Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matm.doc
Скачиваний:
53
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
317.87 Кб
Скачать
  1. Матриці, основні види матриць, дії з ними.

Матриця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення тамноження на скаляр). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми.

види

В залежності від розмірності та вмісту матриці поділяють на

1) Квадратні  та прямокутні матриці . Наприклад,

 – прямокутна матриця;

 – квадратна матриця.

2) Одинична матриця – по головній діагоналі одиниці, решта всі елементи рівні нулеві. Позначають великою латинською літерою E.

Для прикладу, матриця

 є одиничною матрицею третього порядку.

3) Діагональна – елементи поза головною діагоналлю нульові, на головній – будь-які. Наприкалад, матриця

4) Симетрична матриця – елементи такої матриці симетричні відносно головної діагоналі .

5) Верхня трикутна (нижня трикутна ) матриця – елементи під діагоналлю (над діагоналлю) в таких матрицях нульові. Наприклад,

Верхня трикутна  

Нижня трикутна 

У випадку, коли елементи головної діагональні в трикутній матриці одиничні її називають унітрикутною

Дії з матрицями

Додавання матриць

Матриці однакового розміру можна складати.

Сумою двох таких матриць А і В називається матриця С, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В. Символічно будемо записувати так: А + В = С.

Приклад.

Легко бачити, що складання матриць підпорядковується переместительному і сполучний закон:

А + В = В + А

(А + В) + С = А + (В + С).

Нульова матриця при складанні матриць виконує роль звичайного нуля при додаванні чисел: А +0 = А.

Віднімання матриць.

Різницею двох матриць А і В однакового розміру називається матриця С, така, що

З + В = А

З цього визначення випливає, що елементи матриці С рівні різниці відповідних елементів матриць А і В.

Позначається різниця матриць А і В так: С = А - В.

Приклад.

3. Множення матриць

Розглянемо правило множення двох квадратних матриць другого порядку.

Твором матриці А на матрицю В називається матриця С = АВ.

Правила множення прямокутних матриць:

Множення матриці А на матрицю В має сенс у тому випадку, коли число стовпців матриці А збігається з числом рядків у матриці В.

В результаті множення двох прямокутних матриць виходить матриця, що містить стільки рядків, скільки рядків було в першій матриці і стільки стовпців, скільки стовпців було у другій матриці.

4. Множення матриці на число

При множенні матриці A на число a всі числа, які становлять матрицю A, множаться на число a. Наприклад, помножимо матрицю на число 2. Отримаємо, Тобто при множенні матриці на число множник «вноситься» під знак матриці.

Транспонування матриці

Транспонована матриця - матриця A Т, отримана з вихідної матриці A заміною рядків на стовпці.

Формально, транспонована матриця для матриці A розмірів m * n - матриця A T розмірів n * m, визначена як A T [i, j] = A [j, i].

Наприклад,

Властивості транспонованої матриці

1. (A T) T = A

2. (A + B) T = A T + B T

3. (AB) T = B T A T

4. detA = detA T

  1. Визначники другого і третього порядків та їх властивості.

визначником другого порядку називається число, яке дорівнює різниці добутків елементів головної і допоміжної діагоналей, тобто

Визначником третього порядку знаходять за правилом трикутників

Це правило легко запам'ятати, якщо дописати поряд з визначником перший та другий його стовпці.

ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінюють стовпчиком з тим же самим номером (транспонування).

2. Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки (або два стовпчики), то визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи своє абсолютне значення.

3. Якщо визначник має два однакових стовпчики або два однакових рядки, то він рівний нулеві.

4. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то його значення дорівнює нулю. Якщо елементи деякого рядка (стовпчика) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) помножити на стале число, то значення визначника також помножиться на це число. Звідси слідує, що спільний множник всіх елементів рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.

  1. Мінори та алгебраїчні доповнення.

Мінором M[j,k] визначника є визначник, одержаний з даного викреслюванням рядка та стовпця, які стоять на перетині до елемента a[j,k]. Мінори є визначниками на одиницю меншого порядку ніж матриця для якої їх шукають. Визначник n порядку має кількість n* n мінорів (рівно кількості елементів матриці). Для матриці 2*2 мінорами будуть протилежні елементи по діагоналі Алгебраїчне доповнення А[j,k] – це мінор M[j,k], взятий зі знаком "плюс" , якщо j+k – парне число і зі знаком "мінус" – якщо непарне Матриця алгебраїчнихбдоповнень - це матрия складена з визначників А[j,k],j,k=1..n.

