Мат_ан_41

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

С.Г.ПЯТКОВ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Часть 1

Ханты-Мансийск 2006

Методическое пособие предназначено для студентов и аспирантов, желающих овладеть основными методами и приемами, используемыми при решении задач по теории функций комплексного переменного. Здесь рассмотрены все основные темы курса теории функций.

Перед каждой темой с целью облегчения пользования материалом, даются определения и теоремы, которые либо непосредственно используются при решении задач, либо они необходимы для лучшего понимания темы.

Доказательства приведенных утверждений могут быть найдены в списке литературы в конце пособия.

°c

1. Степенные и функциональные ряды

Ÿ1. Введение

Прежде всего мы напомним некоторые определения и теоремы необходимые нам в дальнейшем.

Функциональным называется ряд

X1

®k(z);

(1)

k=0

членами которого являются заданные на некотором множестве E точек комплексной плос-

кости функции ®k(z). В каждой фиксированной точке z ряд (1) является числовым. Ряд

(1) называется сходящимся на множестве E, если он сходится в каждой точке множества E. Его сумма s(z) очевидно является некоторой функцией z, определенной на E. Пусть

Xm

sm(z) = ®k(z):

k=0

Ряд (1) равномерно сходится на множестве E, если для любого ² > 0 существует такое

натуральное N, ÷òî jsm(z) ¡ s(z)j · ² äëÿ âñåõ m ¸ N è z 2 E.

Приведем признак сходимости Вейерштрасса, который в комплексном случае формулируется точно также как и в вещественном.

Лемма 1 (признак Вейерштрасса). Åñëè äëÿ âñåõ z 2 E каждый член ряда (1), начиная с некоторого номера k0 по модулю не больше соответствующего члена ak ñõî-

дящегося числового ряда	1
	Xk
	ak
	=0

с неотрицательными членами, то ряд (1) равномерно сходится на множестве E.

Простейшим классом функциональных рядов являются так называемые степенны ря-

äû. Ýòî ðÿäû âèäà	1
	Xk
	ak(z ¡ z0)k:	(2)
	=0

ãäå aK; z0 заданные комплексные числа. Множество точек сходимости ряда (2) не пусто.

По крайней мере в точке z = z0 ряд (2) сходится. Однако существуют степенные ряды, у

которых множество точек сходимости состоит только из одной этой точки. Как вытекает из первой теоремы Абеля (см. [1]), найдется R (0 · R · 1), ÷òî ïðè âñåõ jz ¡ z0j < R ðÿä

(2) сходится, а при всех jz ¡z0j > R ряд (2) расходится. Величина R называется радиусом

сходимости и вычисляется по формуле Коши-Адамара

p

		n janj:
R = 1=l; l = nlim			(3)
!1

Êðóã jz ¡ z0j < r называется кругом сходимости. Вопрос о сходимости ряда (2) на гра-

нице круга сходимости необходимо исследовать для каждого конкретного ряда отдельно. Существуют ряды которые не сходятся ни в одной точке границы круга сходимости и существуют ряды, которые сходятся во всех точках этой границы. Возможны и промежуточные ситуации.

3

Для исследования вопроса о абсолютной сходимости данного функционального ряда в какой-либо точке можно использовать известные признаки сходимости знакоопределенных числовых рядов такие, например, как признак сходимости Коши, Даламбера и другие. Если речь идет о условной сходимости ряда, как и вещественном случае, можно сформулировать следующие признаки:

Признак сходимости Дирихле. Рассмотрим ряд вида

X1

anbn:

n=0

				m
Если частные суммы вида n=0					an равномерно по m ограничены и последовательность bn
(bn		R) вещественна и		монотонно стремится к нулю, то ряд (4) сходится.
	2			P
									1
	Признак сходимости Абеля. Рассмотрим ряд вида (4). Если ряд n=0									an сходится и
последовательность									сходится.
			bn вещественна, монотонна и ограничена, то ряд (4) P
	Отметим также следующее известное свойство комплексных рядов.
	Лемма 2. Ðÿä		1=0 an комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда схо-
		nP
дятся ряды					m	m
					Re an è	Im an:
					n=0	n=0
					X	X
	Как и в вещественном случае имеет место
	Лемма 3 (необходимый признак сходимости ряда). Пусть ряд								1=0 an сходится.
Тогда последовательность an стремится к нулю при n							! 1	.	nP

Перейдем к примерам решения задач.

Ÿ2. Определение радиуса сходимости. 1. Рассмотрим степенной ряд вида

	m	zn
	X		:	(5)
	n=0	n!

