19ф (Автосохраненный)

19. Лучевая (геометрическая) оптика. Геометрическая оптика как предельный случай волновой оптики. Основные понятия и законы геометрической оптики. Полное внутреннее отражение. Преломление света в призме и на сферической поверхности. Линза. Построение изображений.

Раздел оптики, в к-м законы распространения света рассм-ся на основе представления о световых лучах, н-ся геометрической оптикой.

Световой луч – это линия, вдоль которой распространяется поток световой энергии. Представление о независимо расп-ся световых лучах возникло ещё в античной науке. Древне-греч. учёный Евклид сф-л закон прямолинейного распространения света и закон зеркального отражения света. В 17 в. Г. о. бурно развивалась в связи с изобретением ряда оптич. приборов (зрительная труба, телескоп, микроскоп и т. д.) и началом их широкого исп-ия.

Основные законы оптики: закон прямолинейного распространения света, закон независимости световых лучей, закон отражения света, закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.

Доказательством этого закона является наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света (источники, размеры которых значительно меньше освещаемого предмета и расстоянии до него).

Углом падения называется угол между падающим лучом света и перпендикуляром к границе раздела двух сред, восстановленным в точке падения.

Углом отражения называется угол между отраженным лучом и перпендикуляром к поверхности, отразившей луч света, восстановленным в точке падения.

Закон независимости световых лучей: Распространение световых лучей в среде происходит независимо друг от друга.

Эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.

Закон отражения световых лучей: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Изображение называется действительным, если оно образовано самими лучами (т.е. в данную точку поступает световая энергия).

____

Виды отражения света: зеркальное – лучи света, падающие на зеркальную поверхность параллельным пучком, после отражения остаются параллельными; рассеянное (диффузное) – поверхность, размеры неровностей которой больше световой волны, отражает лучи света по всевозможным направлениям.

Преломление света – это изменение направления распространения света при прохождении через границу раздела двух прозрачных сред.

Закон преломления света: Лучи падающий и преломленный лежат в одной плоскости с перпендикуляром, проведенным в точке падения луча к плоскости границы раздела двух сред; отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина постоянная для двух данных сред:

Где n₂₁ – показатель преломления второй среды относительно первой (относительный показатель преломления).

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:

Абсолютным показателем преломления среды называется величина n, равная отношению скорости с электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости υ в среде:

Полное внутреннее отражение. Если свет переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную (n₂>n₁), то всегда существуют как отраженный, так и преломленный пучки, энергии которых соответствуют условию. Несколько иной результат получается при переходе света из оптически плотной в оптически менее плотную среду (n₂<n₁) например, из воды в воздух или из стекла в воду.

Если угол падения небольшой, то существуют оба пучка – как отраженный, так и преломленный. Если же угол падения возрастает, то энергия отраженного пучка резко возрастает, а преломленного – столь же сильно убывает. При некотором угле падения α₁→α_пр угол преломления α₂→90⁰, а энергия преломленного пучка падает до нуля. Следовательно, окажутся равными энергии отраженного и падающего пучка. Это явление называется полным отражением.

При переходе света из среды с большим показателем преломления n₁ (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем n₂ (оптически менее плотную согласно и преломленный луч удаляется от перпендикуляра. С увеличением угла падения α растет и угол преломления β>α.

Когда угол падения достигает некоторого предельного значения i_пред, определявшегося из условия: , то преломленный луч направлен вдоль границы раздела. При еще большем угле падения α>α_пред·Sin α>n2/n1, Sin β= (1.8)

Для таких углов падения уравнение (1.8) дает мнимое значение угла преломления. Следовательно, α>α_пред, преломление прекращается и остается лишь отраженный луч. Это явление носит название полного внутреннего отражения – вся энергия света, падающего на границу раздела, при этом полностью отражается обратно в первую среду.

Явление полного внутреннего отражения используется в различных оптических приборах (бинокли, перископы и др.), а также для измерения показателя показателей преломления (рефрактометры). Показатель преломления различных сортов стекла – около 1.5. поэтому предельный угол для границы стекло воздух составляет α_пред=arcsin(1/1,5)=42⁰ и при падении лучей на эту границу под несколько большим углом, равным 45⁰, будет всегда происходить полное внутренне отражение.