Знаки мінорів спрощено можна подати у вигляді схем

Алгебраїчне доповнення А[j,k], як і мінор, це визначник на одиницю меншого порядку ніж головний визначник. Тому для обчислення визначника n порядку потрібно обчислити n визначників n-1 порядку.

На практиці визначники матриць через алгебраїчні доповнення розписують до тих пір, поки не отримають мінори 3 порядку, які знаходять за правилом Саррюса або трикутників.

  1. Обернена матриця.

Матриця A-1 називається оберненою до матриці A, якщо виконуються наступні рівностіЯкщо визначник матриці A відмінний від нуля, то матрицю називають неособливою або невиродженою. Для того, щоб матриця мала обернену необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

АЛГОРИТМ ЗНАХОДЖЕННЯ ОБЕРНЕНОЇ МАТРИЦІ

Нехай маємо квадратну матрицюі потрібно знайти обернену до неї. Для цього потрібно виконати наступні дії:

1. Знайти визначник матриці . Якщо він не рівний нулю то виконуємо наступні дії. В іншому випадку дана матриця вироджена і для неї не існує оберненої.

2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці A. Вони рівні мінорам, помноженим на (-1)i+j в степені суми рядка і стовпця, для якого шукаємо.

3. Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці A та протранспонувати її. Ця матриця називається приєднаною або союзною і позначається "А з хвиькою" .

4. Поділити приєднану матрицю на детермінант . Отримана матриця буде оберненою та задовільнятиме властивостям, які викладені на початку статті.

5. Системи лінійних рівнянь, їх сумісність, розв’язування методами

Крамера, Гаусса.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) — в лінійній алгебрі система лінійних рівнянь, яка має вигляд:

Це система m лінійних рівнянь з n невідомими, де

 є невідомими,

 є коефіцієнтами системи,

 — вільними членами

  • Метод Гаусарозв’язування систем лінійних рівнянь складається із двох кроків: в першому із них система шляхом виключення невідомих (першого – із другого рівняння, першого і другого – із третього зводиться до трикутникового виду). У другому кроці із третього рівняння знаходимо третє невідоме, а із другого (після підстановки в нього значення третього невідомого) знаходимо друге невідоме. І, нарешті, із першого рівняння (після підстановки в нього значень другого і третього невідомих) знаходимо значення першого невідомого.

  • При розв’язуванні системи за формулами Крамера (методом Крамера) припускається, що визначник системи, укладений із коефіцієнтів при невідомих, не дорівнює нулю. Тоді корені системи знаходимо за формулами, які називаються формулами Крамера

де — визначник, одержаний із визначника системи  шляхом заміни в ньому стовпця коефіцієнтів при невідомихстовпцем вільних членів.

  1. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв’язування.

Матричний запис

Векторна форма еквівалентна матричній формі запису

де A — матриця m×nx — вектор з n компонент, b — вектор з m компонент.

Число векторів в базисі лінійної оболонки векторів є рангом матриці.

7. Власні значення і власні вектори матриці.

8. Приклади застосування матричного аналізу в економіці.

9. Вектори. Базис. Розкладання вектора за базисом.

Вектор — це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.

Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору L називається впорядкований набір векторів {e1, …, en} , якщо кожний вектор із L можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

Коефіцієнти називаютьсякоординатами вектора відносно базису[1].

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається 

Базисом простору називають таку систему векторів, що всі інші вектори простору можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів, що входять в базис. На практиці це все реалізовується досить просто. Базис, як правило, перевіряють на площині або в просторі, а для цього потрібно знайти визначник матриці другого, третього порядку, складений з координат векторів. Нижче схематично записані умови, за яких вектори утворюють базис

Щоб розкласти вектор b за базисними векторами  e[1],e[2]...,e[n], необхідно знайти коефіцієнти x[1], ..., x[n], при яких лінійна комбінація векторів e[1],e[2]...,e[n] дорівнює вектору b: x1*e[1]+ ... + x[n]*e[n] = b.  Для цього векторне рівняння слід перетворити до системи лінійних рівнянь і знайти розв'язки. Це також достатньо просто реалізувати. Знайдені коефіцієнти x[1], ..., x[n], називаються координатами вектора b в базисі e[1],e[2]...,e[n]. 