Сумма ряда (5) представляет собой не что иное как функцию ez. Воспользуемся формулой Коши-Адомара

								n 1
			n a
l		lim
					nj = lim rn!					(6)
	= n!1 pj

Известно следующее асимптотическое представление

p

n! ¼ 2¼n(n=e)n

4

(формула Стирлинга). Подставив это в (6) мы легко найдем, что

l = lim ne (2¼n)¡1=2n = lim ne e¡ ln(2¼n)=2n = 0

Отсюда R = 1, то есть ряд (6) сходится на всей комплексной плоскости. 2. Рассмотрим степенной ряд вида

X1

((¡1)n + 3)zn:

n=0

По формуле Коши-Адамара

				1				1
	l = lim[(¡1)n + 3] = 4; R =						=			:
					l			4

3. Рассмотрим ряд вида	1
			X
					nnzn:			(7)
			n=0
Имеем
			n
	l = lim pnn = nlim n = 1;
	!1
òî åñòü R = 0; это означает, что ряд (7) сходится только в точке z = 0.
Ÿ3. Проведение на границе круга сходимости
1. Рассмотрим ряд	1
				Xzn:

n=0

Его радиус сходимости равен 1. По необходимому признаку (лемма 3) ряд расходится во всех точках границы круга сходимости jzj = 1. Действительно, общий член ряда равен

an = zn è

janj = jznj = jzjn = 1;

åñëè jzj = 1.
2. Рассмотрим ряд	1	znp
	X		;	(8)
	n=0	n

ãäå p натуральное число. Радиус сходимости этого ряда равен 1. Исследуем вопрос о сходимости этого ряда для точек z таких, что jzj = 1. Возьмем an = zp, bn = 1=n. Тогда

ряд можно записать в виде	1
	X
	anbn:
	n=0
Найдем	1
	X
	sm = an:
	n=0

5

X1 zn

Имеем (поскольку общий член - геометрическая прогрессия)

sm = zp(zpm ¡ 1)=(zp ¡ 1):

Åñëè zp =6 1, òî

jsmj · jzp(zpm ¡ 1)=(zp ¡ 1)j · 2=jzp ¡ 1j = c(z):

Таким образом, мы находится в условиях признака Дирихле. По признаку Дирихле, если zp 6= 1 è jzj = 1, то ряд (8) сходится. Если zp = 1, то ряд (8) расходится (мы получим

p

гармонический ряд). Отсюда, ряд (8) расходится в точках z = p 1 = e2¼ik=p (k = 0; 1; : : : ; p¡ 1) и сходится во всех остальных точках границы круга сходимости.

3. Рассмотрим ряд

n=0 n3 ;

Радиус сходимости этого ряда равен 1. При jzj = 1 имеем

janj = jzn=n3j = 1=n3:

По признаку Вейерштрасса ряд (9) сходится на множестве fjzj = 1g, причем равномерно.

Ÿ4. Функциональные ряды

Множество точек сходимости заданного функционального ряда может быть почти произвольным. В задачах ниже мы определим это множество для нескольких конкретных функциональных рядов.

1. Рассмотрим ряд	1	³zn +				´;
	X			1
	n=0			2nzn
который по существу есть сумма двух рядов
	1		1
	X		X		1
	zn;				n n		:
	n=0		n=0		2 z

Первый ряд степенной, множество точек сходимости которого есть круг fz : jzj < 1g.

Второй ряд также степенной, но относительно величины z1 = 1=z. Его радиус сходимости равен 2. Таким образом, он сходится при jz1j = 1=jzj < 2 èëè ïðè jzj > 1=2. На границе

круга сходимости ряд расходится по необходимому признаку. Тогда сумма этих двух рядов
будет сходиться при 1=2 < jzj < 1.
2. Рассмотрим ряд	1		z(z + n)	n
	X	³		´ :
	n=0		n

Применим признак сходимости Коши. Имеем

lim pn janj = lim¯¯¯z(z + n)¯¯¯ = jzj n

6

Таким образом, при jzj < 1 ряд сходится и причем абсолютно, а при jzj > 1 расходится. Рассмотрим случай jzj = 1. Имеем

janj =

¯³

n

´

¯

=

¯

n

¯

¸ 1 ¡ n

¢

¸

2e

¯

z(z + n)

n

¯

¯

z + n

¯

¡

1

n

1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

начиная с некоторого номера n. Таким образом, при jzj = 1 ряд расходится по необходимому признаку и множество точек сходимости есть круг jzj < 1.

