора мо­жет быть описано через обобщенный параметр:

где σ_i - показатель i-й кинематической пары; для вращатель­ной пары σ_i =1 и для поступательной пары σ_i =0.

α_i - угол поворота i - го звена манипулятора относительно ( i -1)-го звена при наличии вращательной кинематической пары;

S_i- относительное поступательное перемещение i-го звена относительно (i-1)-го звена при наличии поступательной кинема­- тической пары.

В процессе анализа кинематической цепи манипулятора определе­ние взаимного положения его звеньев сводится к задаче преобразова­ния одной системы координат в другую. Такое преобразование удобно выполнять с помощью одной или произведения нескольких специальных матриц размерностью 4x4, которые носят наименование матриц винто­вых смещений:

где B - условное обозначение матрицы винтового смещения, основными параметрами которой являются угловое и линейное перемеще­ния;

- углы поворота звена относительно одной из осей X, Y или Z соответствующей системы координат;

S_x , S_y , S_z - линейные смещения вдоль осей X , Y или Z.

Одной из важнейших особенностей этих матриц является их уни­версальность, т.к. каждая из них предполагает наличие вращения на определенный угол вокруг соответствующей оси (X , Y или Z) и поступательный перенос вдоль одной ив осей системы координат. При наличии только одного параметра, например, углового перемещения α вокруг оси X первая матрица винтового смещения преобразуется к виду ( S_x =0):

При наличии только поступательного перемещения вдоль оси эта

же матрица преобразуется к виду:

Результирующая матрица перехода A_i(q_i) между системами координат двух соседних звеньев общем виде может быть записана в виде:

A_i(q_i) = B(α_i, 0) · B(0, S_i),

при этом следует отметить, что вращательное и поступательное дви­жения могут быть связаны с различными осями координат.

Представленные матрицы ( I) есть матрицы перехода от i- й системы координат, связанной с i-м звеном, к ( i-1)- й систе­ме координат ( i-I)-гo звена:

где - радиус-вектор точки пространства в системе коор­динат (i-1) и i соответственно.

Обратный переход от (i-1)-й системы координат к i- й системе координат записывается в виде:

где - обратная результирующая матрица, которая определяется с помощью обратных матриц :

Представленные матрицы перехода являются одним из вариантом матриц перехода с использованием однородных систем координат.

Предложенный вариант прост, универсален и не требует соблюдения специальных правил при выборе осей координат (при рассмотрении од­нородных систем координат выбор осей координат осуществляется в строгом соответствии с правилами. •

Прямая задача кинематики многозвенных механизмов состоит в следующем: необходимо найти матрицу (радиус-вектор), которая определяет координаты захватного устройства манипуляторе в прост­ранстве относительно некоторой неподвижной системы координат (чаще всего она связана с неподвижной базой манипулятора), зная конструк­тивные параметры манипулятора и значения обобщенных параметров q_i для всех его кинематических пар. Кроме координат захватного устрой­ства манипулятора необходимо определить его пространственную ориен­тацию.

Решением прямой задачи кинематики манипулятора с N звеньями являются выражения:

где А_i- связь i-й системы координат звена с ( i -1)-й системой координат с учетом наличия либо вращательной, либо посту­пательной пары, либо их комбинации.