Наименьший угол, с которого начинается полное отражение, называется предельным углом полного отражения.

Призма. В задачах с призмами поворот света призмой можно рассматривать как два последовательных преломления света на плоских гранях призмы при входе света в призму и при его выходе.

Особый интерес представляет частный случай призмы с малым углом при вершине ( на рис. 2). Такую призму называют тонкой призмой. Обычно рассматриваются задачи, в которых свет падает на тонкую призму почти перпендикулярно ее поверхности. При этом за два преломления лучи света поворачивают на малый угол в плоскости перпендикулярной ребру призмы в сторону утолщения призмы (рис. 2). Угол поворота не зависит от угла падения света в приближении малых углов падения. Это означает, что призма поворачивает "кажущееся" положение источника света на угол в плоскости перпендикулярной ребру призмы.

Из двух таких тонких призм состоит, в частности, бипризма Френеля (рис. 3), проходя через которую свет от точечного источника распространяется далее так, как если бы свет излучался двумя точечными когерентными источниками.

Преломление и отражение света на сферической поверхности. Предположим, что две среды с показателями преломления n₁ и n₂ разделяются сферической поверхностью Σ (рис. 3.2.). На ли­нии LL‘, проходящей через центр нашей сферы О, поместим точечный источник света L. Рассмотрим узкий  гомо­центрический   конус  лучей, падающий  из L на поверх­ность раздела двух сред.

Рис. 3.2. Преломление параксиальных лучей на сферической границе двух сред.

Мы предполагаем пучок настолько узким, т.е. угол настолько малым, что практи­чески можно считать отрезок LS равным LA, L‘S равным L‘A и т.д. Такой узкий пучок будем называть параксиальным. Итак, условие параксиальности пучка есть

LS » LA и  L‘S » L‘A.

Возьмем какой-либо луч из этого пучка, например LA, падающий на Σ под углом i, построим сопряженный ему преломленный луч AL‘ (угол преломления r) и найдем положение точки, в которой преломленный луч пересечет ось системы.

Из треугольника ALO имеем ; , из треугольника OAL ’. Отсюда (1)

В дальнейшем все отрезки вдоль оси будем отсчитывать от точки S, считая положительными отрезки, откладываемые от S вправо (в направлении распространяющегося света), и отрицательными – отрезки, откладываемые влево. Т. о,  AL » SL= – а_{1 ,} AL‘» SL‘= а₂,  AO = SO = R (радиус нашей сферы). В таком случае LO = -а₁ + R, OL‘ = а₂ – R. Используя закон преломления при переходе из первой среды во вторую, получим ; т.е. (2)

Последняя формула показывает, что произведение   при преломлении сохраняет свою величину Q. Его называют нулевым инвариантом Аббе. Для многих целей этой формуле удобно придать вид

(3)

Соотношение (3) позволяет найти длину а₂ = SL‘, если за­дано а₁ = LS, т.е. позволяет отыскать положение точки L‘ по за­данному L. При выводе его мы, кроме закона преломления, поль­зовались еще допущением, что луч LA принадлежит к параксиаль­ному пучку. Следовательно, соотношение справедливо для любого луча параксиального пучка. Из формулы (3) видно, что а₂ при заданных параметрах задачи (п₁, n₂, R) зависит только от а₁. Таким образом, все лучи параксиального гомоцентрического пучка, выходящего из L, пересекают ось в одной и той же точке L‘, которая является, следовательно, стигматическим изображением источника L. Итак, гомоцентрический пучок при преломлении на сферической поверхности остается гомоцентрическим, если он удовлетворяет условию параксиальности. Основное уравнение (3) охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Поль­зуясь установленным выше правилом знаков, мы можем разобрать случай выпуклой (R>0) или вогнутой (R < 0) поверхности.