3. Рассмотрим ряд

1

sin nz

X

:

(11)

n=0

n

Исследуем поведение общего члена ряда

an =

sin nz

=

einz ¡ e¡inz

=

eink¡ny ¡ e¡ink+ny

:

n

2in

2in

Åñëè y > 0, òî

eny ¡ e¡ny

a

nj ¸

! 1

ïðè

n

! 1

:

j

2n

Ïðè y < 0

e¡ny ¡ eny

a

nj ¸

! 1

ïðè

n

! 1

j

2n

По необходимому признаку при y =6 0 ряд расходится. Пусть y = 0. Тогда имеем ряд

X1 sin nx:

n

n=0

Этот ряд (это можно установить по признаку Дирихле) сходится при всех x. Таким образом, множество точек сходимости есть вещественная прямая.

2. Аналитические и гармонические функции

Ÿ1. Введение

Функция комплексного переменного f(z), определенная в некоторой области D ½ C, дифференцируема в точке z0 2 D, если существует предел

lim	f(z0 +	z) ¡ f(z0)	= f0(z0):
		z
z!0

В отличие от вещественного случая условие дифференцируемости функции f накладывают на нее очень сильные ограничения. В частности, если f(z) дифференцируема в области D (т.е. дифференцируема в каждой точке из D), то отсюда вытекает, что f бесконечно дифференцируема в области D. Запишем f â âèäå f(z) = u(z) + iv(z) (u = Re f, v = Im f)

и пусть f дифференцируема в точке z0. Тогда функции u; v имеют частные производные по x; y в точке (x0; y0) (z0 = x0 + iy0) и имеют место условия Коши-Римана

@u	(x0; y0) =	@v	(x0; y0);	@u	(x0; y0) = ¡	@v	(x0; y0)	(1)
@x		@y		@y		@x

7

менных) и выполнены условия Коши-Римана (1), то функция

Верно и обратное. Если u; v дифференцируемы в точке (x0; y0) (как функции двух пере- f = u+iv дифференцируема

в точке z0 = x0 + iy0. Таким образом, проверить дифференцируемость функции в точке

или в области очень легко: достаточно проверить условия Коши-Римана и дифференцируемость функций u; v.

Например, пусть f(z) = (Re z)2. Имеем u = x2, v = 0. Условия (1) выполнены только при x = 0. Таким образом, функция f дифференцируема в каждой точке прямой x = 0 è

нигде больше.

Говорим, что функция аналитична в точке z0, если она дифференцируема в точке z0

и некоторой ее окрестности. Понятия аналитичности в области и дифференцируемости в области совпадают.

Пусть f дифференцируема в некоторой односвязной ограниченной области D. Под односвязной (соответственно n-связной) мы понимаем область, граница которой состоит из одной (соответственно n) компоненты связности. Как мы уже отмечали, в этом случае функция f бесконечно дифференцируема в D и соответственно функции u; v также бесконечно дифференцируемы в D. Из условий Коши-Римана вытекает, что функции u; v удовлетворяют уравнению Лапласа в D, òî åñòü

u ´	@2u	+	@2u		= 0; v = 0	(2)
	@x2			@y2

Функции дважды непрерывно дифференцируемые в D и удовлетворяющие уравнению Ла-

пласа называются гармоническими. Вещественная и мнимая часть аналитической функции являются гармоническими функциями. Верно в каком-то смысле и обратное. Если u

(èëè v) гармоническая функция в области D, то найдется гармоническая функция v (èëè u) такая, что функция f = u + iv аналитична в D. Эта функция v (u) восстанавливает-

ся в односвязной области D с точностью до произвольной постоянной. Соответствующие формулы выводятся из условий Коши-Римана и записываются в виде

v(x; y) = Z°		@u					@u
	¡				dx +				dy + c	(3)
			@y				@x
u(x; y) = Z°		@v				@v
				dx ¡				dy + c		(4)
		@y				@x

Здесь ° произвольная кусочно-гладкая кривая Жордана, соединяющая некоторую фиксированную точку z0 2 D с точкой z = x + iy.

Определение функций по формулам (3), (4) корректно, поскольку интегралы в (3),

(4) не зависят от пути интегрирования. Выражения стоящие под знаком интеграла в (3),

(4) являются полными дифференциалами, что вытекает из (2). В случае если область D многосвязна корректности определения (однозначности определения) функций u; v ïî

формулам (3), (4) вообще говоря нет. В этом случае интегралы в (3), (4) зависят от пути интегрирования. Тем не менее соответствующие формулы для вычислений v через u è,

соответственно u через v привести можно. В этом случае функции u è v могут оказаться

многозначными.

