Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Высшая математика.doc
Скачиваний:
244
Добавлен:
04.03.2016
Размер:
2.6 Mб
Скачать

170

Академия управления при Президенте Республики Беларусь

Система открытого образования

О.Б. Плющ

Высшая математика

Курс лекций

Часть I

3-издание, стереотипное

Элементарная математика

Аналитическая геометрия

Линейная алгебра

Минск

2005

УДК 51

ББК 22.1

  П40

Серия основана в 2001 году

Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Плющ, О.Б

П40             Высшая математика: курс лекций. Часть I. Элементарная математика, аналитическая геометрия, линейная алгебра. / Плющ О.Б. – 3-е стер. изд. –Мн.:Акад. упр. при Президенте Респ. Беларусь, 2004. – 168 с.

ISBN 985-457-448-2 (ч.I)

Курс лекций предназначен для студентов системы открытого образования Академии управления при Президенте Республики Беларусь, обучающихся по специальности "Государственное управление и экономика".

УДК 51

ББК 22.1

ISBN 985-457-448-2 (ч.I)

Плющ О.Б., 2004

ISBN 985-457-447-4

Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 7

Лекция 1. Основы математической логики 7

Высказывания и логические связки 9

Контрольные вопросы к лекции №1 12

Тема 1. Элементарная математика 13

Лекция 2. Элементы теории множеств 13

Основные понятия 13

Основные операции над множествами 15

Отображения 18

Отношения эквивалентности и упорядоченности 21

Контрольные вопросы к лекции №2 23

Лекция 3. Числовые множества 25

Основные понятия 25

Соединения. Бином Ньютона 27

Комплексные числа 29

Операции над комплексными числами 31

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа 35

Контрольные вопросы к лекции №3 37

Тема 2. Аналитическая геометрия 38

Лекция 4. Векторы 38

Основные понятия 38

Линейные операции над векторами 40

Проекция вектора на ось 42

Линейная зависимость векторов 42

Базис. Координаты вектора в базисе 45

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении 46

Направляющие косинусы 48

Скалярное произведение 49

Векторное произведение 51

Смешанное произведение 55

Контрольные вопросы к лекции №4 56

Лекция 5. Прямая 58

Основные понятия 58

Взаимное расположение прямых 60

Контрольные вопросы к лекции №5 62

Лекция 6. Плоскость 63

Основные понятия 63

Нормальное уравнение плоскости 65

Взаимное расположение плоскостей 66

Контрольные вопросы к лекции №6 67

Лекция 7. Кривые второго порядка 68

Уравнение фигуры 68

Эллипс 69

Гипербола 74

Парабола 77

Исследование на плоскости уравнения второй степени 78

Контрольные вопросы к лекции №7 80

Тема 3. Линейная алгебра 81

Лекция 8. Понятие евклидова пространства 81

N-мерные векторы 81

Коллинеарные векторы 83

Размерность и базис векторного пространства 85

Контрольные вопросы к лекции №8 88

Лекция 9. Матрицы 89

Основные понятия 89

Операции над матрицами 90

Определитель матрицы 92

Ранг матрицы 96

Обратная матрица 100

Контрольные вопросы к лекции №9 102

Лекция 10. Понятие линейного оператора 103

Переход к новому базису 103

Линейное преобразование переменных 104

Собственные значения и собственные вектора матриц 105

Контрольные вопросы к лекции №10 108

Лекция 11. Многочлены 109

Основные понятия 109

Теорема о делении с остатком 110

Теорема Безу 110

Контрольные вопросы к лекции №11 114

Лекция 12. Квадратичные формы 115

Понятие квадратичной формы 115

Канонический базис квадратичной формы 117

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы 122

Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка 125

Контрольные вопросы к лекции №12 127

Лекция 13. Системы линейных уравнений 128

Основные понятия 128

Критерий совместности системы линейных уравнений 130

Правило Крамера решения систем линейных уравнений 130

Метод Гаусса 132

Однородные системы уравнений 133

Разрешенные системы линейных уравнений 134

Контрольные вопросы к лекции №13 137

Лекция 14. Основы линейного программирования 138

Линейное программирование 138

Задача линейного программирования 140

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме 142

Множества допустимых решений 145

Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками 147

Теория двойственности 158

Теоремы двойственности 163

Контрольные вопросы к лекции 14 165

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ 166

ЛИТЕРАТУРА 168