Точно так же в зависимости от того, будут ли а₁ и a₂ иметь разные знаки или одинаковые, мы будем иметь случаи, когда изображение располагается с противоположной по сравнению с источником сто­роны преломляющей поверхности или лежит по одну сторону с ним. В первом случае (а₂ > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно точка пересечения преломленных лучей. Такое изо­бражение называется действительным. Во втором случае (а₂ < 0), очевидно, преломленные лучи, идущие во второй среде, остаются расходящимися и реально не пересекаются. В этом случае название изображения относится к той воображаемой точке, которая пред­ставляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных лучей. Такое изображение называется мнимым. Наши рассуждения и формула (3) показывают, что гомоцентри­ческий пучок после преломления направлен так, что его лучи или пересекаются в одной точке (действительное изображение), или мо­гут быть представлены как пересекающиеся в одной точке (мнимое изображение). Именно в этом смысле он и остается гомоцентрическим. Так как для всех наших рассуждений нам важно знать направление световых лучей, то при всех построениях мы одинаково можем пользоваться как действительным, так и мнимым изображением.

Формула (3) показывает также, что если бы источник был в L‘, то изображение расположилось бы в L (взаимность).

Линза. Сферическая линза – прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями.

Линзы п/с прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями ( одна из них обычно сферическая, иногда цилиндрическая, а вторая – сферическая или плоская), преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изображения предметов.

Материалом для линз служат стекло, кварц, кристаллы, пластмассы и т.п. По внешней форме линзы делятся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые; 3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпуклые. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рассеивающие.

Линза наз-ся тонкой, если ее толщина (расстояние между ограничивающими поверхностями) значительно меньше по сравнению с радиусами поверхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, наз-ся главной оптической осью.

Точка О – это точка, называемая оптическим центром линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь нее не преломляясь.

Главная плоскость – плоскость, проходящая через центр тонкой линзы перпендикулярно к главной оптической оси.

Главный фокус линзы F – точка, в которую собирается параллельный пучок света, распространяющийся параллельно главной оптической оси.

Фокусное расстояние линзы – расстояние OF от оптического центра линзы до ее главного фокуса.

Фокальная плоскость – плоскость, проходящая через главный фокус перпендикулярно к главной оптической оси.

Построение изображений. В задачах на построение изображений подразумевается, что протяженный источник света состоит из некогерентных точечных источников. В этом случае изображение протяженного источника света состоит из изображений каждой точки источника, полученных независимо друг от друга.

Изображение точечного источника - это точка пересечения всех лучей после прохождения через систему, лучей испущенных точечным источником света. Точечный источник испускает сферическую световую волну. В приближении параксиальной оптики сферическая волна, проходя через линзу (рис. 6), распространяется и далее в виде сферической волны, но с другим значением радиуса кривизны. Лучи за линзой либо сходятся в одну точку (рис. 6а), которую называют действительным изображением источника (точка ), либо расходятся (рис. 6б). В последнем случае продолжения лучей назад пересекаются в некоторой точке , которая называется мнимым изображением источника света.

В параксиальном приближении все лучи, исходящие из одной точки до линзы, после линзы пересекаются в одной точке, поэтому для построения изображения точечного источника достаточно найти точку пересечения "удобных нам" двух лучей, эта точка и будет изображением.

Если перпендикулярно оптической оси поставить лист бумаги (экран) так, чтобы изображение точечного источника попало на экран, то в случае действительного изображения на экране будет видна светящаяся точка, а в случае мнимого изображения - нет.

  Построение изображения в тонкой линзе. Есть три луча, удобных для построения изображения точечного источника света в тонкой линзе.

Первый луч проходит через центр линзы. После линзы он не изменяет своего направления (рис. 7) как для собирающей так и для рассеивающей линзы. Это справедливо только в том случае, если среда с обеих сторон линзы имеет одинаковый показатель преломления. Два других удобных луча рассмотрим на примере собирающей линзы. Один из них проходит через передний фокус (рис. 8а), или его продолжение назад проходит через передний фокус (рис. 8б). После линзы такой луч пойдет параллельно оптической оси. Другой луч проходит до линзы параллельно оптической оси, а после линзы через задний фокус (рис. 8в).

                Удобные для построения изображения лучи в случае рассеивающей линзы показаны на рис. 9а,9б.

        

Точка пересечения, мнимого или действительного, любой пары из этих трех лучей, прошедших линзу, совпадает с изображением источника.

В задачах по оптике иногда возникает потребность найти ход луча не для одного из удобных нам трех лучей, а для произвольного луча (1 на рис. 10), направление которого до линзы определено условиями задачи.

