Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
04.03.2016
Размер:
5.01 Mб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Дніпропетровська державна фінансова академія

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

Навчально-методичний посібник для студентів вищих навчальних закладів

Дніпропетровськ – 2015

МІНІСТЕРСТВО ФІНАНСІВ УКРАЇНИ

Дніпропетровська державна фінансова академія

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

Частина 1 Вища математика

Навчально-методичний посібник для студентів заочної форми навчання,

які навчаються за освітньо-кваліфікаційним рівнем «бакалавр» за галуззю знань 0305 «Економіка та підприємництво»

Дніпропетровськ – 2015

ББК 22.1

Ч92 Математика для економістів. В 2-х ч. Ч. 1: навчально-методичний посібник для студентів заочної форми навчання, які навчаються за освітньо-кваліфікаційним рівнем «бакалавр» за галуззю знань 0305 «Економіка та підприємництво»: - Дніпропетровськ. – 2015.

Дніпропетровська державна фінансова академія. – 212 с.

Навчально-методичний посібник містить програму навчальної дисципліни, методичні рекомендації до самостійної роботи, практичних занять, виконання індивідуальних завдань, список рекомендованої літератури.

Призначено для студентів економічних спеціальностей, викладачів.

Автори

Т.А. Чупілко

-

кандидат

технічних

наук,

доцент

(укладачі):

 

кафедри математичного моделювання та

 

 

інформаційних

систем

в

економіці

 

 

Дніпропетровської державної фінансової

 

 

академії

 

 

 

 

 

 

 

Я.В. Хрущ

-

старший

викладач

кафедри

 

 

математичного

моделювання

та

 

 

інформаційних

систем

в

економіці

 

 

Дніпропетровської державної фінансової

 

 

академії

 

 

 

 

 

 

Рецензенти:

Т.М. Рудянова

- кандидат фізико-математичних наук,

 

 

доцент

 

кафедри

математичного

 

 

моделювання та інформаційних систем в

 

 

економіці

Дніпропетровської

державної

 

 

фінансової академії

 

 

 

 

Л.В. Рибальченко

-

кандидат

економічних

наук,

доцент

 

 

кафедри математичного моделювання та

 

 

інформаційних

систем

в

економіці

 

 

Дніпропетровської державної фінансової

 

 

академії

 

 

 

 

 

 

Відповідальний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

за випуск:

О А. Рядно

-

завідувач

кафедри

математичного

 

 

моделювання та інформаційних систем в

 

 

економіці

Дніпропетровської

державної

 

 

фінансової академії

 

 

 

Розглянуто та схвалено науково-методичною комісією фінансового факультету Протокол № 5 від 15.06.2015 р.

Розглянуто та схвалено на засіданні кафедри

математичного моделювання та інформаційних систем в економіці Протокол № 12 від 15.06.2015 р.

 

ЗМІСТ

 

Передмова

4

1.

Програма навчальної дисципліни

5

2.

Завдання та методичні рекомендації до самостійної роботи

13

3.

Завдання та методичні рекомендації до практичних занять

29

4.

Індивідуальні завдання та методичні рекомендації до їх виконання

175

5.

Контрольні заходи

207

6.

Література

210

3

ПЕРЕДМОВА

Навчальна дисципліна «Математика для економістів» складається з двох модулів – «Вища математика» (модуль 1) і «Теорія ймовірностей та математична статистика» (модуль 2), вивчається протягом трьох семестрів. Матеріал дисципліни засвоюється студентами під час лекційних, практичних занять, самотійної та індивідуальної роботи. Формою підсумкового контролю є іспит.

У посібнику викладено основи вищої математики – науки, що вивчає основні принципи математичного апарату, які використовуються для розв’язування економічних задач, математичних методів систематизації, опрацювання та застосування статистичних даних для наукових і практичних висновків.Матеріал поділено на теми відповідно до програми дисципліни. У межах кожної з них наводяться загальні теоретичні відомості: означення основних понять, формулювання теорем, відповідні формули. Далі розв’язуються типові приклади різного рівня складності. Потім пропонуються завдання до самостійної роботи і питання теоретичного характеру для самоконтролю знань. Також пропонуються задачі для розв’язування на практичних заняттях. Наводяться завдання до індивідуальної роботи студентів та методичні рекомендації до їх виконання, контрольні заходи, список рекомендованої літератури.

Посібник має на меті допомогти студентам засвоїти матеріал навчальної програми у повному її обсязі, розвинути математичне мислення, оволодіти навичками розв’язання математичних задач, активізувати пізнавальну діяльність при вивченні дисципліни.