10. Скалярний добуток векторів, його властивості та геометричне

застосування.

Геометрична інтерпретація.

 Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраїчна інтерпретація.

 Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b.

Формула скалярного добутку векторів для плоских задач

У випадку плоскої задачі скалярний добуток векторів a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = ax · bx + ay · by

Формула скалярного добутку векторів для просторових задач

У випадку просторової задачі скалярний добуток векторів a = {ax ; ay ; az} і b = {bx ; by ; bz} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz

Формула скалярного добутку n -вимірних векторів

У випадку n-вимірного простору скалярний добуток векторів a = {a1 ; a2 ; ... ; an} і b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn

Властивості скалярного добутку векторів

  1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:

a · a ≥ 0

  1. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a = 0   <=>   a = 0

  1. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

a · a = |a|2

  1. Операція скалярного добутку комутативна:

a · b = b · a

  1. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

  1. (αa) · b = α(a · b)

  2. Операція скалярного добутку дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

11. Векторний, мішаний добутки векторів, їх властивості та геометричне

застосування.

Ве́кторний до́буток — білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добуткувекторів евклідового простору, результатом векторного добутку є вектор, а не скаляр.

Геометричне означення векторного добутку

Векторний добуток (вертикально) змінюється разом з кутом між векторами

У науковій літературі з механіки і фізики розповсюджено дещо інше означення векторного добутку.

Векторним добутком двох -векторів називається -вектор , який задовольняє наступним вимогам:

 де —це кут між та (довжина або правило паралелограму);

вектор — ортогональний до векторів та (ортогональність);

вектори утворюють праву трійку векторів (орієнтація).

Властивості векторного добутку

Антикомутативність:

Білінійність:

Тотожність Якобі:

На відміну від переважної більшості бінарних операцій "добутку" (дійсних чи комплексних чисел, елементів групи тощо), векторний добуток не є асоціативним. Натомість, наведені властивості означають, що вектори у з операцією векторного добутку утворюють алгебру Лі.

Правило паралелограма:

Довжина векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограма, який побудований на векторах-співмножниках відкладених від спільної точки.

Як наслідок з попередньої властивості, векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники — паралельні (тобто скалярно пропорціональні), зокрема, векторний добуток будь-якого вектору на себе — нульовий вектор.

Мішаний добуток векторів  — скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і :

.

Властивості

  • Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:

т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що

  • Змішаний добуток в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та :

  • Змішаний добуток в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та , взятому зі знаком «мінус»:

зокрема,

  • Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.

  • Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.

  • Геометричний сенс — мішаний добуток за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами та ; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.

  • Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається ними[1]:215.

Три вектора, що визначають паралелепіпед.

  • Змішаний добуток зручно записується за допомогою символу (тензора) Леві-Чивіта:

(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).

12. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Загальне рівняння прямої коли B≠0 можна привести к вигляду

y = k x + b

де k - кутовий коефіцієнт, який дорівнює тангенсу кута, утвореного даною прямою і додатним напрямком осі ОХ

13. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

Якщо пряма проходить через дві точки A(x1, y1) і B(x2, y2), такі що x1 ≠ x2 і y1 ≠ y2 то рівняння прямої можна знайти, використовуючи наступну формулу:

14. Рівняння прямої у відрізках.

Якщо пряма перетинає вісі OX і OY в точках з координатами (a, 0) і (0, b), то вона може бути знайдена, якщо використати формулу рівняння прямої в відрізках

x

 + 

y

 = 1

a

b

15. Рівняння прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно до

заданого вектора.

16. Кут між двома прямими.

Косинус кута рівний сам кут визначаємо через арккосинус Ця формула визначає кут, на який треба повернути одну пряму в напрямку іншої, щоб вони наклалися. За властивістю косинуса, умова перпендикулярності векторів слідує з формули

17. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]