В таком случае полезно рассмотреть, например, параллельный ему луч (2 на рис. 10б), проходящий через центр линзы, независимо от того есть или нет такой луч на самом деле.

Параллельные лучи собираются за линзой в фокальной плоскости. Эту точку ( на рис. 10б) можно найти как точку пересечения фокальной плоскости и вспомогательного луча 2, проходящего линзу без изменения направления. Вторая точка, необходимая и достаточная для построения хода луча 1 после линзы, это точка на тонкой линзе ( на рис. 10б), в которую упирается луч 1 с той стороны, где его направление известно.

  Построение изображения в толстой линзе. Тонкая линза - линза, толщина которой много меньше ее фокусного расстояния. Если линзу нельзя считать тонкой, то каждую из двух сферических поверхностей линзы можно рассматривать как отдельную тонкую линзу.

Тогда изображение в толстой линзе можно найти как изображение изображения. Первая сферическая поверхность толстой линзы дает изображение источника как изображение в тонкой линзе. Вторая сферическая поверхность дает изображение этого изображения.

Другой подход при построении изображений состоит в том, что вводится понятие главных плоскостей центрированной оптической системы, частным случаем которой может быть толстая линза. Центрированная оптическая система, которая может состоять и из большого числа линз, полностью характеризуется двумя фокальными и двумя главными плоскостями. Полностью характеризуется в том смысле, что знание положения этих четырех плоскостей достаточно для построения изображений. Все четыре плоскости перпендикулярны оптической оси, следовательно свойства оптической системы полностью определяются четырьмя точками пересечения четырех плоскостей с оптической осью. Эти точки называются кардинальными точками системы.

Для тонкой линзы обе главные плоскости совпадают с положением самой линзы. Для более сложных оптических систем существуют формулы расчета положения кардинальных точек через радиусы кривизны поверхностей линз и показатели их преломления [2].

Для построения изображения точечного источника достаточно рассмотреть прохождение через оптическую систему двух удобных нам лучей и найти точку их пересечения после линзы, либо точку пересечения продолжений лучей назад (для мнимого изображения).

Построение хода лучей проводится так, как будто между главными плоскостями системы находится тонкая линза, а пространство между главными плоскостями отсутствует. Пример построения приведен на рис. 11. и - главные плоскости системы.

Задача прохождения света через центрированную оптическую систему может быть решена не только геометрическим построением хода лучей, но и аналитически. Для аналитического решения задач удобен матричный метод [2].

  Формулы тонкой линзы. Если в задаче требуется аналитический результат, а не построение изображения, то для решения обычно достаточно трех формул:

; ; .

Здесь - оптическая сила линзы, - фокусное расстояние, - расстояние от линзы до источника света, - расстояние от линзы до изображения, и - радиусы кривизны обоих поверхностей линзы, - показатель преломления материала линзы.

В этих формулах все величины с размерностью длины могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Фокусное расстояние положительно для собирающей линзы, положительно для действительного изображения, и положительны для двояковыпуклой линзы. Расстояние от линзы до источника - положительная величина, но и тут можно представить себе мнимый точечный источник, для которого это расстояние будет отрицательным.

Реже встречаются задачи, в которых показатели преломления среды с двух сторон от линзы различаются. Тогда потребуются следующие формулы:

Может быть полезна и формула для оптической силы одной сферической поверхности, в частности при рассмотрении толстой линзы как двух сферических поверхностей:

  Сферическое зеркало. Чтобы удовлетворить приближению параксиальной оптики, нужно потребовать, чтобы сферическое зеркало было малой частью сферы. Другими словами, размер зеркала должен быть много меньше радиуса кривизны сферы.

Сферическое зеркало отражает световые лучи аналогично оптической системе, состоящей из тонкой линзы и вплотную поставленного плоского зеркала. Вогнутое зеркало аналогично собирающей линзе, выпуклое - рассеивающей.

Модуль фокусного расстояния сферического зеркала равен половине радиуса кривизны сферы

Фокус расположен посередине между зеркалом и центром сферы.

На рис. 12а,б приведены примеры построения изображений точечного источника света в сферическом зеркале.