Пусть D многосвязна и ограничена внешней кривой 0 и кривыми 1; 2; : : : ; n, ëåæà- щими внутри 0, причем любая из кривых i (i > 0) может вырождаться в точку. Пусть u

8

гармоническая функция заданная в D. Тогда функция v восстанавливается по формуле

°					n
		@u		@u	X
v(x; y) = Z	¡	@y	dx +	@x	dy + k=1 mk¼k + c	(5)

ãäå ° точно такая кривая что и в (3), mk целые числа и

¼k = Z	¡	@u		@u
			dx +		dy;
		@y		@x
°k

ãäå °k замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана содержащая внутри одну связную компоненту границы области D. Аналогично по гармонической функции v восстанавли-

вается u.

n

°

@v

@v

X

u(x; y) = Z

@y

dx ¡

@x

dy + k=1 mk¼k + c

(6)

Прежде чем переходить к примерам, напомним способ вычисления интеграла по ° â

(3), (4).

Пусть ° гладкая кривая Жордана, описываемая уравнениями x = x(t), y = y(t),

t

2

[t ; t

]. Функции x(t) è y(t) непрерывно-дифференцируемы на [t

; t

] è (x0)2

+ (y0)2

= 0

0

1

0

1

6

íà [t0; t1]. Пусть P (x; y), Q(x; y) непрерывные функции, заданные на °. Тогда

t1

Z°

P (x; y) dx + Q(x; y) dy = tZ0

[P (x(t); y(t)) x0(t) + Q(x(t); y(t)) y0(t)] dt

(7)

В случае если ° кусочно-гладкая кривая, интеграл можно представить в виде суммы интегралов по гладким кривым, составляющих °.

Ÿ2. Восстановление аналитических функций по вещественной или мнимой части

1. Пусть дана функция u(x; y) = x2 ¡ y2 + y, необходимо восстановить функцию v(x; y) такую, что f = u + iv аналитична. В данном случае, поскольку u гармонична на всей комплексной плоскости, в качестве области D можно брать всю плоскость C. Найдем призводные функции u:

		@u	= 2x;	@u		= ¡2y + 1:
		@x			@y
Имеем	v(x1; y1) = Z°			(2y ¡ 1) dx + 2x dy:

Мы рассматриваем функцию v в точке (x1; y1, а не в точке (x; y), чтобы не возникало путаницы в силу того что переменные интегрирования у нас также величины (x; y).

Возьмем в качестве начальной точки (x0; y0) точку 0 и в качестве ° кривую состоящую из двух отрезков: отрезка °1 = (0; x1) вещественной оси и отрезка °2 = fx = x1; y 2 (0; y1)g. Эта кривая соединяет точки 0 è (x1; y1). Имеем

Z Z

v(x1; y1) = (2y ¡ 1) dx + 2x dy + (2y ¡ 1) dx + 2x dy

°1 °2

9

Кривая °1	описывается уравнением
		x = t; y = 0; t 2 [0; x1]:
Тогда	°Z1	x1
		(2y ¡ 1) dx + 2x dy = ¡ Z0	dt = ¡x1:
Кривая °2	описывается уравнением

Тогда

Таким образом,

x = x1; y = t; t 2 [0; y1]:

	y1
°Z1	(2y ¡ 1) dx + 2x dy = ¡ Z0	2x1 dt = 2x1y1:

v(x1; y1) = 2x1y1 ¡ x1 + c;

ãäå c произвольная вещественная постоянная. Искомая функция f(z) имеет вид

x2 ¡ y2 + y + i(2xy ¡ x) + ic:

2. В области D = fRe z > 0g рассмотрим функцию

u(x; y) = 12 ln(x2 + y2)

и найдем функцию v(x; y). Имеем

v(x	; y	) =	Z°	¡y	dx +	x	dy + c
1	1			x2 + y2		x2 + y2

Отметим, что область D односвязна. Возьмем в качестве кривой ° объединение кривых

°1, °2: кривая °2 определена в предыдущем пункте 1, а кривая °1 состоит из отрезка [1; x1] вещественной оси, то есть в качестве точки (x0; y0) берем точку (1; 0).

v(x

; y

) =

¡y

dx +

x

dy+

1

1

°Z1

x2 + y2

x2 + y2

+

¡y

dx +

x

dy + c = I

+ I

+ c:

°Z2

x2 + y2

x2 + y2

1

2

Параметризацию кривых °i определяем точно также как и в предыдущем пункте. Тогда

Zx1

I1 = 0 dt = 0;

1

10