4

1. ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

Програма вивчення нормативної навчальної дисципліни «Математика для економістів: вища математика, теорія ймовірності і математична статистика» складена відповідно до освітньо-професійної програми підготовки бакалавра галузі знань 0305 «Економіка та підприємництво».

Предметом вивчення навчальної дисципліни є теоретичні засади математичного апарату, закони, що діють у сфері масових випадкових подій та явищ, методи систематизації, опрацювання і аналізу масових статистичних даних.

Міждисциплінарні зв’язки: дисципліна базується на знаннях, здобутих при вивченні дисциплін: алгебра і геометрія (для загальноосвітніх шкіл).

Програма навчальної дисципліни складається з таких змістових модулів:

Модуль 1. Вища математика Змістовий модуль 1. Алгебра і аналітична геометрія

Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці

Змістовий модуль 3. Диференціальне числення функції багатьох змінних та його застосування в економіці

Змістовий модуль 4. Інтегрування функцій. Диференціальні та різницеві рівняння

Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи фінансової математики

Модуль 2. Теорія ймовірностей і математична статистика Змістовий модуль 1. Теорія ймовірностей Змістовий модуль 2. Математична статистика

1.Мета та завдання навчальної дисципліни

1.1.Метою викладання навчальної дисципліни «Математика для економістів: вища математика, теорія ймовірності і математична статистика» є формування системи теоретичних знань і практичних навичок з основ математичного апарату, основних методів кількісного вимірювання випадковості дії факторів, що впливають на будь-які процеси, засад математичної статистики, яка використовується під час планування , організації та управління виробництвом, оцінювання якості продукції, системного аналізу економічних структур та технологічних процесів.

1.2.Основними завданнями дисципліни «Математика для економістів: вища математика, теорія ймовірності і математична статистика» є вивчення основних принципів та інструментарію математичного апарату, який використовується для розв’язування економічних задач, математичних методів систематизації, опрацювання та застосування статистичних даних для наукових

іпрактичних висновків.

1.3.Згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні володіти компетенціями:

5

Інструментальними: здатність розуміти основні поняття алгебри, аналітичної геометрії, математичного аналізу, теорії імовірностей та математичної статистики; здатність опановувати теоретичні засади математичного апарату, закони, що діють у сфері масових випадкових подій та явищ, методи систематизації, опрацювання і аналізу масових статистичних даних; здатність розв’язувати задачі вищої математики, теорії імовірностей та математичної статистики та здійснювати оцінку отриманих результатів; здатність розуміти можливість застосування математичних методів систематизації, опрацювання та застосування статистичних даних для наукових і практичних висновків в сфері економіки; здатність застосовувати теоретичні знання і практичні навички при вивченні навчальних дисциплін, пов’язаних з математичним моделюванням в економіці.

Міжособистісними: здатність працювати у команді; здатність брати соціальні та етичні зобов'язання при прийнятті рішень.

Системними: здатність застосовувати знання на практиці; здатність за допомогою математичних методів досліджувати та моделювати економічні

процеси; здатність обґрунтовувати

застосування вибраних

методів для

розв’язування економічних задач;

здатність

отримувати

нові знання;

прагнення до успіху.

Спеціальними: здатність доцільно використовувати математичні методи і моделі для ефективної діяльності у галузі економіки та підприємництва; здатність проводити аналіз економічних явищ за допомогою математичних методів та моделей; здатність демонструвати творчий підхід у дослідженні економічних задач за допомогою обраних математичних методів та моделей.

6

Інформаційний обсяг навчальної дисципліни

МОДУЛЬ І. ВИЩА МАТЕМАТИКА

Змістовий модуль 1. Алгебра і аналітична геометрія

ТЕМА 1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МАТРИЦЬ І ВИЗНАЧНИКІВ

Матриці, основні види матриць, дії з матрицями . Визначники другого і третього порядку. Властивості визначників, способи їх обчислення. Обернена матриця, способи побудови оберненої матриці. Ранг матриці.

ТЕМА 2. ЗАГАЛЬНА ТЕОРІЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Системи лінійних рівнянь і їх сумісність. Геометрична інтерпретація системи рівнянь другого порядку. Кількість розв’язків системи лінійних рівнянь. Способи розв'язування систем лінійних рівнянь: Крамера, Гаусса.

ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЧНОГО АНАЛІЗУ

Матричний запис системи лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання системи лінійних рівнянь.

Лінійні оператори. Власні вектори і власні значення. Квадратичні форми. Приклади застосування матричного аналізу в економіці: витрати

сировини та робочого часу при виготовленні продукції, кредитування підприємств, реалізація і розподіл продукції і т.п.

ТЕМА 4. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Вектори, основні означення. Базис. Розкладання вектора за базисом. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, їх властивості та геометричне застосування: обчислення площ паралелограма і трикутника і об'ємів призми та піраміди. Відстань між точками.

Елементи аналітичної геометрії на площині. Пряма на площині, види рівнянь прямої на площині. Умови паралельності і перпендикулярності прямих. Кут між прямими на площині. Лінії другого порядку: парабола, гіпербола, еліпс.

Рівняння прямої в просторі. Напрямний вектор прямої. Параметричні рівняння прямої. Рівняння площини. Пряма як перетин двох площин. Умови паралельності і перпендикулярності прямих і площин.

7

Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці

ТЕМА 5. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ

Границя послідовності. Границя функції. Нескінченно малі і нескінченно великі величини. Види невизначеностей. Обчислення границь функцій. Перша і друга важливі границі.

ТЕМА 6. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Елементарні функції. Похідна функції. Геометричний та економічний зміст похідної. Похідні основних функцій. Правила диференціювання. Похідна складної, оберненої, заданої неявно функції. Диференціал функції. Геометрична інтерпретація диференціала. Основні теореми диференціального числення. Обчислення границь за правилом Лопіталя. Формули Тейлора і Маклорена.

ТЕМА 7. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ПОБУДОВА ЇХ ГРАФІКІВ

Область визначення функції. Неперервність функцій. Точки розриву 1-го та 2-го роду. Асимптоти функції. Дослідження функції на екстремум. Необхідна і достатні умови існування екстремуму. Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Побудова графіків.

ТЕМА 8. ГРАНИЧНИЙ (МАРГІНАЛЬНИЙ) АНАЛІЗ

Застосування похідної в економіці. Граничні показники в мікроекономіці: гранична собівартість продукції, граничний доход, граничні витрати, гранична продуктивність праці і т.п. Гранична схильність до споживання та збереження в макроекономічній моделі національного доходу. Еластичність економічних показників. Максимізація прибутку. Оптимізація оподаткування підприємств. Закон спадної ефективності виробництва.

Змістовий модуль 3. Диференціальне числення функції багатьох змінних та його застосування в економіці

ТЕМА 9. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ ТА ЇХ ІНТЕРПРЕТАЦІЯ В ЕКОНОМІЧНІЙ ТЕОРІЇ

Функція багатьох змінних. Область визначення. Інтерпретація в економіці: функція корисності, виробничі функції.

ТЕМА 10. ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІСТЬ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Частинні похідні. Повна похідна. Повний диференціал. Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях. Похідна складної та заданої

8

неявно функції. Похідна за напрямом. Градієнт функції та його властивості. Поверхні та лінії рівня. Лінія та поверхня байдужості в економічній теорії споживання. Ізокванта випуску в теорії виробника.

ТЕМА 11. ЕКСТРЕМУМ ТА УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Дослідження функції на екстремум. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області. Умовний екстремум функції багатьох змінних. Метод Лагранжа. Типові оптимізаційні задачі економіки в сфері виробництва і споживання: прибуток від виробництва товарів, задача цінової дискримінації, оптимізаційний розподіл ресурсів, гранична норма заміни факторів.

Змістовий модуль 4. Інтегрування функцій. Диференціальні та різницеві рівняння

ТЕМА 12. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Невизначений інтеграл та його властивості. Первісна. Геометричний зміст невизначеного інтеграла. Таблиця інтегралів основних функцій. Інтегрування методом заміни змінної. Інтегрування частинами. Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

Визначений інтеграл, геометричний зміст. Основні властивості визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбниця. Методи інтегрування. Наближене обчислення визначеного інтеграла за формулами прямокутників, Симпсона. Невласні інтеграли з однією або обома нескінченими границями. Поняття про подвійний інтеграл. Дослідження збіжності інтегралів. Приклади застосування визначеного інтеграла в економіці.

ТЕМА 13. ЕКОНОМІЧНА ДИНАМІКА ТА ЇЇ МОДЕЛЮВАННЯ: ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ТА РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ

Диференціальні рівняння. Геометричний зміст загального і частинного розв’язків. Задача Коші. Особливі розв’язки. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння Бернуллі.

Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні поняття та визначення. Диференціальні рівняння, які розв’язуються методом зниження порядку. Однорідні і неоднорідні лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами другого і вищих порядків. Характеристичне рівняння.

Різницеві рівняння. Основні поняття: сітки та сіткові функції, лінійні звичайні різницеві рівняння та властивості їх розв’язків. Лінійні однорідні та неоднорідні різницеві рівняння. Системи лінійних різницевих рівнянь. Застосування різницевих рівнянь в економіці: модель ринку з запізненням збуту, ринкова модель з запасами, динамічна модель Леонтьєва.

9